5. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи

Основные формулы

 Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура

где B_i — проекция вектора магнитной индукции на направление элементарного перемещения dl вдоль контура L. Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура

,

 Закон полного тока (для магнитного поля в вакууме)

где ₀ –магнитная постоянная; —алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром;п — число токов.

Закон полного тока (для произвольной среды)

 Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:

а) в случае однородного поля

Ф=BS cos; или Ф =B_nS,

где –угол между вектором нормалиnк плоскости контура и вектором магнитной индукции В;В_n —проекция вектораВна нормальn(B_n=Bcos);

б) в случае неоднородного поля

где интегрирование ведется во всей поверхности S.

 Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или тороида,

где Ф –магнитный поток через один виток;N —число витков соленоида или тороида.

 Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями:

а) магнитная индукция на осевой линии тороида

где I–сила тока в обмотке тороида;N —число ее витков;l₁иl₂- длины первой и второй частей сердечника тороида;₁ и₂–магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника тороида;₀ –магнитная постоянная

б) напряженность магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника

H₁=B /(₁ ₂); H₁=B /(₂ ₀ );

в) магнитный поток в сердечнике тороида

или по аналогии с законом Ома

Ф_m=F_m/R_m,

где F_m–магнитодвижущая сила;R_m —полное магнитное сопротивление цепи;

г) магнитное сопротивление участка цепи

R_m=l/(μμ₀S).

• Магнитная проницаемость μ,ферромагнетика связана с магнитной индукциейВполя в нем и напряженностьюНнамагничивающего поля соотношением

μ=B/(μ₀H).

• Связь между магнитной индукцией Вполя в ферромагнетике и напряженностьюНнамагничивающего поля выражается графически (рис. 5.1).

Примеры решения задач

Пример 5.1.В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длинойl=65 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадьюSопределяется выражением

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки В_n=В.Магнитная индукцияВ, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x—расстояние от провода до точки, в которой определяетсяВ.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как Взависит отхи элементарный поток Ф будет также зависеть отх,то

dф=B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, ширинойdxи площадьюdS=ldx(рис. 5.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояниех)от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ=

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁=aдох₂=2а,найдем

|_^2.

Подставив пределы, получим

(1)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [₀] [I] [l]= Гн/м1 А1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдем Ф=4,5 мкВб.

Пример 5.2.Определить индукциюВи напряженностьНмагнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащейN=200 витков, идет токI=5 А. Внешний диаметрd₁ тороида равен 30 см, внутреннийd₂= 20см.

Решение.Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектораНвдоль линии магнитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и напряженности во всех точках этой линии одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряженность Нможно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2r,гдеr —радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.

(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2rH=-NI,откуда

(4)

Для средней линии тороида r=1/2(R₁R₂)=1/4(d₁+d₂). Подставив это выражениеrв формулу (4), найдем

(5)

Магнитная индукция В₀ в вакууме связана с напряженностью поля соотношениемB₀=₀H. Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

H=1,37 кА/м,B₀=1,6 мТл.

Пример. 5.3.Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длинойl_о=5 мм. Длинаlсредней линии кольца равна 1 м. Сколько витковN содержит обмотка на кольце, если при силе токаI=4 А индукцияВ магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение.Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем

IN=Hl+H₀I₀.

По графику (см. рис. 5.1) находим, что при В=0,5Тл напряженностьНмагнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м. Так как для воздуха=1, то напряженность поля в воздушном зазоре

H₀=B₀=0,4 MA/м.

Искомое число витков

N=(Hl+H₀ l_o)/I==800.

Задача 5.1

Вариант №	Ток I, А	l, см
1	53,7	69
2	51,6	68,7
3	51,5	70,1
4	51,4	70,3
5	52,8	70,8
6	52,5	67,9
7	51,8	69,8
8	53,3	65,4
9	52	69,4
10	53,4	67,9
11	50,7	69
12	53,2	65,1
13	50,2	70,9
14	52	69,3
15	50,3	65,4
16	50,3	66,6
17	51,3	67,4
18	54,6	65,7
19	52,2	69
20	52,6	66,2
21	50,7	67,1
22	53,5	68,1
23	53,6	66,7
24	51,5	68,7
25	50,3	65,2
26	54,8	67,9
27	51,3	70,5
28	52,9	68,4
29	50,1	70,8
30	50,1	69,3

Задача 5.2

Вариант №	N	Ток I, А	d1, см	d2, см
1	213	5,86	30	21,6
2	204	6,21	31,2	21,1
3	215	5,28	31,5	20,4
4	214	5,48	31,5	20,3
5	214	5,51	31,5	22,2
6	218	6,86	32,9	22,8
7	219	5,89	31,7	21,7
8	201	5,89	30	21,4
9	212	5,18	31,7	21,2
10	208	5,76	31,6	20,7
11	220	5,63	32,3	20,9
12	203	5,06	31,1	21,7
13	210	6,14	30	22,1
14	214	5,72	32,9	22,7
15	209	5,06	32,7	20,8
16	201	5,41	30,1	21,8
17	209	5,31	31,2	21,3
18	220	5,48	30,4	21,7
19	204	6,64	32,3	22,5
20	210	5,23	31,2	20,7
21	217	5,74	31,7	20,1
22	202	5,45	30,4	22
23	204	5,6	32,6	20,6
24	219	5,38	31,7	20,1
25	214	5,71	32,6	21,3
26	208	6,54	31,5	20,6
27	205	6,98	31,2	21,7
28	206	6,54	32,1	20
29	213	5,84	32,5	21,9
30	215	6,96	32,5	22,5

Задача 5.3

Вариант №	lо, мм	l, м	Ток I, А	В, Тл
1	5,62	1,41	4,82	0,58
2	5,99	1,19	4,82	0,55
3	5,42	1,23	4,06	0,35
4	5,74	1,38	4,47	0,34
5	5,12	1,29	4,42	0,34
6	5,32	1,37	4,2	0,55
7	5,12	1,36	4,53	0,34
8	5,52	1,01	4,47	0,39
9	5,94	1,32	4,25	0,37
10	5,15	1,07	4,09	0,48
11	5,92	1,02	4,32	0,31
12	5,78	1,5	4,09	0,38
13	5,64	1,34	4,6	0,2
14	5,33	1,39	4,84	0,54
15	5,32	1,44	4,19	0,52
16	5,5	1,48	4,07	0,38
17	5,73	1,42	4,6	0,4
18	5,47	1,43	4,71	0,4
19	5,82	1,23	4,45	0,31
20	5,09	1,07	4,01	0,22
21	5,19	1,39	4,5	0,22
22	5,26	1,27	4,47	0,38
23	5,31	1,16	4,66	0,42
24	5,1	1,24	4,34	0,28
25	5,65	1,24	4,74	0,51
26	5,81	1,39	4,95	0,36
27	5,74	1,42	4,69	0,55
28	5,86	1,5	4,12	0,33
29	5,84	1,11	4,53	0,2
30	5,92	1,03	4,04	0,52