Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Надежность авиатехники_Конспект лекций

.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
1.77 Mб
Скачать

Таким образом, статистически интенсивность отказов равна числу отказов, происшедших за единицу времени, отнесенному к числу не отказавших к данному моменту времени элементов (рис.4.1.).

Рисунок 4.1.

Полученная экспериментальная зависимость интенсивности отказов может быть заменена плавной кривой (рис. 4.2.).

 

Рисунок 4.2.

 

 

 

Чем больше число испытуемых элементов

N

и меньше интервалы вре-

мени

t , тем точнее экспериментальная характеристика и замещающая ее

плавная кривая отражают действительную картину изменения интенсивности отказов. Отметим одно очень важное обстоятельство. На основании известной из теории вероятностей эргодической гипотезы средние значение (математического ожидания) m по совокупности при наблюдение за множеством систем (элементов) равны средним значением по времени mt , определенными на осно-

вании наблюдения за одной системой (элементом).

В нашем конкретном случаи это означает, что изменение интенсивности отказов λ t по времени для одного отдельно взятого элемента может быть опи-

31

сано тем же самым законом, что и интенсивность отказов, полученная при испытаниях большой группы однотипных элементов.

Многочисленные опытные данные показывают, что для многих элементов функция λ t имеет характерный вид, показанный на рис.4.2. Из рисунка видно, что весь интервал времени работы элемента можно разбить на три участка. На первом участке интенсивность отказов имеет повышенное значение из-за появления приработочных отказов. Это так называемый период приработки.

Второй участок называют периодом нормальной работы или нормальной эксплуатации. На этом участке имеют место в основном случайные отказы и интенсивность отказов примерно постоянна.

На третьем участке λ t монотонно возрастает. Это объясняется увеличением числа отказов вследствие неизбежного износа и старения элементов. Следует помнить, что и на участке нормальной работы помимо внезапных отказов возможны износовые отказы, так как отдельные элементы могут износится раньше, чем основная масса их. В тоже время на участке 3 могут иметь место внезапные отказы у еще не износившейся части элементов.

Поэтому деление интервала времени на периоды по характеру отказов является в известной степени условным и отражает лишь то, что на данном участке превалирует тот или иной вид отказов. Однако такое деление полезно, так как позволяет рассматривать работу элементов по участкам и применять для каждого участка различные математические законы, наиболее точно описывающие поведение элементов на этих участках, а в ряде случаев, в зависимости от условий работы элементов, вообще исключить отдельные участи из рассмотре-

ния.

λ t

 

Показанный на рис.4.2. вид функции

очень характерен, но не уни-

версальный. Возможны и другие виды этой функции. Существуют элементы, у которых отсутствует период приработки, и элементы, у которых старение начинается через сотни тысяч и миллионов часов, т.е. практически нестареющие. Однако такие элементы не характерны для авиационной техники.

Вернемся к уравнению (4.6) и решим его относительно функции надежности (безотказности) P t . Разделяя переменные и интегрируя обе части равенства, получаем

 

 

 

 

 

t

P t

 

t

 

 

 

dt

λ t dt ,

 

 

 

0

P t

0

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

ln P t λ t dt

 

 

0

 

 

 

Потенцируя, получаем выражение для функции надежности

 

 

 

 

t

 

 

 

 

λ t dt

 

 

 

P t e 0

.

(4.11)

32

0
P t e
t
λ t dt

Формула (4.11) – общая формула вероятности безотказной работы. Она позволяет определить вероятность безотказной работы элемента, в течение заданного интервала времени, если известные его функции интенсивности отка-

 

 

 

зов λ t .

 

 

В частности, если требуется определить вероятность безотказной работы

элемента на участке t1, t2

, то она определяется по формуле (4.11)

 

 

t

 

 

2

 

P t e

λ t dt

 

t

 

 

1

При условии, что в момент t1 элемент находился в работоспособном состоянии.

