ответы к экз. по матем

По усл ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, т е сущ конечный предел lim_∆х→0∆у/∆х= f ^/(х_о),где f ^/(х_о)-постоянная величина, не зависящая от ∆х. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ий можно записать: ∆у/∆х= f ^/(х_о)+L(∆х), где L(∆х)- бесконечно малая величина при ∆х→0 или ∆у= f ^/(х_о) ∆х +L(∆х) ∆х. При ∆х→0 на основании св-в бесконечно малых устанавливаем, что ∆у→0 и следов по опред ф-ия у= f (х) в точке х_о явл непрерывной. Обратная теорема не верна. Т о неперерывность ф-ии необходимое, но не достаточное усл дифференцируемости ф-ии.

№21. Основные правила дифференцирования ф-ций одной переменной (одно из них доказать).

1) Производная постоянной равна нулю С^/=0(т к любое приращение постоянной ф-ции у=С равно0. 2)производная аргумента=1, т е х^/=1(следует из (х^п)^/=пх^п-1 при п=1).

В след случаях будем полагать, что и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции. 3) Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций (и+ v)^/= и^/+ v^/. 4) Производная произведения двух дифференцируемых ф-ций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведения 1-го сомножителя на производную 2-го, т е (иv)^/= и ^/v + и v^/.

1^о Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (си)^/= си^/. 2^о Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные (uvw)^/= u^/vw+ uv^/w+ uvw^/. 5) Производная частного 2-х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле: (u/v)^/= (u^/v- uv^/)/ v².

Докажем 4): Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции.Найдем производную ф-ции у= иv,∆х≠0,наращение для ф-ции и- и+∆и, для v- v+∆v, а ф-ция у- значение у+∆у=(и+∆и)(v+∆v). Найдем приращение: ∆у=(и+∆и)(v+∆v)-uv=uv+∆иv+u∆v+∆и∆v-иv=∆иv+ u∆v+∆и∆v,следов. ∆у/∆х=∆и/∆х v+ u∆v/∆х +(∆и/∆х)∙( ∆v/∆х) ∆х. Найдем придел этого отношения про ∆х→0, используя теоремы о пределах: lim_∆х→0∆у/∆х= lim_∆х→0∆и/∆х v+ lim_∆х→0 u∆v/∆х + lim_∆х→0 (∆и/∆х)∙ lim_∆х→0 ( ∆v/∆х)∙ lim_∆х→0 ∆х. На основании определения производной получили, что у^/= и ^/v + и v^/+и ^/ v^/∙0 или у^/= и ^/v + и v^/.

№22. а)Формулы производных основных элементарных ф-ций (одну из них вывести). б)Производная сложной ф-ции.

а)1)С^/=0; 2)х^/=1; 3) (х^п)^/=пх^п-1; 4)(х^1/2)^/=1/2х^1/2;5)(а^х)^/=а^хlna; 6)(е^х)^/=е^х; 7)(logx)^/=1/хlna; 8)(lnх)^/=1/х;9)(sinx)^/=cosx;10)( cosx)^/= -sinx; 11) (tgx)^/=1/ cos²x; 12) (сtgx)^/= -1/ sin²x;13)(arcsinx)=1/(1-х²)^1/2; 14) (arctgx)^/=1/(1+х²); 15) (arccosx)^/= 1/(1-х²)^1/2; 16) (arcсtgx)^/=-1/(1+х²);17) (lgx)^/=1/xln10.

Докажем что (х^п)^/=пх^п-1:1)Дадим аргументу х приращение ∆х≠0 и найдем наращенное значение ф-ции у+∆у=(х+∆х)^п ; 2) Находим приращение ф-ции ∆у=(х+∆х)^п- х^п= х^п+ пх^п-1∆х+ пх∆х^п-1+∆х^п-х^п=∆х(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1). 3)составим отношение ∆у/∆х= пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1

4) найдем предел у^/=lim_∆x→0∆у/∆х= lim_∆x→0(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1)=nx^n-1.

б)Теорема: Пусть ф-ция у=f(x)- сложная ф-ция, где и=φ(х), тогда, если ф-ции f(и), φ(х) явл дифференцируемыми ф-ми, то производная сложной ф-ции по независимой переменной х: у^/х=f^|и×и^/х. 1)(z^a)^/=az^a-1×∙z^/; 2) (z^1/2)^/=1/2z^1/2∙ z^/;3) (sinz)^/=cosz∙z^/;4) ( cosz)^/= -sinz∙z^/;5) (tgz)^/=1/ cos²z∙z^/; 6) (сtgz)^/= -1/ sin²z∙z^/.

