1-41

19. Построение линий влияния реакций и усилий в трёхшарнирных арках.

чтобы построить линию влияния распора в арке необходимо построить линию влияния изгибающего момента в сечении С соответствующей двухопорной балки и все ее ординаты разделить на знач-ие стрелыь подъема арки f. Распор в арке опр-ся по выражению Н=Мс0/f. Значит л.в. H=(л.в.Мс0)/f. Т. к. изгибающий момент в сечении К вычисляется: Мк=Мφк*Нук, то л.в.Мк= (л.в.Мк0)-(л.в.Н)ук. Попереченая сила в сечении К опр-ся по зав-ти: Qk=Qk0 cosφk-Hsinφk => л.в.Qk=(л.в.Qk0)cosφk-(л.в.H)sinφk,

Nk=-(Qk0 sinφk+Hcosφk), л.в.Nk=-[(л.в.Qk0)sinφk-(л.в.H)cosφk]

20.Рациональное очертание оси трёхшарнирной арки

Рациональной называют такую ось арки, при к-ой показатель эффективности арки (стоимость, масса мат-ла, трудозатраты на изготовление и т. д.) будет наилучшим. В случае, если наибольшее влияние на прочность арок оказывают изгибающие моменты, рациональному очертанию оси арки будет соответствовать равенство нулю изгибающих моментов во всех

сечениях арки. зависимость изменения ординат рациональной оси арки: y=Mx0/H. Опр-им рациональную ось трехшарнирной арки при действии на нее вертикальной равномерно распределенной нагрузки.

Опорные реакции в арке в этом случае равны: RA=Rв=ql/2, H=ql^2/8f. Изгибающий момент в произвольном сечении x из рассмотрения

левой части арки записывается в виде: Mx=ql/2 x-(qx)x/2-ql^2/8f y= qx/2 (l-x)- ql^2/8f y

Приравняв это выражение к 0, из полученного ур-ия найдем зав-ть изменения рационального очертания оси трехшарнирной арки в виде: y=4f/l^2 x(l-x). В арке, нагруженной равномерно распределенной радиальной нагрузкой, для получения рациональной оси принимают изгибающие моменты в ее сечениях = нулю. Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента арки длиной ds, для которого радиус кривизны арки r можно считать постоянным.

Эл-а: -Nr+(N+dN)r=0

Составим сумму моментов сил относительно центра кривизны О.

Из этого ур-ия получим dN=0.следует, что продольная сила N = const.

Сумма проекций сил на ось z, совпадающую по направлению с биссектрисой угла в:

-Nsin(dθ/2)-(N+dN)sin(dθ/2) -qds=0

Учитывая, что для бесконечно малых величин ds и dθ, sin dθ/2 ≈ dθ/2 ,а ds = r dθ, и пренебрегая бесконечно малой вел-ой второго порядка малости dN dθ / 2 , получим: -Ndθ- qrdθ=0 Разделив полученное уравнение на dθ , найдем радиус кривизны арки: r=N/q.

Следовательно, при N = const рациональному очертанию оси арки соотв-ет окружность.

21. Трёхшарнирные арки с затяжкой.

Трехшарнирной называют систему, которая состоит из двух дисков, соединенных между собой шарниром, и опирающихся на землю (основание) с помощью шарнирно неподвижных опор (рис. 4.1).

Трехшарнирные системы, у которых диски представлены криволинейными стержнями, называют трехшарнирными арками (рис. 4.3,а).

Трехшарнирные системы, у которых диски представлены ломаными стержнями, называют трехшарнирными рамами (рис. 4.2)

Трехшарнирные системы статически определимы, неизменяемы и являются распорными системами. Наличие распора является отличительной особенностью трехшарнирных систем. Даже при действии только вертикальной нагрузки реакции распорной системы направлены наклонно. Горизонтальную составляющую опорной реакции трехшарнирной системы называют распором.