Период нормальной эксплуатации. Экспоненциальный (показательный) закон надежности

На практике всегда стремятся к тому, чтобы на сборку и в эксплуатацию попадали элементы, прошедшие период приработки и тщательно проверенные. Поэтому, во-первых, в большинстве случаев при расчете надежности можно пренебречь периодом приработки и считать временем начало работы начало второго участка (начало периода нормальной эксплуатации), т.е. считать, что элемент выдержал период приработки.

В то же время часто полное время эксплуатации изделия или элемента не достигает времени начала третьего участка. Это объясняется тем, что-либо ресурс времени или срок эксплуатации изделия мал и элемент не успевает износиться, либо элемент заменяют до наступления износа, чтобы не допустить появление износовых отказов.

Поэтому, во-вторых, часто при расчете безотказности (надежности) можно не учитывать влияние износа. Иначе говоря, во многих случаях рассматривается только период нормальной эксплуатации элемента.

А на участке нормальной эксплуатации функция интенсивности отказов λ t может быть (с большей или меньшей погрешностью) представлена постоянной величиной, т.е. λ t λ const Это обстоятельство имеет большое практическое значение, так как при этом все вычисления при определении надежности элемента и изделия стано-

вятся намного проще, чем при использовании любых других законов для описания λ t . При сделанном допущении λ t const формула вероятности безотказной работы примет вид

e λ t .

Таким образом, при постоянной интенсивности отказов элемента функция надежности представляет убывающую экспоненту и носит название экспоненциальный (показательный) закон надежности.

33

Данная формула справедлива только для периода времени t , не превосходящею периода нормальной эксплуатации элемента и будет несправедлива, когда на интенсивность отказов начнет влиять износ, т.е. λ t , когда начнет монотонно возрастать.

Для вероятности отказа при экспоненциальном законе безотказности имеем

Q t 1 P t 1 e

λ t

.

 

Важной особенностью данного закона надежности является то, что вероятность безотказной работы элемента на данном интервале времени t, t τ не

зависит от времени предшествующей работы

t , а зависит только от длины ин-

тервала τ . Действительно, вероятность

безотказной работы на интервале

t, t τ определяется формулой

 

 

 

λ t τ

 

 

 

P t, t τ

P t τ

 

e

e

λτ

 

 

 

.

P t

 

e

λ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иначе говоря, если известно, что в данный момент времени элемент исправлен, то вероятность его безотказной работы не будет зависеть от того, сколько времени он проработал до данного момента. Следовательно, при экс-

поненциальном законе интенсивность отказов

λ

полностью определяет безот-

казность элемента.

При расчете надежности бывает необходимо знать среднее время безотказной работы, т.е. среднюю наработку до отказа. Это – математическое ожидание времени отказа и определяется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mt

t f t dt

t

 

 

 

p t dt ,

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

где

 

P t, t

t P t

– плотность распределения времени без-

f t p t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отказной работы.

 

Для показательного закона распределения математическое ожидание

определятся равенством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mt

 

1

.

 

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрически mt представляет собой площадь, ограниченную осями ко-

ординат и кривой функции

p t . Таким образом

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P t e

m

,

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Q t

 

 

m

 

 

 

 

1 e

 

.

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плотность вероятности отказов представляет собой также экспоненциальную функцию

34

dQ

 

dt

 

f

 

t e

 

 

λ t

 

Q

 

λ

.

В практике исследования надежности требуется обычно найти вероятность безотказной работы в течение определенного времени.

Это время обычно меньше периода нормальной эксплуатации и много меньше средней наработки до отказа, поэтому расчет вероятности безотказной

работы часто производится для интервала времени, лежащего левее времени (рис.4.3.) и соответствующего крайней левой части кривой надежности

Рисунок 4.3.

mt

Другой числовой характеристикой надежности мени безотказной работы

 

2

 

 

t m

2

f t

dt

 

 

1

2

D σ

 

 

t

P

t

 

 

 

 

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

1

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является дисперсия вре-

 

1

,

t dt

2

 

λ

 

Лекция 5

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ИЗНОСА.

ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Наиболее целесообразно использовать элементы лишь в течение времени нормальной работы, так как в этот период они обладают наименьшей интенсивностью отказов.

