Надежность авиатехники_Конспект лекций
.pdf
Основное достоинство коэффициента отказов заключается в том, что он позволяет выделить из общего числа отказов отказы составных элементов изделия и, следовательно, определить надежность каких элементов нужно повысить для повышения надежности изделия. Однако эта характеристика не учитывает количество элементов того или иного типа в изделии, т.е. по ее величине невозможно судить о надежности элементов. Коэффициент отказов характеризует элементарную структуру как изделия длительного использования, работающего в режиме смены элементов, так и изделия разового использования.
2. Относительный коэффициентов отказов элементов
Относительным коэффициентом отказов элементов называется отношение процента отказов изделия из-за отказов элемента данного типа, взятых за определенный календарный срок, к проценту этих элементов в изделии.
Согласно определению
K |
o.o |
|
ni |
n |
|
ni N |
. |
(9.24) |
|
|
|
||||||
|
|
Ni |
N |
|
nNi |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Учитывая выражения (9.18) и (9.20), равенство (9.24) можно представить в виде
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
j |
|
|
|
N |
|
j 1 |
|
|||
K |
|
|
|
|
|
||||
o.o |
N |
|
N |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
υ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
υ 1 |
|
||
|
N |
|
N |
||
|
||
|
i |
ni n
.
(9.25)
Данное выше определение и выражения (9.24) и (9.25) являются статистическими определениями относительного коэффициента отказов.
Этот коэффициент может быть выражен через частоты отказов. Подставляя (9.21) в (9.24), получим
Ko.o N ωi tt . (9.26)
ω
При длительной эксплуатации изделия |
|
|
|
|
|
|||
Ko.o |
N |
Tcp. |
. |
|
|
(9.27) |
||
|
|
|
||||||
|
Tcp. i |
|
|
|
|
|
||
Выражения (9.26) и (9.27) дают вероятностное представление об относи- |
||||||||
тельном коэффициенте отказов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая (9.23) и (9.27), замечаем, что коэффициента |
Ko |
и |
Ko.o связа- |
|||||
ны зависимостью вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ko.o |
Ko |
N |
. |
|
|
(9.28) |
||
N |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Данная характеристика, так же как коэффициент отказов |
Ko |
позволяет |
||||||
судить о том, надежность каких элементов целесообразно повысить для повышения надежности изделия. коэффициент Ko.o характеризует не только надеж-
71
ность элементов, но и дает представление об элементной структуре изделия. в
противоположность коэффициенту |
Ko |
он учитывает количество элементов в |
изделии, а поэтому более полно характеризует надежность элементов. В этом его основное преимущество.
Как и коэффициент отказов, относительный коэффициент отказов характеризует надежность элементов в изделии как для длительного, так и разового использования.
3. Коэффициент расхода элементов
Коэффициентом расхода элементов называется отношение числа отказавших и изъятых в процессе профилактических осмотров и ремонтов элементов в единицу времени к общему числу данных элементов в аппаратуре (изделии).
Согласно определению |
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
Kз |
i |
из. |
|
|
|
|
|
i |
, |
(9.29) |
|
N |
|
t |
|||
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где
nиз. i
– число элементов i-ого типа, изъятых за время
t
в процессе профи-
лактических осмотров и ремонтов изделия. Поделим числитель и знаменатель выражения (9.29)
|
|
|
1 n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
K |
|
|
|
из. |
i |
i |
ω |
t 1 |
из. |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
з |
|
N |
|
t |
|
n |
i |
n |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
||
на
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
||
|
|
ni
, тогда получим
(9.30)
Этот коэффициент позволяет определить число элементов, необходимое для нормальной эксплуатации изделия в течение определенного промежутка времени. Зная Kз t можно обосновать необходимый состав запасных элемен-
тов для любой, какой угодно сложной системы. В этом основное свойство коэффициента расхода.
