Лабораторная работа №14. Крутильный маятник

Цель работы – измерение моментов инерции твердых тел при помощи крутильных колебаний.

Лабораторная установка, входящая в состав комплекса «Физические основы механики», состоит из электронного блока (2) для измерения времени движения и числа периодов, установленного на основании (1). На вертикальной колонне (3) закреплены три кронштейна: нижний (4), средний (5) и верхний (6). Между верхним и нижним кронштейнами натянута проволока, удерживающая рамку (10). На среднем кронштейне держится подковообразная стальная плита (11), которая служит основанием фотоэлектрическому датчику (9), электромагниту (8) и шкалой для измерения угла отклонения (12).

Положение электромагнита можно менять. Верхнюю планку рамки можно перемещать и закреплять при помощи винтов и устанавливать в ней грузики различных форм и размеров (7).

Рис. 7. Установка «Крутильный маятник»

Показания миллисекундомера обнуляются при нажатии клавиши «СБРОС», после нажатия клавиши «ПУСК» отключается электромагнит и рамка приходит в движение. После нажатия кнопки «СТОП» время движения маятника измеряется до завершения очередного полного периода колебаний, то есть, до первого нечетного прохождения рамкой через фотодатчик.

Теория эксперимента: момент инерции твердого тела относительно произвольно направленной оси вращения, проходящей через центр масс, с единичным направляющим вектором , имеющим координаты, вычисляется по формуле:

. (1)

Здесь ,,- компоненты тензора инерции в главных осях. В симметричных телах главные оси либо совпадают с осями симметрии, либо перпендикулярны плоскостям симметрии. В настоящей работе мы будем рассматривать куб и прямоугольные параллелепипеды. Система координат в главных осях в таких телах будет иметь начало в центе масс тела, а оси будут проходить перпендикулярно основным граням тел.

Для измерения моментов инерции тел будет использоваться метод крутильных колебаний. Твердое тело закрепляется в рамке крутильного маятника и под действием момента упругой силы возникающей в проволоке, рамка совершает крутильные колебания, уравнение которых имеет вид:

, (2)

где – момент инерции маятника с телом,D – постоянная момента упругих сил. Из уравнения (2) можно получить период крутильных колебаний:

. (3)

Момент инерции маятника складывается из момента инерции пустой рамки и момента инерцииJ закрепленного в ней тела:

. (4)

Очевидно, что период колебаний пустой рамки будет равен

. (5)

Из уравнений (3) и (5) с учетом (4) легко исключить неизвестную D, тогда:

. (6)

В формуле (6) осталась одна неизвестная величина – это момент инерции рамки . Его можно найти, если измерить период колебаний рамки с эталонным телом, момент инерции которого заранее известен:

. (7)

В качестве такого тела мы будем применять однородный куб. Его момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс равен:

, (8)

где m – масса, а – ребро куба. Из соотношений (6) и (8) получим формулу для расчета момента инерции тела, закрепленного в рамке:

. (9)

Как следует из формулы (1), момент инерции твердого тела зависит от ориентации оси вращения относительно его главных осей. Очевидно, что и период колебаний рамки с телом будет зависеть от ориентации тела по отношению к рамке:

. (10)

–направляющий вектор оси вращения (оси рамки).

Теперь применим формулу (1), а также полученные выше формулы к различным твердым телам. Главные моменты куба равны между собой ==, поэтому при любом направлении оси вращения момент инерции куба относительно этой оси:

. (11)

Периоды крутильных колебаний куба должны совпадать для всех осей вращения, проходящих через его центр масс.

. (12)

В случае симметричного прямоугольного параллелепипеда два главных момента совпадают между собой и не равны третьему:

. (13)

Поэтому периоды колебаний относительно главных осейOX и OY будут равны между собой и отличаются от колебаний вокруг оси OZ:

. (14)

Рис. 8. Симметричный прямоугольный параллелепипед. Ось вращения CC’ – пространственная диагональ. Диагонали, параллельные граням: AA’ и BB’.