Однако это не всегда возможно и экономически нецелесообразно. Поэтому многие элементы работают и в течение времени, когда начинает заметным образом сказываться износ (участок III).

35

Опыт показывает, что распределение отказов элементов при отказах из-за износа и старения довольно точно описывается нормальным законом.

Плотность вероятности случайной величины (в данном случаи плотность вероятности отказа) для нормального закона выражается

 

 

 

 

 

t

m

 

 

 

 

 

 

 

u

 

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

1

 

2σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

u

,

(5.1)

 

 

 

 

 

 

 

σ

u

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где tu

– общее время эксплуатации (работы) элемента;

 

mu , σ u – соответственно математическое ожидание и среднее квадратиче-

ское отклонение времени износового отказа. (Индекс « u » – обозначает величины, относящиеся к износовым отказам).

Математическое ожидание износовых отказов для данного типа элементов может быть (приближенно) определено по данным испытаний по формуле

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

mu

 

i 1

i

,

 

 

(5.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где tu

i

– время работы до износового отказа i-ого элемента;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

– число элементов, над которыми проводились испытания.

 

 

Численное значение среднего квадратического отклонения для данного

типа элементов может быть определено по данным тех же испытаний

 

 

 

 

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

n

i

 

 

u

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

.

(5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В реальных условиях mu

определить очень трудно. Во-первых, для полу-

чения удовлетворительной точности необходимо большое число элементов, а во-вторых, часто бывает трудно, или даже невозможно, определить причину отказа, т.е. был ли тот или иной отказ внезапным или произошел по причине износа.

Предположим, сто известны параметры нормального закона распределения износовых отказов, тогда интегрируя функцию f t в интервале времени

t1, t2 , получим вероятность

отказа в течение интервала времени

t1, t2

. Эта

вероятность численно равна

 

заштрихованной площади под кривой

f t

(рис.5.1. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

t mu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

t , t

 

 

1

 

t2 e 2σ u2 dt

 

(5.4)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

1

 

 

σ u 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

(вся площадь под кривой f t равна 1). Эта вероятность численно равна длине

отрезка ординаты A функции

Q t

(рис.5.1. б).

 

 

Задача по определению вероятности отказа элемента в течение заданного интервала времени полностью аналогична задаче попадания случайной величи-

36

ны, подчиненной нормальному закону, случаи является интервал времени t1, t носового отказа

в

2

 

 

заданный отрезок. Отрезок в нашем , а случайной величиной – время из-

Рисунок 5.1.

Из теории вероятности известно, что такая задача решается с помощью интеграла вероятностей Ф x или путем применения нормальной функции рас-

пределения Ф

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция распределения F x при этом выражается через нормальную

функцию распределения

 

 

 

 

 

 

F x Ф

x m

,

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

где m и σ

– параметры нормального распределения случайной величины х.

Для данного случая имеем

 

 

 

 

 

 

 

t

u

m

 

 

Q

t Ф

 

u

.

 

 

 

 

 

u

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

37

Вероятность отказа элемента в течение интервала

t

, t

2

 

1

 

 

определяется

Qu t1 , t2 Q t1 t

 

 

 

Ф

 

t

 

m

 

 

 

 

 

 

t

m

 

 

 

t2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

Ф

 

1

b

 

.

(5.5)

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1 , t2

Вероятность безотказной работы элемента в интервале времени

(при условии, что в момент времени t1

элемент был работоспособен) в соответ-

ствие с формулой (5.4) будет определяться выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pu t1 ,t2 1

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

dt 1 Qu t1 ,t2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

(5.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

u

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если требуется определить вероятность безотказной работы элемента в

течение времени от начала эксплуатации до некоторого момента,

скажем t3 ,

(рис. 5.1. б), то эта вероятность определяется, по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pu 0 ,t3

1

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

u

 

dt .