В ряде случаев, для устранения воздействия распора на нижележащие конструкции, опорные шарниры соединяют горизонтальными стержнями - затяжками. В таких случаях одна из опор должна быть шарнирно подвижной (рис. 4.3,б). Затяжка может быть расположена как на уровне

опор, так и выше, и даже иметь ломаное очертание (рис. 4.3,в)

Рассмотрим основные элементы арки (рис. 4.4). Опорные сечения называют пятами. Расстояние между опорами называется пролетом. Сечение арки в точке С, в котором полуарки соединяются шарниром, называется ключевым. Высоту ключевого сечения над линией опор называют стрелой подъема арки. В зависимости от отношения стрелы подъема к пролету f/1 различают пологие арки (при малых значениях f/1) и крутые (при больших значениях f/1). В пологих арках имеют место большие распоры и большие продольные силы. Очертание оси арки может быть задано произвольной кривой. Чаще всего арки выполняют круговыми, параболическими, синусоидальными и т.п.

22. Понятие о ферме. Расчётная схема, классификация по очертанию поясов, системе решётки, опиранию.

Фермой наз. геометрически неизменяемую стержневую систему, составленную, как правило, из прямолинейных стержней, соединенных по своим концам идеальными шарнира-

ми, загруженную узловыми силами.

В реальном сооружении узловые соединения стержней обычно выполняются жесткими: сварными в металлических конструкциях или монолитными в железобетонных конструкциях. Сравнительно редко применяют болтовые

или иные соединения, которые действительно можно считать шарнирными. При узловой нагрузке в элементах шарнирно-стержневой системы возникают только продольные внутренние силы. Экспериментально доказано, что дополнительные напряжения, которые возникают в стержнях реальных типовых ферм из-за жесткости узловых соединений, практически незначительны. В предельном случае, при пренебрежении продольными деформациями стержней, в ферме с жесткими узлами при узловой нагрузке изгибающие моменты теоретически равны нулю. Классификация ферм как шарнирно-стержневых систем м. б.

образуют ее пояса. Стержни, соединяющие пояса, образуют решетку фермы. Наклонные стержни решетки называются раскосами. Вертикальные стержни решетки называются стойками (или подвесками, если они растянуты; в фермах башенного типа подобные стержни решетки называются распорками).

Фермы можно классифицировать по назначению. Различают фермы стропильные и подстропильные, применяемые в покрытиях зданий и сооружений; крановые и подкрановые, применяемые в конструкциях подъемных кранов и крановых путей; башенные, входящие в состав различных башен и мачт; мостовые, входящие в конструкции мостов и путепроводов и др. По условиям опирания фермы подразделяют на безраспорные (балочные) (рис. 5.1, 5.4,а,в,ж-к), распорные (арочные (рис. 5.3, 5.4,д) и висячие (рис. 5.4,г)), консольные (рис. 5.4,б), консольно-балочные (рис. 5.4,в,ж) и др. К фермам мож-

но отнести и комбинированную систему со сквозной балкой жесткости (рис. 5.4,е). По очертанию поясов различают фермы с || поясами (рис. 5.1; 5.4,в,ж,з,и,к; 5.5,а) и с ломаными (полигональными) поясами (рис. 5.4,а,г; 5.5,б). К фермам с полигональными поясами относятся также

фермы треугольного и трапециевидного очертания, фермы параболические и круговые. По типу решетки фермы делятся на фермы с раскосной решеткой (рис. 5.1; 5.4,б,д), фермы с треугольной решеткой (рис. 5.2; 5.4,а), фермы с полураскосной решеткой (рис. 5.4,в), фермы со шпренгельной решеткой (рис. 5.4,к), фермы с ромбической решет-

кой (рис.5.4з) , фермы с крестовой решеткой (рис. 5.5,а)

Фермы, показанные на рис. 5.4,ж и рис. 5.4,и называют соответственно двухраскосными и двухрешетчатыми. Встречаются также многораскосные и многорешетчатые фермы. Шпренгельную решетку называют составной, так как она обычно составлена из основной (раскосной или треугольной) решетки и дополнительных элементов (фермочек), называемых шпренгелями, располагающимися в пределах панелей основной решетки. Назначение шпренгелей - воспринимать нагрузку, прикладываемую между узлами основной решетки

(рис. 5.4,к).

