1-41

10. статический и кинематичский методы построение линий влияния.

1.Статический метод построения ЛВ:

Зав-ти для опр-ия опорных реакций при перемещении ед-ой силы по балке получаем из ур-ий равновесия балки. Верт-ую р-цию опр-им из уравнения ΣY=0 => RA=1 по всей длине.

Момент определим из ур-ия: ΣМА=0, -MRA+1XFA=0;

MRA=XFA. ИМ и поперечную силу в т.К опр-им из урия равновесия правой части, когда сила справка: Мк пр=-1ХFK (при ХFK=0; Мк=0 при XFK=c MК=-с); Qк

пр=+1.

Когда сила слева рассматриваем правую часть и получаем, что на участке слева Мк=0, Qк=0. Для построения ЛВ в многопролетной балке требуется сначала построить ЛВ в простой балке, к которой рассматриваемое усилие. Ордината ЛВ в шарнире , соединяющим главную балку с второстепенной, явлся уже известной. При расположении подвижной нагрузки над опорой давление на ниже

расположенную балку не передается 2.Кинематический метод построения ЛВ: он основан на принципе возможных

перемещений, согласно к-му для находящейся в равновесии системы сумма работ всех сил на любых возможных бесконечно малых перемещениях = 0. Для построения ЛВ этим методом необходимо отбросить связь в к-ой возникает это усилие, после чего полученному механизму по направлению усилия в отброшенной связи задается перемещение равное единице. Полученный график усилия и будет представлять собой ЛВ рассматриваемого усилия.

Рассмотрим двухопорную балку. Отбросим правую опору, заменив ее действием реакцией

Подставляя их в выражение для RB, получим: RB= x/l. Для построения ЛВ изгибающего момента в сечении К рассматриваемой балки введем шарнир в этом сечении (д). Сумма работ сил и моментов опр-ся: -F∆c+Mkφ=0, где φ-угол взаимного поворота торцевых сечений эл-ов примыкающих к шарниру(ж)=> при F=1: Mk=∆c/φ Приняв φ=1 получим, что искомая ЛВ ИМ в сеч. К совпадает с эпюрой возможных перемещений балки(ж.)

11.Линии влияния при узловой передаче нагрузки.

Нагрузка передается на сооружение не непосредственно, а через дополнительные устройства, к-е представлены в виде двухопорных балок-передаточные. Сооружения, на к-е передается нагрузка через передаточные устройства-основные или главные. Передаточные балки передают нагрузки на главные только в опр-ых точках-узлах. При узловой передаче нагрузки на уч-ах между узлами л.в усилий всегда будут линейными. Рассм. л.в. поперечной силы в сеч-и К балки АВ при движении груза по этой балке (рис. 3.12,а,б). Пусть

нагр-а на балку АВ передается посредством системы передаточных балок.

Выделим уч-к между узлами b и с. При расположении силы в точке b или с, т. е. над опорами передаточной балки be, она через опорные стержни будет полностью передаваться на главную балку. Значит, положение силы в точке b или с на передаточных балках эквивалентно ее положению в точках 1 или 2 на главной балке. ординаты yi и у2 л.в. Qk, полученные при непосредственном нагружении главной балки, будут справедливы и при узловой передаче нагрузки. При движ-и еди-

ничной силы по балке be ее опорные реакции (рис. 3.13) равны: Rb = (d-x)/x ; dRc = x/d . Попер-ая сила в сечении К от действия сил, передаваемых на главную балку посредством опорных стержней в точках 1 и 2: Qk=RbУ1+RcУ2=(d-x)/d*У1 + x/d *У2= У1+(y1-y2)/d* x. Полученное выражение п. с. ур-ие прямой на участке be. Следовательно, л. в. Qk на участках между узлами является прямолинейной. Т. о., для построения л. в. усилия при узловой

передаче нагрузки необходимо сначала построить л. в. рассматриваемого усилия при непосредственном загружении сооружения. Затем необходимо зафиксировать ординаты этой л. в. под узлами и соединить их прямыми линиями.

12.Определение усилий по линиям влияния.

