Вопросы для самопроверки

1 Приведите примеры дискретных случайных величин.

2 Что называется законом распределения дискретной случайной величины и как его можно задавать?

3 Укажите условия применения формулы Бернулли.

4 Назовите общие и отличительные черты биномиального и пуассоновского распределений дискретных случайных величин.

5 Что понимается под потоком событий, каковы его свойства?

6 Назовите черты геометрического и гипергеометрического распределений дискретных случайных величин.

7 Дайте определения математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения дискретных случайных величин и приведите формулы для их вычисления. Поясните сущность числовых характеристик случайных величин.

8 Дайте определения начального и центрального моментов и приведите формулы для их вычисления.

Тема 4. Закон больших чисел

Цель изучения – ознакомиться с условиями, при которых случайные величины утрачивают случайный характер и их поведение становится закономерным.

Данная тема включает в себя:

- неравенство и теорема Чебышева;

- теорема Бернулли.

Контрольные задачи

1 Количество кормов, расходуемых на ферме крупного рогатого скота в сутки, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 6 т. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход кормов на ферме превысит 10 т.

2 Количество электроэнергии, потребляемой поселком в течение суток, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 4 тыс. кВт-ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление энергии: а) превысит 8 тыс. кВт- ч.; б) не превысит 6 тыс. кВт- ч.

3 Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 5000 семян число взошедших окажется от 3750 до 4250, если известно, что М(Х)=4000. Определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

4 Вероятность вызревания семян овощной культуры в данной местности составляет 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 растений число растений с вызревшими семенами составит от 750 до 850. Определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

5 В хозяйстве имеется 100 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение определенного периода составляет 0,9. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что отклонение числа безотказно работавших автомобилей за определенный период от его математического ожидания не превзойдет по модулю 5.

6 Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	2	3	6	9
р	0,1	0,4	0,3	0,2

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что > 3.

7 Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	-1	0	1	3
р	0,1	0,2	0,4	0,2

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что <2,5.

8 Всхожесть семян некоего растения составляет 90%. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 5000 семян: а) отклонение доли взошедших семян от постоянной вероятности взойти каждому из них не превзойдет по модулю 0,03; б) отклонение числа взошедших семян от математического ожидания не превзойдет по модулю 100.

9 Случайная величина задана интегральной функцией:

0 при х ≤ а,

при а < х ≤ 2а,

1 при х > 2а.

а) с помощью неравенства Чебышева, оценить вероятность того, что < ; б) определить вероятность того, что < .

10 Случайная величина задана интегральной функцией:

0прих ≤ 0,

при 0 < х ≤ 2а,

1 при х > 2а.

а) используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что < а; б) определить вероятность того, что < а.

11 Выборочным способом определяют вес колосьев ячменя. Сколько необходимо отобрать колосьев, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что средний вес случайно отобран­ных колосьев будет отличаться от среднего веса колосьев во всей партии (принимаемого за математическое ожидание) не более чем на 0,1 г? Установлено, что среднее квадратическое отклонение ве­са не превышает 0,2 г.

12 Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц со специальным образованием, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты лиц со специальным образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не превышало по модулю 0,04?

13 В результате анализа торговой деятельности некоего магазина установлено, что среднемесячные издержки обращения составляют 300 усл. ден. ед. Оцените вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 280-320 усл. ден. ед. Известно, что дисперсия издержек равна 16 усл. ден. ед.

14 Для определения средней урожайности на площади 100 000 га взято на выборку по одному гектару от каждого участка размером 100 га. Определите вероятность того, что средняя выборочная вероятность будет отличаться от действительной средней по всей площади не более чем на 0,5 ц, если дисперсия урожайности на отдельных участках (по 100 га) не превышает 2 ц.