Лекция 10
ЧАСТОТА ОТКАЗОВ
Частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов изделия в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытании при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не
заменяются исправными. |
|
|
Так как число отказавших образцов в интервале времени |
t |
может зави- |
сеть от расположения этого промежутка по оси времени, то частота отказов яв-
ляется функцией времени. |
|
|
|
|
|||
Согласно определению |
|
|
|
|
|||
a t |
n t t |
, |
|
(10.1) |
|||
|
|
||||||
|
N0 |
|
|
|
|
||
где n t – число отказавших образцов в интервале времени от t |
t |
до t |
t |
; |
|||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
72
t |
– интервал времени; |
N0 |
– число образцов изделия, первоначально установленных на испытания. |
|
Выражение (10.1) является статистическим определением частоты отка- |
зов. Этой характеристике надежности легко дать вероятностное определение. Вычислим в равенстве (10.1) n t , т.е. число образцов, отказавших в интервале
t . |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
n t N t |
t N t , |
(10.2) |
|||
где N t – число образцов, исправно работающих к моменту времени t ; |
|
|||||
N t |
t – то же к моменту времени t |
t . |
|
|
||
При достаточно большом числе образцов N0 |
справедливы соотношения |
|||||
|
N t N P t , |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
(10.3) |
|
N t |
t N |
P t |
t |
||
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
Подставляя (10.2) в (10.1) и
a t
учитывая |
|
N |
P t |
0 |
|
|
N |
|
0 |
(10.3), получим |
||
t P t |
. |
|
t |
||
|
||
Устремляя
t
к нулю и переходя к пределу, получим
a t lim |
P t |
t P t |
P t |
|
t |
||
t 0 |
|
|
(10.4)
или с учетом того, что |
|
Q t 1 P t |
, |
получим |
|
|
(10.5) |
a t Q t . |
Из этого выражения видно, что частота отказов есть плотность распределения времени работы изделия до его отказа. Численно она равна взятой с обратным знаком производной от вероятности безотказной работы. Равенство (10.5) являет-
ся вероятностным определением частоты отказов. |
|
|
Таким образом, между P t , Q t и частотой отказов существуют зависи- |
||
мости вида |
|
|
t |
|
|
Q t a t dt, |
|
|
0 |
(10.6) |
|
t |
||
|
||
P t 1 a t dt. |
|
|
0 |
|
|
Частота отказов, являясь плотностью распределения, наиболее полно ха- |
||
рактеризует такое случайное явление, как время возникновения отказов. Величины P t , Q t , математическое ожидание, дисперсия и т.п. всегда могут быть получены, если известна a t . В этом ее основное достоинство как характеристики надежности.
73
Характеристика |
a t |
имеет также существенные недостатки. Эти недо- |
статки становятся ясными при детальном рассмотрении выражении (10.1). При |
|
определении a t из экспериментальных данных фиксируется число отказав- |
|
ших образцов n t за промежуток |
t при условии, что все отказавшие ранее |
образцы не восполняются исправными. Это означает, что частоту отказов можно использовать для оценки надежности только такого изделия, которое после возникновения отказа не ремонтируется и в дальнейшем не используется. В противном случае частота отказов характеризует надежность изделия лишь до его первого отказа.
Типичная кривая частоты отказов a t
Рисунок 10.1.
Из кривой видно, что в работе изделия можно выделить три характерных участка. На участке от 0 до t1, частота отказов резко уменьшается. Высокая частота отказов на начальном участке объясняется наличием большого числа отказов изделия вначале эксплуатации из-за элементов, имеющих внутренние дефекты и т.п., т.е. в результате приработки изделия. Участок приработки может отсутствовать, если на заводе-изготовителя произведена тщательная отбраковка элементов с внутренними дефектами и осуществлена приработка изделия в
процессе его испытания. |
a t уменьшается по экспоненциальной кривой. Этот |
На участке от t1 до t2 |
участок характеризует нормальную работу изделия и является несоизмеримо более длинным, чем участок приработки.
Уменьшение a t с течением времени вовсе не означает, что надежность изделия повышается. На участке от 0 до t2 число отказавших образцов n t за промежуток времени t убывает с течением времени, так как уменьшается общее число испытуемых образцов, а старение на участке от t1 до t2 отсутствует. Этим объясняется уменьшение a t на участке от 0 до t2. При этом надежность изделия с течением времени также убывает.
74
Участок от t2 до t3 характеризуется значительным ростом частоты отказов, что объясняется механическим и электрическим износом элементов.