№23. Теоремы Ролля и Лагранжа (без док-ва). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Роля: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), 3) на концах отрезка принимает равные значения f (а)=f (b), тогда внутри отрезка сущ по крайней мере одна точка С є (a;b), производная в кот =0, f ^/(С)=0.Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Роля утверждает, что если ф-ция удовлетворяет всем указанным условиям, то внутри интервала найдется хотыбы одна точка С (в нашем сл их 3-С₁,С₂,С₃), касательная к графику в этой точке будет параллельна оси ОХ.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след утверждениям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), то тогда внутри интервала (a;b) сущ по крайней мере одна точка С є(a;b), производная ф-ии в кот =отношению приращения ф-ии на этом интервале к приращению аргумента f ^/(С)=(f (b)- f (с))/ (b-с). Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Лагранжа утверждает, что в интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка С такая, что касательная проведенная к графику ф-ии в этой точке будет || прямой АВ, соединяющей концы графика ф-ии на отр АВ.

№24. Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

Теорема (достаточное условие возрастания ф-ции). Если производная дифференцируемой ф-ции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Рассм х₁ и х₂ на данном промежутке Х. Пусть х₂>х_1,х_1,х₂єХ. Докажем, что f(x₂)>f(x₁).Для ф-ции f(x) на отрехке [x₁;x₂] выполняются условия т. Лагранжа, поэтому f(x₂)-f(x₁)=f ^/(Е)(x₂-x₁), где х₁<Е>х_2, т е Е є промежутку, на кот производная положительна, следов. f^/(Е)>0 и правая часть равенства lim_{x→xo(x→∞)} f(x)/g(x)= lim_{x→xo(x→∞)} f^/(x)/g^/(x)- положительна. f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Теорема (достаточное усл убывания ф-ции): Если производная дифференцируемой ф-ции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

№25. а)Определение экстремума ф-ии одной переменной.б) Необходимый признак экстремума (доказать).

а)Экстремумами наз точки максимума и минимума. Точка х_о наз точкой максимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х_о выполняется неравенство f(x)≥f(x_o). Точка х₁ наз точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х₁ выполняется неравенство f(x)≤f(x₁).

б)Необходимое условие экстремума: Для того чтобы ф-ия у= f(x) имела экстремум в точке х_о, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f ^/(x_o)=0) или не существовала.

№26. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

1) Если при переходе ч/з т. х_о производная дифференцируемой ф-ции у=f(x) меняет свой знак с «+» на «-», то т. х_о есть точка максимума ф-ции у=f(x) , а если с «-» на «+», то –точка минимума.

Пусть производная меняет знак с «+» на «-»,т е в некотором интервале (а,х_о) производная положительна (f ^/(х)>0), а в некотором интервале (х_о;b)- отрицательна (f ^/(х)<0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности ф-ция f(x) возрастает на интервале (а;х_о) и убывает на (х_о;b). По опред возрастающей ф-ции f (х_о)≥ f (х) при х є (а;х_о), а по опред убывающей ф-ции f (х_о)≤ f (х) при х є (х_о;b), т е f (х_о)> f (х) при всех х є (а;b), следов. т. х_о- точка максимума ф-ции у=f(x). Аналогично, когда производная меняет знак с «-» на «+».

2) Если первая производная f ^/(х) дважды дифференцируемой ф-ции =0 в некоторой точке х_о, а вторая производная в этой точке f ^//(х) положительна, то х_о- есть точка минимума ф-ции f ^/(х), если f ^//(х)-отрицательна, то х_о- точка минимума.

№27. а)Понятие асимптоты графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

а)Асимптотой графика ф-ции наз прямая, обладающая след св-ми: при удалении точки на графике ф-ции от начала координат, расстояние от этой точки до прямой стремится к 0.

б)1) Прямая х=х_о явл вертикальной асимптотой графика ф-ии у=f(х), если хотябы один из односторонних пределов ф-ции при х→х_о равен ∞: lim _х→хо+-0 f(х)=∞.(рис.)

т.х_о при этом явл точкой разрыва ф-ции.

2) Прямая у=b явл горизонтальной асимптотой ф-ции, если ф-ция определена при достаточно больших значениях х и сущ предел: lim _х→∞f(х)=b.(рис.)

3)Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой ф-ии у=f(х), если ф-ия определена при достаточно больших значениях х и сущ конечные пределы: k=lim_x→+-∞ f(х)/х; b= lim_x→∞[f(x)-kx].(рис.)