23. Способы определения усилий в стержнях ферм при неподвижной нагрузке

Определение усилий в стержнях плоских статически определимых ферм, как и в других статически определимых системах (балках, рамах, арках), выполняется методом сечений. Суть метода сечений для ферм заключается в следующем. Ферма разрезается (разделяется) на две или несколько частей так, чтобы был рассечен стержень, в котором ищется усилие (рис. 5.6,а). Для фермы, находящейся в равновесии, любая ее часть также должна быть уравновешена, и для любой части можно записать уравнения равновесия. В эти уравнения наряду с внешними узловыми нагрузками, приложенными к соответствующей части сооружения, должны войти также усилия в разрезанных стержнях. Усилия (продольные силы) в разрезанных стержнях обычно направляют от сечений (от узлов), что соответствует растяжению стержней (рис. 5.6,б). Для отсечен ной части плоской фермы в общем случае можно составить три независимых уравнения

равновесия. Поэтому рассматриваемый фрагмент фермы должен иметь не более трех стержней с неизвестными усилиями. Уравнения равновесия могут быть составлены либо в форме суммы моментов сил относительно некоторой точки на плоскости, либо в форме суммы проекции сил на некоторую ось. Эти уравнения, по возможности, следует составлять так, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное усилие. Это позво-

ляет определить искомое усилие из решения только одного уравнения Если отсеченная часть фермы представляет собой

один единственный узел, то для системы сил (внешних и внутренних), сходящихся в точке, мож-

но составить только два независимых уравнения равновесия. Следовательно, из уравнений равновесия одного узла можно найти не более двух неизвестных усилий. Частный случай метода сечений, состоящий в последовательном вырезании и уравновешивании узлов фермы, носит название способа вырезания узлов. При его применении узлы рассматриваются в такой последовательности, чтобы в каждом очередном узле было не более двух стержней с неизвестными усилиями. Покажем определение усилий способом вырезания узлов в некоторых стержнях фермы, представленной на рис. 5.7,а.Из уравнений равновесия узла 1 (рис. 5.7,б) получаем:

∑Y=0; N1-3sinα-F=0; N1-3=F/sinα, ∑X=0; N1-2+N1-3cosα=0, N1-2=-N1-3cosα=-(Fcosα/sinα)=-Fctgα

Затем можно вырезать узел 2 (рис. 5.7,в). Усилие в стержне 1- 2 уже известно. Остается найти продольные силы еще в двух стержнях:

∑X=0; Fctgα+N2-4=0; N2-4=-Fctgα, ∑Y=0; N2-3-F=0; N2-3=F

Следующим вырезаем узел 3, из равновесия которого (рис. 5.7,г) находим усилия в стержнях 3-4 и 3-5

∑Y=0; -(Fsinα)sinα-F-N3-4sinα=0; N3-4=-(2F/sinα)

∑X=0; -(Fcosα/sinα)+N3-4cosα+N3-5=0; N3-5=3Fctgα

Дальнейшая процедура расчета фермы предполагает вырезание узлов 4, 5, 7 и 6, из рассмотрения равновесия которых найдутся усилия в остальных стержнях фермы.Способ вырезания узлов позволяет сформулировать, так называемые признаки «нулевых» стержней,

с помощью которых можно быстро находить стержни с нулевыми усилиями:

1) в двухстержневом ненагруженном узле усилия в обоих стерж нях равны нулю, если стержни не лежат на одной прямой

(рис. 5.8)

2) если в двухстержневом узле, в котором стержни не лежат на одной прямой, по направлению одного из них приложена сила (рис. 5.9), то усилие в этом стержне будет равно (со знаком «плюс» или «минус») указанной внешней силе, а усилие во втором стержне – нулю.