Уменьшение a t после времени t3 объясняется не повышением надежности изделия, а незначительным количеством исправно работающих к этому времени образцов, в результате чего число отказавших образцов n t за интер-
вал времени |
t |
становится небольшим. |
Надежность изделия длительного использования может характеризоваться частотой отказов, полученной при условии замены отказавшего изделия исправным.
Средняя частота отказов
Средней частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу испытываемых образцов при условии, что все образцы, вышедшие из строя заменяются исправными (новыми или восста-
новленными). Таким образом |
n t |
|
|
|
|
|
|
||
|
ω t |
, |
|
|
(10.7) |
||||
|
N |
|
|
||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
где n t – число отказавших образцов в интервале времени от t |
t |
до t |
t |
; |
|||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
N0 |
– число испытываемых образцов ( N0 |
остается в процессе испытания |
|||||||
|
постоянным, так как отказавшие образцы заменяются исправными); |
|
|||||||
t |
– интервал времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Установим зависимость между средней частотой отказов и остальными
характеристиками надежности. |
|
|
Пусть в момент времени |
t 0 |
на испытании находятся N0 образцов из- |
делия и пусть по мере выхода из строя какого-либо образца он заменяется исправным. Тогда среднее число отказавших образцов в любом промежутке t ,
t |
t на основании (10.7) будет |
|
|
|
|
|
n t ω t N0 |
t , |
(10.8) |
||
причем n t n1 t n2 t – число отказавших образцов из числа тех, которые |
|||||
|
были поставлены на испытание в момент t 0 ; |
|
|||
|
n2 t – число отказавших образцов из числа замененных в процессе ис- |
||||
|
пытания за время от 0 до t . |
|
|
||
|
Очевидно, что n1 t определяется через частоту отказов Q t |
в соответ- |
|||
ствии с формулой (10.1), т.е. |
t a t |
N0 |
|
|
|
|
n1 |
t . |
(10.9) |
||
|
Вычислим n2 t . Пусть |
τ , τ |
τ |
некоторый промежуток |
времени, |
предшествующий промежутку t , t t , т.е. |
τ t . Очевидно в этом промежут- |
||||
75
ке выйдет из строя ω τ N0 τ |
образцов. Эти образцы будут заменены, и в |
||||
промежутке |
t |
из их числа в среднем откажут |
|
||
|
|
ω τ N0 |
τ a t τ t |
(10.10) |
|
образцов. |
|
|
t достаточно просуммировать (10.10) по всем |
||
Тогда для определения n2 |
|||||
промежуткам |
|
τ , предшествующим t , т.е. |
|
||
|
|
n2 t |
|
t |
|
|
|
N0 |
t ω t a t τ dτ . |
(10.11) |
|
|
|
|
|
0 |
|
Подставляя (10.11), (10.9) в (10.8) и сокращая на
t ω t a t ω τ a t τ dτ
0
N0
.
t , получим
(10.12)
Средняя частота отказов может быть выражена через вероятность безотказной работы. Для этого воспользуемся выражениями
|
|
a t P t ; |
a t-τ P t τ . |
Подставляя в (10.12) вместо a t и a t τ их значения, получим
t ω t P t ω τ P t τ dτ
0
.
(10.13)
Выражение (10.12) и (10.13) позволяют найти среднюю частоту отказов, если известны либо ее частота, либо ее вероятность безотказной работы. Однако на практике решить уравнения (10.12) и (10.13) аналитически не удается, поскольку плотность распределения времени работы изделия до отказа имеет сложный вид.
Запишем интегральные уравнения (10.12) в операторной форме. Обозначим a s и ω s преобразования Лапласа для функции a t и ω t . Учитывая, что
t
ω τ a t τ dτ
0
является сверткой функции ω t и
t ω τ a t
0
a tτ
, получимdτ ω s
a s
.
Тогда уравнение (10.12) в операторной форме запишется в виде |
|
||||
ω s a s ω s a s |
|
||||
или |
a s |
|
|
|
|
ω s |
|
. |
(10.14) |
||
|
a s |
||||
1 |
|
|
|||
Введем обозначения
P s P t .
