Задача №6

Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условиюна отрезкес шагом, методом Эйлера

, ,.

Решение. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной

(1)

состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

. (2)

Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.

Пользуясь тем, что в точке известно и значение решенияи значение его производной, можно записать уравнение касательной к графику искомой функциив точке:

. (3)

При достаточно малом значении ордината

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3) значения , по непрерывности должна мало отличаться от ординатырешениязадачи (1)-(2). Следовательно, точкапересечения касательной с прямойможет быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

,

которая уже приближенно отражает поведение касательной к в точке. Подставляя сюда, получим приближение значениязначением

и т.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши (1) - (2)

(4)

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в том, что интегральная кривая на каждом отрезке,, …,заменяется отрезком касательной к интегральной кривой, проходящей через точки, а интегральная кривая заменяется ломаной, проходящей через точки,, …,. Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

В нашем случае

Находим последовательные значения аргумента: ,,,,. Вычислим соответствующие значения искомой функции:

Результаты вычислений представим в таблице 7.

Таблица 7

	0	0.1	0.2	0.3	0.4
	1	1.1	1.22	1.362	1.5282

Задача №7

Задание. Найти численное решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг .

Решение. Метод конечных разностей.

Разбив отрезок на части с шагом, получим четыре узловые точки с абсциссами. Две точкииявляются граничными, а две другие – внутренними. Данное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением

().

Для краевых условий составим конечно-разностное уравнение в граничных точках

Данная задача сводится к решению системы уравнений

Выполнив преобразования, имеем

Подставив значение в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему

Решая эту систему уравнений, получим

Библиографический список

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1999. Ч. 2. 415 c.

2. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И.А. Марон. – М: Наука, 1970. 664 с.

3. Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – М: Высш. шк., 1990. 207 с.

4. Вержбицкий В.М. Численные методы / В.М. Вержбицкий. – Высш. шк., 2001. 382 с.

5. Копченова И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / И.В. Копченова, И.А. Марон. – М: Наука, 1972.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1977. Т. 1,2.