13. Показательные и логарифм. уравнения

§ 2. Методы решения показательных уравнений

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:

1. a^f(x)=a^g(x) или 2. a^f(x)=b.

Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества:

2! a^f(x)= .

Уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=g(x) при а  0, а  1.

Этот переход называется потенцированием.

Способы решения показательных уравнений

1 тип: приведение к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней:

а) .

Проверка: ; ; =;

б) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10.

Проверка: х=10. ; ; ;

; = – верно.

Ответ: х=10;

в) .

Решение: ; ; ; ; ; x=1.

Проверка: ; ; = – верно.

Ответ: х=1;

г) .

Решение: ; 3х–4=4х–4,

для х  имеем 3х–4=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде 3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х  имеем 3х–4=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х=.

Проверка: х=0. ; ; – не верно.

х=. ; ; – верно.

Ответ: х=.

2 тип – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi.

Пример: а) .

Решение: .

Обозначаем: = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=.

Получаем: 1. =3; ; ; х1=2.

 2. =; ; ; х2=–2.

Проверка: 1. ; 39–103+3=0 – верно.

2. ; ; – верно.

Ответ: х=2; х=–2;

б) .

Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0,

y1,2=–6=–610,

y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х  0, 4х=4  х=1.

Проверка: ; 16+316–64=0; 16+48–64=0 – верно.

Ответ: х=1;

в) .

Решение: , .

Пусть , ,,

,

; ; ; ; ; ; x=20.

Проверка: x=20. , – верно.

Ответ: х=20.

г) .

Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2; y1=3 и y2=1; или ; x2–1=1; x2–1=0; x=; x=1.

Проверка: x=; ; 9–12+3=0 – верно;

х=1; ; 1–4+3=0 – верно.

Ответ: x=; х=1.

3 тип – метод вынесения общего множителя за скобки:

а) .

Решение: ; ; ;

; ; ; х=0.

Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно.

Ответ: х=0;

б) .

Решение: ; ;

; ; х=0.

Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно.

Ответ: х=0;

в) .

Решение: ; ;

; ; ; ; х=2.

Проверка: ; ; 2–8+3=–3;

–3=–3 – верно.

Ответ: х=2.

4 тип – уравнения вида решаются путем деления членов на или .

а) .

Решение: Делим на .

; .

Положим , тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=. следовательно: ; .

Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно;

х=; ; 12+18=30 – верно.

Ответ: х=0; х=.

б) .

Решение: ; . Разделим обе части данного уравнения на . ; . Пусть , тогда уравнение примет вид: ; , ; ; ;

; .

Проверка: ; . Делим на .

; ; ;

6=6 – верно;

; . Делим на ;

; ; 6=6 – верно.

Ответ: ; .

Логарифмические уравнения

Простейшие логарифмические уравнения имеют вид:

§ 3. Методы решения логарифмических уравнений

Решение любого логарифмического уравнения также сводится к решению одного или нескольких простейших логарифмических уравнений:

1) logaf(x)= logag(x); 2) logaf(x)=b.

Уравнение (2) сводится к уравнению вида (1): logaf(x)= logaab.

Уравнения вида (1) сводятся к решению уравнений f(x)= g(x) (потенцирование). При этом необходимо помнить, что уравнения logaf(x)= logag(x) и f(x)= g(x) не равносильны. При потенцировании происходит расширение области определения, а значит имеется опасность появления посторонних корней. Проверка – наилучшее средство против такой опасности.

1 тип – по определению логарифма:

а) .

Решение: ; 2x–1=9; x=5.

Проверка: ; ; ; –2=–2 – верно.

Ответ: х=5.

б) .

Решение: ; ; ;

; х1=–1 и х2=–3.

Проверка: х=–1, log3(1–4+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно;

х=–3, log3(9–12+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно.

Ответ: х=–1, х=–3.

в) .

Решение: ; . Пусть , тогда уравнение запишем в виде ; ;

; ; ; ; ; x=2; .

Проверка: ; – верно.

Ответ: х=2.

2 тип – уравнения, которые с помощью логарифмических тождеств сводятся к простейшим уравнениям:

а) lg(x–3)+lg(x–2)=1–lg5.

Решение: lg[(x–3)(x–2)]=lg10–lg5; lg(x2–5x+6)=lg2;

x2–5x+6=2; x2–5x+4=0; x1,2=; x=4 и х=1.

Проверка: х=4; lg(4–3)+ lg(4–2)=1– lg5; lg1+ lg2= lg2; lg2= lg2 – верно;

 х=1; lg(1–3)+ lg(1–2)1– lg5, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть всегда положительным.

Ответ: х=4;

б) .

Решение: ; ;

2 lg(4(х–3))= lg(3(7х+1)(х–6)); lg(4(х–3))2= lg(3(7х+1)(х–6)).

Потенцируем: 16х2–96х+144=21х2–123х–18; –5х2+27х+162=0;

5х2–27х–162=0; х1,2=; х1=9; х2=.

Проверка: х=9; ; ;

– верно;

х=; – ложно, так как подлогарифмическое выражение не может быть отрицательным.

Ответ: х=9;

в) .

Решение. Воспользуемся формулой ;

; ; ; x=27.

Проверка: ; ;

– верно.

Ответ: х=27;

г) .

Решение: .

Потенцируем: (3х–11)(х–27)=1000; 3х2–92х–703=0. х1,2=; х1=37 и х2=.

Проверка: 1. ;

; = – верно.

2. , так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительное.

Ответ: х=37.

3 тип – уравнения вида P(logax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Эти уравнения решаются с помощью подстановки: y= logax.

а) .

Решение: . Пусть ; y2–2y–3=0. Решаем уравнение и получаем y1=3 и y2=–1; y=3   х=27; y=–1   х=.

Проверка: х=27; ; ;

9–6–3=0 – верно;

х=; ; ;

1+2–3=0 – верно.

Ответ: х=27; х=;

б) .

Решение. Прежде всего надо иметь в виду, что если в уравнениях встречаются логарифмы с разными основаниями, то их надо привести к одному основанию с помощью формулы: .

В данном случае переходим к основанию 5. ;

. Обозначим ; (1+2y)y=1;

2y2+y–1=0; y1=–1, y2=; или ; х=; х=.

Проверка: 1) ; ; 1=1 – верно;

2) ; ;

; 1=1 – верно.

Ответ: х=; х=.

5 тип – логарифмирование обеих частей уравнения.

Пример: .

Решение: ; (lgx+1)lgx=3–lgx; lg2x+lgx=3–lgx; y=lgx;

y2+2y–3=0. Решаем уравнение: y1=–3; y2=1; lgx=–3 или lgx=1,

x=10–3; x=10.

Проверка: 1) ; ; ;

106=106 – верно;

2) ; 102=100; 102=102 – верно.

Ответ: х=10–3; х=10.