6. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность

Основные формулы

• Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

A=IФ,

где Ф–изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром;I–сила тока в контуре.

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Ленца)

где Ɛ_i–электродвижущая сила индукции;N —число витков контура;–потокосцепление.

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов Uна концах проводника длинойI, движущегося со скоростьюв однородном магнитном поле,

U=Blsin,

где –угол между направлениями векторов скоростии магнитной индукции В;

б) электродвижущая сила индукции Ɛ_i, возникающая в рамке, содержащейNвитков, площадьюS,при вращении рамки с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукциейВ

где t–мгновенное значение угла между векторомВи вектором нормалиnк плоскости рамки.

• Количество электричества Q, протекающего в контуре,

где R —сопротивление контура;–изменение потокосцепления.

•Электродвижущая сила самоиндукции Ɛ_i, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

где L —индуктивность контура.

• Потокосцепление контура =LI, гдеL —индуктивность контура.

• Индуктивность Lсоленоида (тороида) длинойlравна

L=μ₀μ N²S/l,

где N –число витков соленоида;S– площадь поперечного сечения.

Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В отН(см. рис. 5.1), а затем формулой

• Мгновенное значение силы тока Iв цепи, обладающей активным сопротивлениемRи индуктивностьюL:

а) после замыкания цепи

–ЭДС источника тока;t—время, прошедшее после замыкания цепи;

б) после размыкания цепи

гдеl₀–сила тока в цепи приt=0, t—время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Примеры решения задач

Пример 6.1.Виток, по которому течет токI=20 А, свободно установится в однородном магнитном полеВ=16 мТл. Диаметрdвитка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол=/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение.При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

где Ф₁и Ф₂–магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента p_mконтура сонаправлен с векторомВ(рис. 6.1, а) и магнитный поток Ф₁максимален (=0,cos=1), т. е. Ф₁=ВS(гдеS–площадь контура). В конечном положении (рис. 6.1,б)векторp_mперпендикулярен векторуB (=/2,cos=0) и магнитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделанных замечаний:

Так как площадь контура S=d²/4.то работа

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 6.2.В однородном магнитном поле с индукциейB=0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащаяN=1000 витков, с частотойn=l0c^-1. ПлощадьSрамки равна 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение.Мгновенное значение ЭДС индукции, определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея–Максвелла:

(1)

Потокосцепление =NФ, гдеN —число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражениев формулу (1), получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t,изменяется по законуФ=ВScost,гдеВ — магнитная индукция;S–площадь рамки;–угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой пвращения соотношением=2п.Подставив выражение со в формулу (3) и заменивtна угол, получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 ,Nиsint —величины безразмерные и неименованные, получим

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

Пример. 6.3По соленоиду течет токI=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Определить индуктивностьLсоленоида, если он имеетN=800витков.

Решение.ИндуктивностьLсоленоида связана с потокосцеплениемсоотношением=LI, откудаL=/I.Заменив здесь потокосцеплениеего выражением через магнитный поток Ф и число витковNсоленоида (=ФN), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Задача 6.1

Вариант №	Ток I, А	В, мТл	d, см
1	23,2	17,9	11,3
2	24,3	18,6	11,7
3	21,9	18,8	11,7
4	22,8	20	11,6
5	24,5	20,9	11,5
6	21,1	19,7	10,8
7	22,5	19,6	11,1
8	23,6	17,9	10,5
9	24,8	21,3	11,6
10	21,4	22	10,3
11	23,7	18	11,7
12	23	19,4	11,1
13	20,3	20,9	10,9
14	22,8	18,8	10,8
15	21,3	19	10,8
16	22	16,2	11,1
17	22,1	22	10,7
18	22,4	19,7	11,3
19	23,4	19,6	10,6
20	20,4	17,7	11,6
21	21,9	17,1	11,6
22	21,8	20,8	11,4
23	24,8	20,5	11,1
24	20,6	18,7	11,2
25	20,4	18,5	10,2
26	23,9	20,4	11,9
27	20,6	19,9	11,6
28	24,7	17,2	11,9
29	22,6	18,6	10,2
30	24,6	18,2	10,6

Задача 6.2

Вариант №	В, Тл	N	n, c-1	S,см2	град.
1	0,12	1088	11,1	159	45
2	0,25	1056	10,4	155	60
3	0,14	1138	11,9	155	30
4	0,14	1034	10,3	158	45
5	0,21	1192	12,4	155	60
6	0,41	1031	12,5	163	30
7	0,46	1126	12,8	157	45
8	0,32	1064	12,7	164	60
9	0,51	1011	12,8	165	30
10	0,45	1032	13	155	45
11	0,25	1112	10,4	154	60
12	0,36	1161	11,6	152	30
13	0,22	1062	12,1	173	45
14	0,49	1014	11,4	164	60
15	0,47	1078	12	167	30
16	0,31	1080	12,8	172	45
17	0,46	1094	10,5	152	60
18	0,53	1186	11,1	157	30
19	0,2	1121	11,4	168	45
20	0,4	1109	11,8	162	60
21	0,21	1097	10,7	168	30
22	0,16	1021	12,1	170	45
23	0,53	1088	11,7	169	60
24	0,36	1048	10,4	162	30
25	0,29	1063	10,4	157	45
26	0,35	1173	10,8	152	60
27	0,36	1070	12,1	154	30
28	0,38	1066	10,7	168	45
29	0,35	1120	11,9	152	60
30	0,47	1177	11,8	153	30

Задача 6.3

Вариант №	Ток I, А	Ф, мкВб	N
1	2,36	8,72	859
2	2,84	5,73	841
3	3,16	7,92	875
4	3,14	6,65	873
5	3,19	4,2	863
6	3,31	5,82	817
7	3,42	6,81	808
8	2,97	7,64	880
9	2,86	5	824
10	3	7,42	801
11	2,47	8,49	828
12	3,39	7,7	861
13	2,2	7,58	872
14	3,74	8,55	831
15	3,42	4,38	844
16	2,06	8,49	823
17	2,21	5,93	851
18	3,65	5,47	806
19	3,41	6,41	841
20	2,63	5,33	821
21	3,02	7,41	876
22	2,61	7,46	863
23	2,87	4,15	866
24	3,97	7,99	878
25	2,94	7,38	804
26	3,18	5,92	848
27	3,8	4,93	869
28	2,86	4,55	813
29	2,12	8,3	807
30	2,18	6,65	835