Ордината y i л.в усилия S п. с. знач-е этого усилия при расположении единичной силы над этой ординатой. Если над ординатой y, будет не единичная сила, а сила F, то усилие от ее действия будет в F раз больше. То есть усилие равно: S = F yi. усилие S, вызванное системой сосредоточенных сил равно: S = F1 У1 + F2 У2 + - + Fn y n = ∑Fiyi, Усилие S равно

произведению интенсивности нагрузки q на площадь Q л. в. усилия под этой нагрузкой. Для вычисления усилия по л.в. от сосредоточенного момента, представим этот момент в виде пары сил, действующих в окрестности точки приложения момента. Плечо пары сил примем бесконеч-

но малым (dx), тогда каждая из сил будет равна m /dx. Для вычисления усилия воспользу-

емся выражением: m m dy, S = -m/dx* y + m/dx* (y + dy) =mdy/dx= my’

Т.о, усилие S от действия сосредоточенного момента вычисляется по л.в этого усилия как произведение момента на значение первой производной от фун-и влияния усилия в точке приложения момента. При этом сосредоточенный момент принимается полным,

если он действует по часовой стрелке. На линейном участке л.в. производная от фун-и влияния усилия равна тангенсу угла наклона участка л.в усилия по отношению к базовой оси. В этом случае усилие от действия сосредоточенного момента можно вычислить по формуле: S= m*tga. Для стат-ки опр-ых систем, у к-ых л.в. явл-ся кусочно-линейными, общее выражение для оприя усилий от действия сосредоточенных сил, равномер-

но распределённых нагрузок и сосредоточенных моментов имеет вид: S = ∑Fiyi+

+∑q jΩj +∑mk tg ak, (i=1, n; j=1, s; к=1, t), где n, s, t - число, соответственно, сосредоточенных сил Fi, равномерно распределённых нагрузок qj и сосредоточенных моментов mk. Важным при опр-нии усилий от внешних нагрузок явл-ся след-е св-во прямолинейного участка л.в: на прямолинейном участке л. в. усилие от системы вертикальных сил м.б. определено произведением равнодействующей этой системы сил на ординату л. в. под равнодействующей. Это св-во упрощает опр-ие усилий от действия любых нагрузок, действующих на прямолинейных участках л.в, при условии, что можно легко найти равно-

действующие этих нагрузок и точки их приложения. Так, в случае равномерно распределённой нагрузки ее равнодействующая = произведению интенсивности нагрузки на длину участка и приложена в середине этого участка. Распределённую нагрузку, имеющую форму трапеции, следует разбивать на равномерно распределённую и треугольную нагрузки. Либо на две нагрузки, распределенные по форме треугольников:

S = (q1*a)У1+(0,5q2b)У2 + (0,5q3c )y3 + (0,5 q4c) y4

13.Определение наиболее невыгодного положения подвижных нагрузок по л. в.

Наиболее невыгодным положением на сооружении подвижной нагрузки наз-ся такое положение, при к-ом рассматриваемое усилие достигает экстремального знач-я.

1. При действии на сооружение одной подвижной силы расчетному усилию будет соответствовать положение этой силы над наибольшей («+» или «-») ординатой л.в.

2. При действии на сооружение связанной системы сосредоточенных сил, расст-е между к-ми при их движ-ии не меняется, усилие опр-ся: S=∑Fiyi

Рассмотрим действие такой нагрузки на треугольном участке л. в. Примем, что система связанных сил движется слева направо. Положение поезда хар-ся абсциссой x.

Все силы можно разделить на 2 группы: -распол-ые слева от вершины л. в. (Fiлев), и - силы, распол-ые справа от вершины л. в. (Fk npав ). Каждую из этих групп можно привести к равнодействующим Rлев* и R*прав. Тогда выражение для усилия S:

S=ΣFiлев*Yiлев+ΣFkпрYk пр= R*лев Yлев+R*пр Yпр, где у лев, у пр - ординаты л.в. под равнодействующими. В состав равнодействующих следует включать только те грузы, к-ые находятся на соответствующем участке л.в.