 

 

 

 

 

(5.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижний предел интегрирования

 

 

 

не имеет физического смысла, так

как элементы начинают работать в момент времени

 

t 0 . Но вероятность без-

отказной работы в течение времени

0, t3

 

 

есть вероятность того,

что отказ

произойдет в течение интервала времени, лежащего правее точки

t3

. Поэтому

можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pu t3 ,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

u

 

 

 

 

dt .

 

 

 

 

 

 

(5.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

u

 

 

t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта вероятность находится с помощью нормальной функции распределе-

ния следующим образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P 0 , t

Q t

, Q t

t

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

m

 

 

t

m

 

 

 

 

 

1 Ф

 

t

m

.

 

 

(5.9)

 

u

Ф

 

3

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для любого интервала времени

0, t

 

вероятность безотказной работы бу-

дет таким образом определяться по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

0 , t Q

t,

 

1

 

 

 

 

σ

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

P

 

 

 

e

 

 

u

dt

 

 

 

 

 

 

 

u

u

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.10)

или

Pu 0 , t 1 Ф

t m

 

 

 

 

u

 

(5.11)

 

 

 

 

.

 

σ u

 

 

 

38

Вероятность износового отказа элемента в течение промежутка времени от 0 до t , как и прежде, выражается при этом

 

t 1 f

 

 

 

 

 

 

e

 

t mu

 

 

 

t dt 1

1

 

 

 

u2 dt .

 

Q

 

 

 

 

 

(5.12)

u

 

 

 

 

 

u

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

Возможны случаи, когда требуется определить вероятность того, что эле-

мент, начавший работать в момент времени

t 0

будет безотказно работать в

течение интервала времени t1 , t2

(рис. 5.1.), если заранее не известно будет ли

он работоспособен в момент времени t1 .

Очевидно, что для этого необходимо, чтобы элемент проработал безотказно время от 0 до t1 и затем время от t1 до t2 .

По теореме умножения вероятностей, вероятность безотказной работы в

течение времени от t1

до t2 равна условной вероятности того, что элемент про-

работал безотказно в течение промежутка

t1

, t2

 

при условии его безотказной

работы в течение промежутка 0 , t2

и определяется следующим образом

 

 

P t1,t2

P 0 , t

P t

 

, t

 

P 0 , t

 

 

 

 

 

1

1

 

2

 

2

 

.

(5.13)

 

 

P 0 , t

 

 

 

P 0 , t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

Подставляя в (5.13) выражение вероятностей безотказной работы через нормальное распределение (с учетом изменения пределов интегрирования, как

это сделано в формуле (8)), получаем

 

 

 

 

 

 

 

t

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

u

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

t

t

 

 

σ

u

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(5.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

u

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

σ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

u

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

u

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя нормальную функцию распределения, записываем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

t

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

 

 

 

u

 

 

Ф

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

Pu t1 , t2 p t1 tn t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

t

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

 

 

 

 

 

 

u

 

 

Ф

 

1

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Ф

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Ф

 

 

 

1

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

Интенсивность износовых отказов при нормальном распределении опре-

деляется равенством

 

 

 

P t

 

 

Q

t

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

λu t

 

 

 

f

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(5.16)

 

 

P

t

 

P t

 

 

P t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t fu

t ).

 

 

u

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(так как Pu t Qu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fu t

 

Подставляя сюда выражение для плотности вероятностей

и функ-

ции надежности

Pu t , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

t

 

 

σ

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(5.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

u

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

u

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5.2.

На рис. 5.2. изображены кривые нормального распределения вероятности

безотказной работы

Pu t , плотность вероятности отказа

fu t и интенсивности

отказов λu t .

 

 

Совместное действие внезапных и износовых отказов

Практически, при работе изделия на участке 5.3., где начинает сказываться износ элементов, могут иметь место и случайные отказы, не вызванные износом. С другой стороны, при аппроксимации распределения износовых отказов нормальным законом, можно считать, что износовые отказы могут иметь место и в период нормальной эксплуатации, что также реально.

Поэтому можно считать, что вероятность отказа элемента всегда есть суммарная вероятность внезапного и износового отказа.

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.