На рисунке 8 показан симметричный прямоугольный параллелепипед со сторонами a и c. Найдем его моменты инерции относительно трех показанных на рисунке осей вращения. Относительно оси AA’:

. (15)

Направляющие косинусы оси вращения найдем из размеров тела:

, . (16)

Из формул (15) и (16) очевидно, что

. (17)

Относительно другой диагонали BB’:

. (18)

, ,. (19)

. (20)

Теперь найдем момент инерции относительно большой диагонали CC’:

. (21)

, ,. (22)

Тогда

. (23)

Рис. 9. Несимметричный прямоугольный параллелепипед. Ось вращения AA’ – пространственная диагональ. Параллельные граням диагонали – BB’, CC’, DD’.

Теперь запишем выражения, связывающие моменты инерции относительно диагоналей несимметричного прямоугольного параллелепипеда, показанных на рисунке 9 с его размерами и главными моментами.

. (24)

. (25)

. (26)

. (27)

Исходя из формул, полученных в данной работе, можно доказать, что между периодами колебаний и направлением оси вращения существует зависимость:

. (28)

Ход работы

1. Включите клавишу «СЕТЬ» на панели прибора. Закрепите куб в рамке прибора. Нажмите клавишу «СБРОС». Клавишей «ПУСК» запустите электромагнит. Поверните рамку и приблизьте ее стрелку к электромагниту, чтобы зафиксировать рамку в отклоненном положении.

2. Нажмите кнопку «ПУСК». После того как счетчик периодов насчитает не менее 10 колебаний, нажмите клавишу «СТОП». Рассчитайте период колебаний крутильного маятника.

3. Определите число способов закрепления куба в рамке. Для каждого положения измерьте период колебаний рамки с кубическим телом. Заполните таблицу и сравните результаты измерений.

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

T10

T11

T12

T13

4. Найдите период колебаний пустой рамки. По известным значениям массы куба и его размеров рассчитайте момент инерции куба. По формуле (7) найдите момент инерции рамки.

5. Выполните измерения периодов колебаний симметричного прямоугольного параллелепипеда относительно трех главных осей и относительно его пространственной диагонали и диагоналей, параллельных большим и малым граням. Результаты измерений занесите в таблицу.

Рассчитайте момент инерции тела относительно каждой из осей по формуле (10).

6. Определите, сколько способов закрепления в рамке возможно для несимметричного прямоугольного параллелепипеда? В каких случаях периоды колебаний окажутся равными? Измерьте периоды колебаний несимметричного прямоугольного параллелепипеда для максимально возможного числа положений, различающихся значением момента инерции. Запишите измерения в таблицу.

Обработка результатов

7. Рассчитайте моменты инерции несимметричного твердого тела относительно каждой из осей вращения.

8. Проверьте справедливость формул (24)-(27).

Контрольные вопросы:

1. Рассчитайте теоретические значения главных моментов симметричного прямоугольного параллелепипеда.

2. Рассчитайте теоретические значения главных моментов несимметричного прямоугольного параллелепипеда.

3. Выведите теоретические формулы для расчета главных моментов несимметричного прямоугольного параллелепипеда, имеющего массу m и размеры a, b и c.

4. Докажите, что момент инерции куба относительно главных осей равен .

5. Докажите, что период рамки рассчитывается по формуле (3).

6. Выведите формулы (24) и (25).

7. Выведите формулы (26) и (27).

8. Получите формулу (28).

9. Докажите, что момент инерции куба относительно любой оси, проходящей через его центр масс является постоянной величиной.

10) Запишите тензоры инерции несимметричного и симметричного прямоугольных параллелепипедов, используемых в данной работе, в системе главных осей.

Литература: [1] §35, § 44, § 53, [2] §31-32, [8] глава 8.