Переместив поезд сил на бесконечно малую величину d x , найдемприращение усилия в виде: dS= R*лев dyлев+R*пр dyпр. Разделив на dx, получим выражение для первой производной усилия по переменной x:dS/dx=R*лев dyлев/dx+R*пр dyпр/dx

учитывая dyлев/dx=tgaлев, dyпр/dx=-tgaпр, полу-

чим dS/dx=R*лев tgaлев- R*пр tgaпр

условие для опр-ия невыгодного расположения нагрузки в виде 2-х неравенств: система

(Rлев+Fкр) tgaлев >= Rпр tgaпр; Rлев tgaлев<= (Rпр+Fкр) tgaпр

Первое неравенство-когда критическая сила находится слева от вершины л. в., а второе - когда критическая сила перешла через вершину. Учитывая, что tgaлев = ymax/ а и tgaпр = ymax /b неравенства, после сокращения на ymax: система (Rлев+Fкр)/а >=Rпр/b, Rлев/a<= (Rпр+Fкр)/b. Опр-ие критического груза в соответствии с условием сводится к пробным установкам поезда сил, при к-ых одна из сил, предполагаемая критической, располагается над вершиной л.в. Попытки повторяются до тех пор, пока не будут выполняться оба неравенства.

14.Матрицы влияния усилий в простых и многопролётных балках

15. Связь понятий «линия влияния» и «матрица влияния»

цию RE и реактивные силы в шарнире С: ΣХправ=0, Хс=1,5*4=6 кН; ΣМс прав=0,

1,5*4*2+6*2-Rk*6=0, Rk=4кН; ΣYc прав=0, -6+4+Yc=0, Yc=2кН.

Рассматривая равновесие трехшарнирной рамы AC, найдем реакции в опорах А и В . Из ур-ий:

ΣМс пр=0, -Yв*4+Хв*2+2*4*2=0, ΣМАверх=0, 12+2*4-6*4-Хв*2-Yв*8+2*4*6=0

Хв=2 кН, Yв=5кН

17 Образование трёхшарнирных арок, определение реакций и усилий.

Трехшарнирной называют систему, которая состоит из двух дисков, соединенных между собой шарниром, и опирающихся на землю (основание) с помощью шарнирно неподвижных опор. Трехшарнирные системы, у которых диски представлены криволинейными стержнями, называют трехшарнирными арками. основные элементы арки (рис. 4.4). Опорные сечения называют пятами. Расстояние между опорами называется пролетом. Сечение арки в точке С, в котором полуарки соединяются шарниром, называется ключевым. Высоту ключевого сечения над линией опор называют стрелой подъема арки. В зависимости от отношения стрелы подъема к пролету f / 1 различают пологие арки (при малых значениях f/1) и крутые (при больших значениях f/1). В пологих арках имеют место большие распоры и большие продольные силы. Очертание оси арки может быть задано произвольной кривой. Чаще всего арки выполняют круговыми, параболическими, синусоидальными

и т. п Вертикальные составляющие опорных реакций арки опре-

делим из ур-ий равновесия, составленных в виде сумм моментов всех сил относительно опорных точек А и В:

ΣМА=0, -Rв*l+ ΣFi aFi =0,

Rв= (ΣFi aFi )/l;

ΣМв=0, RА*l- ΣFi bFi =0, RА=

Опр-ие горизонтальных состав-

HA и HB.

ΣMc лев=0; RA l/2- ΣFi(l/2–aFi)-

HA= RA*l/2-ΣFi(l/2– aFi)/f

ΣMc пр=0; -Rв l/2+ ΣFi(l/2–bFi)-Hвf=0, Hв=Rв*l/2-ΣFi(l/2– bFi)/f, (i=1, s)

Изгибающий момент в сечении х равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих слева от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести дан-

ного сечения: Mx=Mx лев=RA*Х-ΣFi(x-aFi)-Hay, (i=1, k)

Поперечная сила в сечении арки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, включая опорные реакции, действующие по одну сторону от сечения, на нормаль к оси арки в этом сечении. Для сечения x получим Qx= RAcosφxF1cosφx- F2cosφx- Hsinφx= (RA-F1-F2)cosφx- Hsinφx

Продольная сила в сечении арки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, включая опорные реакции, действующие по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки в рассматриваемом сечении. Для произвольного сечения x получим:

Nx= -RAsinφx+F1sinφx+ F2sinφx- Hcosφx= -(RA-F1-F2)sinφx- Hcosφx

18.Сопоставление трёхшарнирной (распорной) системы с балкой