Горизонтальная асимптота явл частным случаем наклонной асимптоты при k=0, поэтому у ф-ии в одном направлении не может быть одновременно горизонтальной и наклонной асимптот.

Пример: у=(2х²-1)/х. 1)вертик.асимптоты х=0; lim _х→0+0(2х²-1)/х= -∞; lim _х→0-0(2х²-1)/х=∞; х=0-вертик. асимптота. 2) наклонные асимптоты y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(2х²-1)/хх =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х²(2-1/х²)/х²=2; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[(2х²-1)/х-2х]= lim_x→∞(2х²-1-2х²)/х = lim_x→∞(-1)/х =0. у=2х+0; у=2х-наклонная асимтота. {если k=0, то горизонтальная асимптота }, {если получается ∞, то горизонтальных и вертикальных асимптот нет}.

№28. Общая схема исследования ф-ий и построения их графиков. Пример.

1) Область определения ф-ии, 2) исследовать на четность, нечетность, 3) найти асимптоты графика, 4)Исследовать ф-цию на возрастание и убывание и найти экстремумы. 5) Найти точки пересечения с осями координат. 6) Построить график ф-ции.

Пример: у= х²/(1-х²). 1) 1-х²≠0, х≠ + -1, (-∞;-1)V(-1;1)V(1;+∞). 2) четная- симметрична относительно ОУ. 3) асимптоты : -вертикальные: х= -1 lim_x→-1-ox²/(1-х²)= -∞;

lim_x→-1+ox²/(1-х²)=+∞. Х=1 lim_x→1-ox²/(1-х²)= +∞; lim_x→1+ox²/(1-х²)= -∞; х=1; х= -1-вертикальные асимптоты. Наклонные: y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(х²(1-х²)х) =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х/х²(1/х²-1)=0; k=0; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[х²/(1-х²)]=[∞/∞]= 2х/(-2)х= -1 b= -1; y= -1 –горизонтальная асимптота. 4) у^/=х²/(1-х²)=(2х²(1-х²)+х²(2х))/(1-х²)²=2х/(1-х²)². у^/=0, у^/- не сущ. 2х=0, х=0 , 1-х²=0, х= +-1. min(0;0), 5) ОХ у=0, х=0; ОУ х=0 у=0.

6)

№29. а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные производные (определение). в)Экстремум ф-ции нескольких переменных и его необходимое условие.

а) Пусть имеется п переменных величин и каждому набору из значений (х_1,х_2,…,х_п) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана ф-ция нескольких переменных z=f(x₁,…,x_n). Z=πх₁²х₂- задает объем цилиндра z как ф-цию 2-ух переменных: х₁(радиус основания) и х₂(высоты). Z=а₁х₁ +а₂х₂+…+ а_пх_п+ b, где а,…, а_п, b-постоянные числа (линейная ф-ция). Ф-ция Z=1/2∑^п_i,j=1b_ijx_ix_j (b_ij-постоянные числа) называется квадратической.

б) Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0( если этот предел сущ) Z^/x, f ^/х(х,у) .

в) Точка М(х_о;у_о) называется точкой максимума (минимума) ф-ции z=f(x_,у)_, если сущ окрестность точки М, такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x_o;y_o)≥f(x;y)(( f(x_o;y_o)≤f(x;y)).

Необходимое условие экстремума. Теорема: Пусть точка (x_o;y_o)- есть точка экстремума дифференцируемой ф-ции z=f(x_,у). Тогда частные производные f ^/х(x_o;y_o) и f ^/у(x_o;y_o) в этой точке =0.

№30. а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции( вывод системы нормальных уравнений).

а) Формулы служащие для аналитического представления опытных данных наз эмпирическими формулами. Суть метода наименьших квадратов: Неизвестные параметры ф-ции у= f(x) подбираются таким образом, чтобы ∑ квадратов невязок была минимальной. Невязками наз отклонения м/д теоретическими значениями f(x_i), полученных по формуле у= f(x) и эмпирическими значениями у_i обозначается δ_i= f(x_i)-у_i.

б) Предположим, что м/д х и у сущ линейная зависимость (х, у- переменные), т е у=ах+b. ∫=∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)² должна быть min. а,b-переменные;{S^/а=0, S^/b=0}; S^/а=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, S^/b=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)1=0; ∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, ∑^п₀₌₁(ах_i+b-y_i)=0; {∑^п_i=1ах_i+∑^п_i=1bх_i-∑^п_i=1y_iх_i=0; ∑^п₀₌₁ах_i+∑^п₀₌₁b-∑^п₀₌₁y_i)=0};и {а∑х_i²+b∑х_i=∑y_iх_i; a∑х_i+nb=∑y_i}.