∑Z1=0; -N2cosα=0; N2=0, ∑Z2=0; -N1-P=0; N1=-P

3) в трехстержневом ненагруженном узле, в котором два стержня лежат на одной прямой, а третий располагается под углом к ним (рис. 5.10), усилие в третьем, одиночном стержне равно нулю, а усилия в первых двух стержнях равны между собой

∑Y=0; N3sinα=0; N3=0, ∑X=0; -N1+N2+0=0; N1=N2 ;

Определение усилий способом вырезания узлов требует последовательного вырезания узлов в порядке, продиктованном структурой фермы. Такой способ вычисления усилий приемлем, если требуется определить усилия во всех стержнях фермы. Достоинством

способа является его простота. К недостаткам следует отнести то, что часто нельзя сразу, без предварительного рассмотрения ряда узлов, иногда довольно большого их количества, найти усилие в интересующем нас стержне фермы.Если ферму рассечь так, что оси пересеченных стержней с неизвестными усилиями, кроме одного (того, в котором ищется усилие), будут пересекаться в одной точке, то чтобы найти усилие в этом, одиночном стержне, достаточно составить уравнение равновесия в виде суммы моментов сил относительно точки пересечения остальных стержней. Такой подход часто называют способом моментной точки, а точку называют моментной.Для определения усилия в стержне 4-6 фермы (рис. 5.7) проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой части фер

мы. Два стержня (5-6 и 5-7) пересекаются в узле 5. Усилие в стержне 4-6 найдем из урав-

нения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно узла 5: ∑Mлев5=0; -F2d-Fd-N4-6h=0; -N4-6=-(3dF/h)

Усилие в стержне 7-8 найдем, проведя сечение II—II. Моментной точкой в этом случае

будет узел 6:

∑M6лев=0; -F3d-F2d-Fd+N7-8h=0; N7-8=6dF/h

Если в сечении оказалось несколько параллельных стержней, кроме одного (того, в котором ищется усилие), то усилие в этом стержне можно найти из уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось, перпендикулярную параллельным стержням. Такой подход часто называют способом проекций.

Например, при расчете фермы, изображенной на рис. 5.7, для определения усилия в стержне 6-8 составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на вертикальную ось

всех сил, действующих на левую часть: ∑Yлев=0; -4F+N6-8sinα=0; N6-8=4F/sinα

Аналогично, проведя сечение III-III, можно найти усилие в стержне 3-4

∑Yлев=0; -2F-N3-4 sinα=0; ; N3-4=-(2F/sinα)

24. построение линий влияния усилий в стержнях фермы.

Линия влияния усилия (л.в.) – это графическое изображение изменения усилия в определенном элементе сооружения при перемещении по сооружению единичной силы постоянного направления. Единичная подвижная сила при построении линий влияния принимается безразмерной. Поэтому размерности линий влияния усилий определяются выражением: [размерность ординат линии влияния усилия]= [размерность усилия]/ [размерность силы]. Линии влияния усилий позволяют: - определять усилий от любых совокупностей и вариантов нагрузок; - находить невыгодные положения систем подвижных нагрузок.

Л.в. в балочных фермах: построим л. в.

опорных реакций Ra и Rb:

ΣМв=0, -1Хв+RА5d=0, RA=Xв/5d,

ΣMA=0, 1ХА-Rв5d=0, Rв=XА/5d.

Для определения усилия N1 проведем сече-

ние I-I и воспользуемся способом проекций.

Сечение I-I рассекает стержень 10-11 грузового пояса. При рассечении балочной фермы на две части проще рассматривать равновесие той ее части, на которой нет груза. Груз слева от расчетной рассеченной панели (р. р. п.) Рассматривая правую часть фермы, получим: ΣYправ=0, -N1 cosa+Rв=0,

N1=Rв/cosa, л.в.N1=(л.в.Rв)/ cosa. Груз справа от р. р. п. – рассматриваем левую часть фермы: ΣYлев=0, N1 cosa+RА=0, N1=- RА/cosa, л.в.N1= -(л.в.RА)/ cosa. Анализ ли-

