Задача №3

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задание.Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.

№1. №2.

№3. №4.

№5. №6.

№7. №8.

№9. №10.

№11. №12.

№13. №14.

№15. №16.

№17. №18.

№19. №20.

Задача №4

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задание. Отделить корни и найти приближенное решение заданного уравнения с точностью 0.01 методом Ньютона (вариант 1-10) и методом итераций (вариант 11-20).

№1.№2.

№3.№4.

№5.№6.

№7.№8.

№9.№10.

№11.№12.

№13.№14.

№15.№16.

№17.№18.

№19.№20.

Задача №5

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками после запятой.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при . оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

№1.№2.

№3.№4.

№5.№6.

№7.№8.

№9.№10.

№11.№12.

№13.№14.

№15..№16..

№17.№18.

№19.№20.

Задача №6

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

ЗАДАЧА КОШИ

Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условиюна отрезкеcшагом, методом Эйлера.

№1..

№2..

№3..

№4..

№5..

№6..

№7. .

№8..

№9..

№10..

№11..

№12..

№13..

№14..

№15..

№16..

№17..

№18..

№19..

№20..

Задача №7

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задание. Найти численное решение линейной краевой задачи

для дифференциального уравнения второго порядка конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг .

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

№6.

№7.

№8.

№9.

№10.

№11.

№12.

№13.

№14.

№15.

№16.

№17.

№18.

№19.

№20.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задача №1

Дана таблица значений функции . Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента .

X	3.50	3.55	3.60	3.65	3,70
Y	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447	3.57

Решение. Часто приходится рассматривать функции, заданные табличными значениями. Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получение может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости ее использование в практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию , заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функциейтак, чтобы отклонениеотв заданной области было наименьшим. Функцияпри этом называется аппроксимирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

. (1)

При этом коэффициенты подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и другие.

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке ), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точкахте же значения, что и функция, т.е.

, . (2)

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т.е.при.

Точки называются узлами интерполяции, а многочлен- интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена , где-число узлов,-степень многочлена. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

(3)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале аргумента. Коэффициентымногочлена (3) находятся из системы уравнений (2).

Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего отрезка . Пусть для функциизаданызначения таблично заданной функциидля равноотстоящих значений независимой переменной:,, гдешаг интерполяции.

				…
				…

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

Аналогично определяются разности IIIиIVи т.д. порядков. Разность порядкаопределяется формулой:

,

где и.

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

;

Аналогично для любого можно записать:

.

Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле :

.

Для функции , заданной таблицей своих значенийв узлах, конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

(4)

где .

Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, что разности вычисляются через значения функции, причем . Поэтому при больших значенияхмы не можем вычислить разности высших порядков. Например, при в (4) можно учесть только , и .

Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (таблица 1):

Таблица 1

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972 ------	0.087 0.092 0.095 ------ ------	0.005 0.003 ------ ------ ------

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем . Приняв,, будем иметь:

или

где

Подставим в выражение для вместозначение.

Получим

Тогда, Следовательно,