Задача №4

Задание. Отделить корни и найти приближенное решение заданного уравнения с точностьюметодом Ньютона (1) и методом итераций (2).

1) ; 2).

Решение. Пусть дано уравнение с одним неизвестным вида

= 0,

где - непрерывная функция переменной. Требуется найти корень этого уравнения. Представить решение этого уравнения в виде конечной формулы оказывается невозможным, поэтому мы откажемся от поиска точного значения корней и займемся их приближенным вычислением с заданной точностью.

Основные этапы решения.Решение задачи отыскания корней осуществляется в два этапа. Первый этап называется этапом отделения (локализации) корней, второй – этап итерационного уточнения корней.

Известно, что если функция непрерывна и принимает на концах отрезказначения разных знаков, т.е., то внутри этого промежутка имеется хотя бы один корень уравнения.

Геометрически это означает, что график непрерывной функции, расположенной по разные стороны оси , пересекает эту ось, по меньшей мере в одной точке.

Отрезок , содержащий только один корень уравнения, называется отрезком локализации корня. Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждых подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации.

К сожалению, создать универсальный метод локализации не представляется возможным. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод. Часто применяется построение таблиц значений функции вида и, при этом о наличии корня на отрезке, судят по перемене знака функции на концах отрезка.

Пример 1. Локализуем корни уравнения

.

Для этого преобразуем уравнение к виду и построим графики функцийи.

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения.

Рис. 1

Из рис.1 видно, что уравнение имеет два корня, расположенные на отрезках и.

Пример 2.Локализуем корни уравнения

.

Для этого составим таблицу значений функции на отрезкес шагом

x	2	1.6	1.2	0.8	0.4
y	6.2	1.592	1.128	2.344	2.44

0	0.4	0.8	1.2	1.6	2.0
1.8	0.808	0.152	0.696		1

Из таблицы видно, что функция меняет знак на концах отрезков,,. Поэтому каждый из этих отрезков содержит хотя бы один корень. Поскольку– многочлен третьей степени, то он не может иметь больше трех корней. Поэтому задача локализации корней решена.

После локализации корней производится итерационное уточнение каждого корня одним из существующих методов. Мы рассмотрим метод касательных и метод итераций.

1) Метод касательных. Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности.

Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на отрезке , причем, а производныесохраняют знак на отрезке. Тогда, исходя из начального приближения, удовлет-воряющего неравенству, можно построить последовательностьсходящуюся к единственному нарешениюуравнения.

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис. 2).

Выберем, например, , для которого. Проведем касательную к кривойв точке. В качестве первого приближениякорнявозьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью. Через точкуснова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближениекорняи т. д. (рис. 2).

Рис. 2

Обозначим . Найдем производную данной функции .

Составим таблицу знаков функции:

		-1	0
	-	-	+	+

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Уточним этот корень методом касательных. Так как,и, то за начальное приближение принимаем.

Для вычислений применяем формулу Ньютона

Для вычислений используем таблицу 3:

Таблица 3

0 1 2	-1 -0.949 -0.9464	-0.2 -0.0093 -0.0004	3.9 3.5814 3.5657	-0.051 -0.0026 -0.00001

Ответ: .

2) Метод итераций. Отделяем корни аналитически. Находим.

Составим таблицу знаков функции:

		-1	0
	-	-	+	+

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Для уточнения его методом итераций приведем уравнение к виду. При этом должно выполняться условиедля. Функциюбудем искать из соотношения, считая, что, гдечислоимеет тот же знак, что ив промежутке. Находим.

Так как , то можно взять. Тогда

Пусть , тогда. Вычисления располагаем в таблице 4.

Таблица 4

0 1 2 3 4 5	0 -0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 0.3796	0 0.09 0.1364 0.1433 0.1440	0 -0.027 -0.0504 -0.0542 -0.0546	-0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 -0.3796

Ответ: .