Задача №2

Задание. Дана таблица значений функции . Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений и

1) линейную функцию ;

2) квадратичную функцию .

Построить графики этих функций.

X	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
Y	0.31	0.82	1.29	1.85	2.51	3.02

Решение. Пусть для неизвестной функциив точкахэкспериментальным путем получены значения. Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функциюс помощью более простой функции. При этом требуется выполнение в узлах интерполяцииравенства(). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную формулу(), пригодную для большего отрезка. При этом точность приближения может оцениваться по разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение

().

В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции многочленом, который имеет не слишком высокую степеньи дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена от функциипринимается их среднее квадратичное отклонение

.

Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене подобрать коэффициентытак, чтобы минимизироватьТак как коэффициентывыступают в роли независимых переменных функции, то необходимым условием минимума является равенство нулю всех частных производных,, …,. Приравнивая нулю эти частные производные получим систему уравнений

После преобразования система принимает вид

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение .

1) Аппроксимируем таблично заданную функцию линейной.

Составим систему для определения

Предварительно вычисляем ,,,Следовательно,

Решая эту систему, находим и:,.

Искомый многочлен .

2) Аппроксимируем таблично заданную функцию квадратичной функцией.

Составим систему для определения

Предварительно вычисляем

,

,

,

,

, ,

Получим систему уравнений вида

Решая эту систему, находим ,и:,,.

Искомый многочлен

Задача №3

Задание.Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.

Решение. Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Введя в рассмотрение матрицы

,,.

систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

. (2)

Предполагая, что диагональные коэффициенты , разрешим первое уравнение системы (1) относительно, второе – относительнои т.д. Тогда получим эквивалентную систему

(3)

где ,при

и при Введя матрицы

,,

систему (3) можем записать в матричной форме

. (4)

Для решения системы (4) применим метод последовательных приближений. За начальное приближение принимаем, например, столбец свободных членов .

Далее, последовательно строим матрицы-столбцы

, ,…. ,, …

Если последовательность приближений имеет предел

,

то этот предел является решением системы (4) и, cледовательно, решением равносильной системы (1).

Для того чтобы процесс итераций сходился к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения, необходимо выполнение для приведенной системы (3) по меньшей мере одного из условий (достаточное условие сходимости метода итераций)

или

.

Приведем заданную систему уравнений к виду (3)

В качестве начального приближения возьмем систему чисел ;;.

После первого шага получим:

После второго:

Дальнейшие вычисления располагаем в таблице 2:

Таблица 2

0 1 2 3 4 5 6	1.2000 1.2000 0.9640 1.0098 0.9975 1.0007 0.9998	0.0000 1.0600 0.9440 1.0104 0.9966 1.0009 0.9997	0.0000 1.1600 0.9480 1.0144 0.9960 1.0012 0.9997

Точное решение () практически достигается на 6-ой итерации.