ОиАС-6
.pdf
На основе (3.17) получаем уравнение кривой L1 |
|
x1 + 0,5x2|x2| = 0. |
(3.18) |
В соответствии с этим уравнением оптимальная функция управления может быть представлена выражением
u= –1 sign σ1, |
(3.19) |
где
σ1 = x1 + 0,5x2|x2|. |
(3.20) |
Чтобы убедиться в его справедливости, покажем, что в области D1 имеет место соотношение σ1>0. Пусть изображающая точка расположена справа от линии переключения и выше оси x1. Ее движение происходит по траектории (3.15). Определим значение c. В связи с этим представим результат интегрирования уравнения (3.12) при u=–1 в виде
|
|
|
|
|
|
x10 |
2 |
|
2 |
|
(3.21) |
dx |
/dx |
|
= x |
/u |
|||||||
2 |
x1 t |
0,5 x2 |
t |
x20 |
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, c x10 0,5x202 0.
11
Подставляя выражение (3.15) в (3.20), получим
|
1 |
0,5x2 |
0,5x |
2 |
|
x |
2 |
|
c c 0 |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
Если изображающая точка расположена между осью x1 и кривой L1+, то x2<0 и подстановка (3.15) в (3.20) дает
1 c x22 0
Действительно, для ординат x2 |
точки N1 справедливо соотношение |
|
|
|
||||||
x2 |
x |
0,5x2 |
|
|
|
x |
t x |
0,5 x2 |
t x2 |
|
x1 |
2 |
|
1 |
10 |
2 |
20 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
10 |
20 |
0,5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое получится, если в (3.21) подставить первое из выражений (3.17). При выполнении равенства
x2 
x10 0,5x202
изображающая точка попадает на линию
переключения, для которой σ1=0.
До попадания на линию переключения
x2 |
x |
0,5x2 |
c |
и поэтому σ >0. |
2 |
10 |
20 |
|
1 |
12
Схема реализации оптимального закона управления (3.19) приведена на рисунке.
В управляющей части системы используется нелинейный преобразователь (НП), формирующий функцию
13 |
F(x2) = 0,5x2|x2| |
|
Опишем теперь решение задачи синтеза оптимального по быстродействию управления для объекта:
|
x1 x2 |
(3.22) |
x2 |
x2 u |
(3.23) |
Для построения фазовых траекторий поделим первое уравнение на второе:
dx1/dx2=x2/(u – x2). |
(3.24) |
Разделяя переменные, найдем решение этого уравнения при u=const: |
|
x1 |
x10 |
x20 x2 u ln |
|
u x2 |
|
|
(3.25) |
|||
|
u x20 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полагая в этом выражении x |
10 |
=x |
=0, определим линии L + и L –. |
|||||||
|
20 |
|
|
|
1 |
1 |
||||
x1 |
= – x2 |
– ln(1– x2) при u = + 1; |
(3.26) |
|||||||
x1 |
= – x2 |
+ ln(1+ x2) |
при u = – 1. |
(3.27) |
||||||
Можно показать, используя эти выражения, что уравнение линии переключения L1 имеет вид
x1 + x2 –[ln(1 + |x2|)] signx2=0,
а оптимальное управление
u = –sign σ2 |
(3.28) |
14 |
σ2= x1 + x2 –[ln(1 + |x2|)] signx2. |
|
15
4. Аналитическое конструирование регуляторов
В 1960 г. появилась работа сотрудника института автоматики и телемеханики АН
СССР, профессора Александра Михайловича Летова:
Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов I–IV// Автоматика и
телемеханика. 1960 № 4. С. 436–441; № 5. С. 561–568; № 6. С. 661–665; 1961. № 4. С.
425–435.
в которой было получено аналитическое решение задачи об оптимальной стабилизации линейных стационарных объектов при квадратичном функционале качества. Эта работа благодаря ясной постановке задачи и конструктивным результатам явилась источником большого числа публикаций по синтезу регуляторов для различных классов объектов (линейных непрерывных, дискретных, с запаздыванием, нелинейных), в которых при решении задачи об оптимальной стабилизации были преодолены трудности решения краевой задачи принципа максимума и метода динамического программирования. Это направление получило название
аналитического конструирования регуляторов.
В зарубежных источниках это направление часто называется линейноквадратической оптимизацией, а первой зарубежной публикацией была вышедшая в том же 1960 г. работа американского математика Рудольфа Эмиля Калмана:
Kalman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control// Bullet. Soc. Mat. Mech. 1960. Vol. 5, No 1, p. 102–119.
в которой решалась задача оптимизации для линейных, нестационарных объектов.
16
17
4.1. Процедуры аналитического конструирования регуляторов
Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов на основе метода динамического
программирования
18
Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнением
x Ax Bu; x t0 x 0 ; t0 0 |
(4.1.1) |
A и B – заданные матрицы чисел размеров n n и n m соответственно. |
|
Требуется найти матрицу чисел C (размеров m n) уравнения регуляторов |
|
u = C'x, |
(4.1.2) |
такую, чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы (4.1.1), (4.1.2), возбужденных произвольными начальными отклонениями x(0), минимизировался функционал
|
|
|
|
|
(4.1.3) |
||
J x Qx u u dt |
|||
0 |
|
|
|
Q – заданная положительно-определенная матрица размера n n (x'Qx >0 для всех x, это обозначается далее Q>0). Матрицу C' закона управления (4.1.2) иногда называют матрицей коэффициентов усиления регулятора.
Переходя к решению этой задачи об оптимальной стабилизации на основе метода динамического программирования, ограничимся вначале случаем n = m = 1. В этом случае уравнения системы и функционал примут вид
x ax bu u = cx;
J qx2 u2 dt
0
Тогда уравнения (2.3.8), (2.3.9) метода динамического программирования запишутся как
v 0 x1 , , xn ,u1 , ,um |
v |
i x1 , , xn ,u1 , ,um ,t |
(2.3.8) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
i 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v qx2 u2 |
v ax bu |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
x |
|
|
||
0 x1 , , xn ,u1 , ,um |
v i x1 , , xn ,u1 , ,um ,t 0 |
k 1, m (2.3.9) |
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
k |
i 1 x |
u |
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2u v b 0 u |
1 |
v b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1.1')
(4.1.2')
(4.1.3')
(4.1.4)
(4.1.5)
Предпоследнее равенство выражает необходимое условие экстремума правой части (4.1.4). Нетрудно проверить, что при этом управлении достигается ее минимум. Действительно,
d 2 |
qx2 |
u2 |
v ax bu |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
du2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Этот минимум – единственный и поэтому единственно управление вида (4.1.5).
Правда, как будет показано ниже, уравнению (4.1.4) удовлетворяет не единственная функция v. Эта функция доопределяется из условия устойчивости системы (4.1.1), (4.1.2).
x Ax Bu; x t0 x 0 ; t0 0 |
(4.1.1) |
u = C'x, |
(4.1.2) |
20