76
Тогда в операторной форме равенство
|
|
t |
|
|
|
|
|
P t |
1 a t dt |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
запишется в виде |
a s |
|
1 a s |
|
|||
P s 1 |
|
|
|||||
|
|||||||
s |
|
s |
|
|
s |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
a s |
1 sP s . |
||||||
Подставляя a s в (10.14), получим |
|
|
|
|
|||
ω s |
1 sP s |
. |
|
||||
sP s |
|
||||||
|
|
|
|
||||
(10.15)
Средняя частота отказов имеет следующие важные свойства:
1. ω t a t – это свойство очевидно, если учесть, что a t 0 , а интеграл в уравнении (10.12) не может быть отрицательным;
2. независимо от вида функции a t при t средняя частота отказов стре-
мится к постоянной величине. |
|
Основное достоинство ω t в том, что она позволяет: |
|
а) |
полно оценит свойство изделия, работающего в режиме смены элементов; |
б) |
может быть использована для оценки надежности систем разового при- |
|
менения в процессе их хранения; |
в) |
определить число отказавших в изделии элементов, что позволяет про- |
|
гнозировать необходимое число элементов нуждающихся в замене в пе- |
|
риод эксплуатации за время t ; |
г) |
позволяет правильно спланировать частоту профилактики, структуру |
ремонтных органов.
Недостатком средней частоты как характеристики надежности является сложность определения по известной ω t других характеристик надежности и в частности – вероятности безотказной работы.
Лекция 11
НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
Восстанавливаемыми называются изделия или системы, которые в случае возникновения отказа могут быть восстановлены и продолжать работу.
В течение времени от первого включения в работу до появления первого отказа надежность восстанавливаемых изделий оценивается также, как и изделий невосстанавливаемых, т.е. как вероятность безотказной работы. Для этого интервала времени работы к восстанавливаемым системам применимы все результаты и выводы, изложенные для невосстанавливаемых систем. Однако одних характеристик безотказности для оценки надежности восстанавливаемых (ремонтируемых) систем недостаточно, так как они после отказа ремонтируют-
77
ся и продолжают работать. Поэтому для них имеются дополнительные характеристики надежности.
Характеристики ремонтопригодности
Время восстановления изделия после отказа зависит от многих факторов (от вида отказа, числа отказавших элементов и т.п.), имеющих случайный характер. Поэтому время восстановления рассматривают обычно как случайную величину и для оценки ремонтопригодности изделия применяют вероятностные характеристики, аналогичные характеристикам его безотказности: вероятность выполнения ремонта в заданное время, интенсивность восстановления, а также числовые характеристики – среднее время и дисперсия времени восстановления.
Вероятность выполнения ремонта в заданное время – вероятность того, что отказ изделия будет устранен в течение заданного времени в определенных условиях ремонта.
Она определяется как вероятность того, что случайное время восстанов-
ления Tв будет меньше заданного времени t |
|
|
|
|
||||||||
Pв |
P Tв |
t . |
|
(11.1) |
||||||||
Функцию Pв называют иногда функцией ремонта. Вероятность Qв |
того, |
|||||||||||
что время восстановления будет больше заданного Tв t называют вероятно- |
||||||||||||
стью невосстановления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qв 1 Pв P Tв t . |
(11.2) |
|||||||||||
В реальных условиях любой ремонт не может быть выполнен мгновенно, |
||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pв 0 0 , |
|
|
Qв 0 1 . |
(1.3) |
||||||||
Плотностью вероятности времени восстановления изделия называют |
||||||||||||
производную от функции Pв t |
|
|
|
|
|
dPв t |
|
|
|
|
||
|
fв t |
|
. |
|
|
(11.4) |
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интенсивностью восстановления называют отношение |
|
|||||||||||
λв t |
|
f |
в t |
|
|
dPв t |
|
. |
(11.5) |
|||
|
Qв t |
dt Qв t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция λв t представляет условную вероятность времени восстановле- |
||||||||||||
ния, найденной в предположении, |
что до момента t изделие, находившееся в |
|||||||||||
ремонте, не было восстановлено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим обе части выражения (11.5) на dt и запишем его в виде |
|
|||||||||||
fв t dt λв t Qв t dt . |
(11.6) |
|||||||||||
Левая часть этого равенства представляет вероятность восстановления изделия на участке t, t dt .