нии влияния N 1 показывает, что ее левая прямая и правая прямая || друг другу. Для определения усилия N 2 в стержне 10-

11 можно использовать сечение I-I и способ моментной точки, учитывая, что стержни 4- 5 и 10-5, рассеченные сечением вместе со стержнем 10-11, пересекаются в узле 5. Точ-

ку в этом узле и принимаем для усилия N2 в качестве моментной. а) груз слева от рассеченной панели (на участке А-10) - рассматриваем равновесие правой части фермы ΣМ5

прав=0, N2h-Rвd=0, N2=Rв d/h, л.в. N2= (л.в.Rв)d/h

б) груз справа от рассеченной панели (на участке 11-12) -рассматриваем равновесие левой части фермы: ΣМ5 лев=0, -N2h-RА4d=0, N2=RА 4d/h, л.в. N2= (л.в.RА)4d/h. Анализ этой линии влияния показывает, что ее левая и правая прямые пересекаются под моментной точкой.

Для определения усилия N3 в стержне 3-9 проведем сечение II-II и воспользуемся также способом моментной точки. В качестве моментной точки здесь следует принять точку К. а) груз слева от рассеченного участка грузового пояса (на участке А-9) -рассмотрим равновесие правой части фермы: ΣМk прав=0, N3 3d-Rв6d=0, N3=Rв 6d/3d, л.в.N3=(л.в.Rв)2; б) груз справа от рассеченного участка грузового пояса (на участке 10-12)- рассмотрим равновесие левой части фермы: ΣМk лев=0, N3 3d-Rв6d=0, N3=Rв 6d/3d, л.в.N3=(л.в.Rв)2. Ее левая и правая ветви, как и д. б., пересекаются под моментной точкой К.

Для построения л. в. усилия N4 в стержне 2-8 усилие N4 будем определять из вырезания узла 8. а) при положении груза в узле 8, вырезая этот узел получим: ΣY= 0, N4 -1= 0, N4=1 б) при поло-

жении силы вне узла и вне рассеченных участков грузового пояса будем иметь: ΣY= 0,

N4=0

Усилие N5 в стержне 4-10 проще всего определить, вырезав узел 4. И т.к. узел 4 находится на верхнем поясе фермы, а сила движется по ее нижнему поясу, то в узел 4 груз попасть не может никак. Поэтому при любом положении груза N5=0. Соответственно л.в. N5 на всей длине фермы будет нулевой. Усилие N6 в стержне 6-В также будем определять способом вырезания узлов, вырезав узел В. При этом здесь усилие будет выражаться через опорную реакцию Rв и через груз (когда он будет передаваться в узел В). ΣY= 0, N6+Rв- 1= 0, N6=1–Rв, N6=1 -1= 0, т.е. под узлом В л.в. N6 будет иметь нулевую ординату. б) сила вне узла и вне рассеченных участков грузового пояса: ΣY= 0, N6+Rв= 0, N6= –Rв, N6=

–(л.в. Rв).

построение л.в. в консольных фермах. Особенностью расчета консольных ферм, как и любых других консольных систем, является то, что для определения усилий в них практически всегда удобнее рассматривать равновесие отсеченных консольных частей. Покажем принципы построения линий влияния усилий в консольных фермах на примере полураскосной фермы. Построим линию влияния усилия N1 в стержне 2-3. Проведем в рас-

сматриваемой ферме сечение I-I. Для определения усилия в стержне 2-3 составим равнение суммы моментов всех правых сил относительно узла 15. При расположении единичной силы слева от рассеченного стержня 2-3 грузового пояса получим: ΣМ15права=0, -N1h=0. N1=0. Cледовательно, на участке 1-2 л.в. имеет нулевые ординаты. Если F=1 будет расположена правее узла 3, то получим: ΣМ15права=0, -N1h+1х1=0, N1=х1/h. Л.в.

