- •Оглавление
- •1. Законы постоянного тока
- •2. Постоянный ток в проводящей среде
- •3. Магнитное поле постоянного тока
- •4. Силы, действующие на движущиеся заряды в магнитном поле
- •5. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи
- •6. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность
- •Примеры решения задач
- •7. Энергия магнитного поля Основные формулы
- •Примеры решения задач
7. Энергия магнитного поля Основные формулы
• Энергия Wмагнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностьюL,определяется формулой
,
где I–сила тока в контуре.
• Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)
.
• Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления
,
где L–индуктивность контура;С–его электроемкость.
• Связь длины электромагнитной волны с периодом Ти частотойυколебаний
или,
где с — скорость электромагнитных волн в вакууме (с=3*108м/с).
• Скорость электромагнитных волн в среде
где ε –диэлектрическая проницаемость; μ–магнитная проницаемость среды.
Примеры решения задач
Пример 7.1.На стержень из немагнитного материала длинойl=50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходитсяn= 20 витков. Определить энергиюWмагнитного поля внутри соленоида, если сила токаIв обмотке равна 0,5 А. ПлощадьSсечения стержня равна 2 см2.
Решение.Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностьюL,по обмотке которого течет ток I,выражается формулой
. (1)
Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема Vсердечника:L=μ0n2V,гдеμ0–магнитная постоянная. Подставив выражение индуктивностиLв формулу (1), получим. Учтя, чтоV=lS,запишем
. (2)
Сделав вычисления по формуле (2), найдем
W=l26 мкДж.
Пример 7.2.По обмотке метрового соленоида со стальным сердечником течет токI=2А. Определить объемную плотностьωэнергии магнитного поля в сердечнике, если числопвитков на каждом сантиметре длины lсоленоида равно 7 см-1.
Решение.Объемная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле
. (1)
Напряженность Нмагнитного поля найдем по формулеH=nl. Подставив сюда значенияп, l (п=7 см-1,l=1 м,nl=700 м-1) иI, найдем
H=1400 А/м.
Магнитную индукцию Вопределим по графику (см. рис. 5.1) зависимостиВотН.Находим, что напряженностиH=1400 А/м соответствует магнитная индукцияB=1,2 Тл.
Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плотность энергии:
ω=840 Дж/м3.
Пример 7.3.На железный сердечник длинойl=20 см малого сечения (d<l) намотаноN=200 витков. Определить магнитную проницаемостьμжелеза при силе токаI=0,4 А.
Решение.Магнитная проницаемостьμсвязана с магнитной индукциейВи напряженностьюНмагнитного поля соотношением
B= μ0μH. (1)
Эта формула не выражает линейной зависимости ВотН,так какμ является функциейН.Поэтому для определения магнитной проницаемости обычно пользуются графиком зависимостиВ(Н)(см. рис. 5.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость:
μ=B/( μ0H). (2)
Напряженность Нмагнитного поля вычислим по формуле (катушку с малым сечением можно принять за соленоид)Н=п1,гдеп —число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формулепчерез числоNвитков катушки и ее длинуl, получим
H=(N/l)I.
Подставив сюда значения N, lиIи произведя вычисления, найдем
H=400 А/м.
По графику Рис. 5.1 находим, что напряженности Н=400 А/м соответствует магнитная индукция B=1,05 Тл. Подставив найденные значенияВ и Н, атакже значениеμ0в формулу (2), вычислим магнитную проницаемость:
μ=2,09 *103.