78
Эта вероятность равна произведению вероятности Qв t того, что изделие |
||||
до момента t не было восстановлено, на условную вероятность |
λв t того, что |
|||
изделие восстановлено на t, t dt . |
|
|||
Равенство (11.6) с учетом (11.4) и (11.5) запишется в виде |
|
|||
|
dPв t |
1 Pв t λв t |
(11.7) |
|
|
|
|
||
dt |
Pв 0 0 |
|
Решение этого уравнения при условии |
дает выражение для ве- |
роятности восстановления изделия в течение времени t , если известна интенсивность восстановления.
На практике для простоты часто считают λв t λ const. В этом случаи получаем экспоненциальную функцию (закон) восстановления (ремонта)
Pв t 1 e |
λ |
t |
. |
(11.8) |
в |
|
|||
|
|
|
|
Интенсивность восстановления может быть получена экспериментально при обработке результатов наблюдений при этом весь интервал времени вос-
становления делится на участки. Для каждого
деляется приближено по формуле |
|
|
|
|
λ |
|
|
n |
|
i |
i |
|||
в |
|
N n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i-ого участка значение
, ti
λвi
опре-
(11.9)
где |
ni – число изделий, время восстановления (ремонта) которых находится |
||
|
|
на интервале |
ti ti ti 1 ; |
|
ni |
– число изделий, отремонтированных в интервале 0 ; ti 1 ; |
|
|
N |
– начальное число изделий, поставленных на ремонт. |
|
|
Числовой характеристикой ремонтопригодности является среднее время |
||
восстановления, т.е. среднее время вынужденного не регламентируемого простоя, вызванного отыскиванием и устранением одного отказа.
Среднее время восстановления определяется формулой
= 
или иначе
= 
В случае экспоненциального закона восстановления
= 
Экспериментальное определение среднего времени восстановления может быть определено по результатам эксперимента по формуле
где 
– время, затраченное на обнаружение и устранения i-го отказа системы; n – число всех отказов системы за все время наблюдений.
79
Общая надежность изделия
Полной характеристикой надежности восстанавливаемого изделия (си-
стемы) является так называемая вероятность 
нормального функционирования или общая надежность.
Вероятность того, что система выполнит поставленную перед ней задачу зависит от начального состояния системы, от ее безотказности и восстанавливаемости и определяется по формуле полной вероятности для сложного собы-
тия (поток отказов считается простейшим) |
|
P∑(t)=Pо(t)P(t)+Qо(t)Pв(τ)P(t- ), |
(11) |
где Pо(t)=Kr – вероятность работоспособного состояния системы в начальный момент времени, численно равная коэффициенту готовности Kr;
P(t)= 
– вероятность безотказной работы системы к заданному времени t;
Qo(t)=1-Po(t) – вероятность того, что система окажется неработоспособной к моменту времени ее применения;
= 1 – 
- вероятность восстановления (т.е. обнаружения, устранения отказа и проверки работоспособности) системы за время 
;
P(t - 
) – вероятность безотказной работы системы за оставшееся время (t – 
), которое считается достаточным для выполнения.
На практике обычно и Po близко к 1, поэтому вторым слагаемым в формуле (11) можно пренебречь и считать, что
= 
p(t) = 
Таким образом, вероятность нормального функционирования системы представляет произведение коэффициента готовности на вероятность безотказной работы системы.
Методы повышения надежности сложных систем
Все методы повышения надежности принципиально могут быть сведены к следующим основным:
1.Резервирование,
2.Уменьшение интенсивности отказов системы,
3.Сокращение времени непрерывной работы,
4.Уменьшение среднего времени восстановления.
Реализация указанных методов может осуществляться либо при проектировании, либо при изготовлении, либо в процессе эксплуатации.
При проектировании технических изделий и систем используются следующие методы:
1.Резервирование;
2.Упрощение системы;
3.Выбор наиболее надежных элементов;
4.Облегчение электрических, механических, тепловых и др.режимов работы элементов;
80