усилия N1 при x1=d, N1=d/h; при x1=5d N1= 5d/h. Т.о., левая (нулевая) и правая прямые л. в. N1 пересекаются под моментной точкой 15. Построим теперь линию влияния усилия N2 в стержне 4-11. Для определения этого усилия используем способ совместных сечений: ΣX=0, -N2sinа- N3sinа=0, N3=-N2. Теперь, проведя сечение II-II, будем составлять уравнения равновесия в виде суммы проекций правых сил на вертикальную ось. При расположении подвижной силы слева от рассеченной панели (на участке 1-4) имеем: ΣYправ=0,

N2cosa-N3cosa= 0, N2cosa-(-N 2)cosa=0, 2N2cosa=0, N2=0

При движении подвижной силы справа от рассеченной панели (на участке 5-7) получаем: ΣYправ=0, N2cosa-N3cosa-1=0, 2N2cosa-1=0, N2=1/2cosa. Это означает, что усилие N2 не зависит от точки приложения подвижной силы на рассматриваемом участке.

Л. в. усилия N3 в стержне 11-17 в соответствии с зависимостью N3=-N2.

Усилие N4 в стержне 10-17 найдем из уравнений равновесия узла 17: ΣY=0, N4+N3cosа=0, N4=-N3cosa, л. в. N4=(л.в.N3)*(-cosa).

Усилие N5 в стержне 4-10 находится подобно усилию N4 из уравнений равновесия узла 4. Если единичная сила находится в узле 4: ΣY=0, -1-N2cosa-N5=0, N5=-N2cosa-1. Ордината л. в. усилия N2 в узле 4 =0. Поэтому получаем: N5= -1. При расположении подвижной си-

лы вне узла 4 на участках 1-3 и 5-7 имеем: ΣY=0, - N2cosa-N5=0, N5=-N2cosa, л.в.N5= (л.в.N2)*(-cosa).

Усилие N6 в стержне 3-16 удобнее всего найти, вырезав узел 16. Этот узел относится к ненагруженному поясу фермы. Из уравнения равновесия узла усилие N6 выражается через усилия N7 и N9. Составив сумму проекций сил на вертикальную ось: ΣY=0, N6+N7cosa+

N9cosa=0, N6= -(N7+N9)cos a , л. в.N6=[(л. в. N7)+(л.в.N9)](-cosa). Л. в. усилий N7 и N9

построены аналогично л.в. усилия N3.

25. Расчёт распорных ферм

Распорными называются фермы, в опорах которых при действии вертикальной нагрузки, кроме вертикальных, возникают и горизонтальные составляющие опорных реакций (распор). Примерами распорных ферм являются фермы, показанные на рис. 6.1а (распорная) и 6.2б (с наклонной опорой). эти рамы называют арочными фермами, т.к. способ их образования подобен способу образования трехшар-

нирных арок После определения опорных реакций усилия в

стержнях распорных ферм от действия неподвижной нагрузки определяют методом сечений.

Рассмотрим особенности построения линий влияния усилий в стержнях распорных ферм. Построим, например, линию влияния усилия N1 в стержне верхнего пояса фермы, показанной на рис. 6.2,а. Для этого предварительно необходимо построить линии влияния вертикальных составляющих опорных реакций и распора.

Вертикальную реакцию в шарнирно неподвижной опоре А найдем из уравнения моментов всех сил, действующих на ферму, относительно точки В: ΣМв=0, Ral-1(l-Xf)=0, Ra=1-Xf/l, аналогично для Rв=Xf/l .

Распор определим, как в трехшарнирной арке по формуле: Н=М0с/f Усилие N будем искать с помощью сечения I-I.

Если единичная сила располагается слева от сечения, то, рассматривая равновесие правой части фермы, получим: ΣM1прав=0, -Rв8d+H4a-N1a=0, N1= 4H-8d/a Rв

При движении единичной силы справа от рассеченной панели из уравнения равновесия левых сил найдем: ΣM1лев=0, Rа2d-H4a+N1a=0,

N1= 4H-2d/a Rа

Л.в. N1= (л.в.Н)4- (л.в.Ra) 2d/a.

На участке рассченной панели, в соответствии с узловой передачей нагрузки проводим переходную кривую.