Задача 7.1
Вариант № |
l, см |
n |
Ток I, А |
S, см2 |
1 |
52 |
24 |
2,16 |
3,12 |
2 |
52,4 |
27 |
0,72 |
2,3 |
3 |
50,2 |
20 |
2,46 |
2,11 |
4 |
54,2 |
21 |
0,76 |
3,47 |
5 |
50,3 |
29 |
1,79 |
2,54 |
6 |
53,7 |
23 |
2,18 |
3,34 |
7 |
54,4 |
20 |
1,07 |
3,51 |
8 |
50,4 |
30 |
2,45 |
2,98 |
9 |
54 |
24 |
2,33 |
3,2 |
10 |
53,3 |
22 |
1,65 |
3,93 |
11 |
51 |
25 |
0,75 |
2,51 |
12 |
51,6 |
28 |
1,48 |
3,31 |
13 |
50,6 |
22 |
1,67 |
2,18 |
14 |
55 |
23 |
1,01 |
3,4 |
15 |
52 |
26 |
0,58 |
2,34 |
16 |
52,5 |
30 |
0,54 |
3,76 |
17 |
51,7 |
22 |
0,63 |
2,41 |
18 |
50 |
23 |
1,19 |
3,06 |
19 |
52,1 |
27 |
0,91 |
2,05 |
20 |
51,8 |
27 |
0,83 |
3,72 |
21 |
53,8 |
26 |
1,25 |
2,94 |
22 |
54,2 |
21 |
1,49 |
3,01 |
23 |
51,6 |
27 |
1,64 |
3,42 |
24 |
54 |
22 |
1,16 |
2,86 |
25 |
54,1 |
21 |
2,1 |
2,47 |
26 |
50,9 |
29 |
2,39 |
2,88 |
27 |
51 |
30 |
1,22 |
2,66 |
28 |
54,6 |
28 |
2,09 |
3,96 |
29 |
50,8 |
27 |
2,14 |
3,45 |
30 |
53,1 |
23 |
2,37 |
2,65 |
Задача 7.2
Вариант № |
Ток I, А |
n, cм-1 |
l, м |
1 |
1,99 |
9 |
0,68 |
2 |
1,32 |
9 |
0,48 |
3 |
1,24 |
7 |
1,1 |
4 |
1,41 |
8 |
0,25 |
5 |
1,34 |
10 |
1,08 |
6 |
1,76 |
10 |
1,03 |
7 |
1,77 |
9 |
0,97 |
8 |
1,79 |
7 |
1 |
9 |
1,84 |
10 |
0,69 |
10 |
1,41 |
9 |
0,42 |
11 |
1,91 |
9 |
0,62 |
12 |
1,76 |
7 |
0,98 |
13 |
1,18 |
8 |
0,48 |
14 |
1,03 |
10 |
0,73 |
15 |
1,92 |
7 |
0,78 |
16 |
1,73 |
8 |
0,74 |
17 |
1,45 |
7 |
0,52 |
18 |
1,59 |
7 |
0,41 |
19 |
1,57 |
8 |
0,22 |
20 |
1,41 |
7 |
0,63 |
21 |
1,21 |
9 |
0,68 |
22 |
1,27 |
9 |
1,12 |
23 |
1,21 |
8 |
0,25 |
24 |
1,69 |
8 |
0,22 |
25 |
1,92 |
9 |
0,31 |
26 |
1,66 |
8 |
0,32 |
27 |
1,33 |
10 |
0,96 |
28 |
1,61 |
7 |
0,41 |
29 |
1,8 |
9 |
0,77 |
30 |
1,68 |
8 |
0,96 |
Задача 7.3
Вариант № |
l, см |
N |
Ток I, А |
1 |
11 |
178 |
0,525 |
2 |
19 |
183 |
0,438 |
3 |
18 |
140 |
0,534 |
4 |
12 |
144 |
0,511 |
5 |
15 |
116 |
0,401 |
6 |
10 |
168 |
0,506 |
7 |
17 |
136 |
0,581 |
8 |
17 |
157 |
0,456 |
9 |
19 |
137 |
0,444 |
10 |
15 |
116 |
0,427 |
11 |
19 |
197 |
0,519 |
12 |
19 |
183 |
0,409 |
13 |
15 |
143 |
0,526 |
14 |
20 |
161 |
0,584 |
15 |
17 |
120 |
0,496 |
16 |
11 |
144 |
0,484 |
17 |
20 |
190 |
0,545 |
18 |
15 |
162 |
0,423 |
19 |
10 |
191 |
0,484 |
20 |
18 |
138 |
0,465 |
21 |
17 |
168 |
0,462 |
22 |
14 |
158 |
0,469 |
23 |
11 |
119 |
0,403 |
24 |
11 |
198 |
0,437 |
25 |
19 |
143 |
0,461 |
26 |
13 |
172 |
0,446 |
27 |
15 |
152 |
0,408 |
28 |
18 |
150 |
0,589 |
29 |
11 |
164 |
0,579 |
30 |
11 |
109 |
0,475 |