№31. а)Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

а)Дифференциалом ф-ции наз главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ции равная произведению производной на приращение независимой переменной (обозначается dy- главная линейная часть) dy= f(x) ∆х (1). Дифференциал независимой переменной х равен приращению этой переменной, тогда формулу (1) можно записать как dy= f^/(x)dх. С геометрической точки зрения дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции у= f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆х.

Рассм график ф-ии у= f(x):

т.М –произвольная, <φ-егол наклона касательной к ОХ. ∆у=АВ+ВК, из ∆АМВ найдем АВ: АВ=tg φМА= tg φ∆х=f ^/(х) ∆х; ∆у= f ^/(х) ∆х+ВК.

б)Инвариантность (неизменность) формулы дифференциала: Если ф-ция у= f (х), следов. dy= f^/(x)dх. Рассм сложную ф-цию у=f(u),где u=φ(х). Найдем производную ф-ции. у^/х= f ^/u∙ u^/х |∙ dх; у^/х dх= f ^/u∙ u^/х dх; dу= f ^/u∙ du. Т о видно, что формула дифференциала не изменится, если вместь ф-ции от независимой переменной Х рассматривать ф-цию от зависимой переменной u.

№32. а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

а) Ф-ия F(x) наз первообразной ф-ией для ф-ии f (х) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала F^/ (x)= f (х).

б) совокупность всех первообразных ф-ции f (х) на промежутке Х наз неопред интегралом от ф-ии f (х). Обозначается ∫ f (х)dx=F(x)+C , (х)-подынтегральная ф-ия. f (х)dx-подынтегральное выражение, dx-дифференциал переменной интегрирования. Св-ва: 1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-ии (∫ f (х)dx)^/= f(х). Дифференцирую левую и правую части равенства, получаем: (∫ f (х)dx)^/=( F(x)+C)^/= F^/ (x)+C^/= f (х). 2) дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. d (∫ f (х)dx)= f (х)dx. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫ d F(x)= F(x)+С. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫С f (х)dx=С ∫f(х)dx; 5) Интеграл от суммы (разности) ф-ий равен сумме (разности) интегралов от этих ф-ий: ∫(f(х)+- g(х)) dx= ∫f(х) dx +- ∫g(х) dx.

№33. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

Пусть задан интеграл ∫ f (х)dx- не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную t след образом: х=φ(t). Dx= φ^/(t)dt. ∫ f (х)dx=∫ f [φ(t)]φ^/ (t)dt=∫ φ(t)dt-формула замены переменной в неопред интеграле.

Пусть ф-ия х= φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [L;B], причем а=φ(L), b=φ(B). А данная ф-ия f (х) не прерывна в каждой точке х, где х= φ(t), тогда справедлива след формула: ∫^b_a f (х)dx=∫^b_a f [φ(t)]φ^/ (t)dt- формула замены переменной в определенном интеграле.

№34. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ии. Тогда по св-ву дифференциала d(uv)=vdu+udv или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части и учитывая, что: d(∫f(x)dx)=f(x)dx u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: ∫udv=uv-∫vdu-формула интегрирования по частям для неопред интеграла. Пусть ф-ии и=и(х) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], тогда : ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, где uv|^b_a=u(b)v(b)-u(a)v(a)-для опред интеграла. Т к (uv)^/=u^/v+uv^/, то ф-ия uv явл первообразной для ф-ии u^/v+uv^/. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: uv|^b_a=∫^b_a(u^/v+uv^/)dx=∫^b_avu^/dx+ ∫^b_auv^/dx, что равносильно ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, т к по определению дифференциала u^/(x)dx=du и v^/(x)dx=dv. Примеры:А) ∫xln(x²+1)dx=|u= ln(x²+1), dv=xdx,du=2xdx/(x²+1), v=∫dv=∫xdx=x²/2|=x²/2ln(x²+1)-∫x²/2∙2xdx(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫x³/(x²+1)dx=| x³/(x²+1)=x+x/(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫(x-x(x²+1)dx= x²/2ln(x²+1)-∫xdx+∫x/(x²+1)dx=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫x/(x²+1)dx=|x²+1=t, 2xdx=dt, xdx=dt/2|=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫dt/2t=x²/2ln(x²+1)-x²/2+1/2lnt=x²/2ln(x²+1)-x²/2+(ln(x²+1))/2= ln(x²+1)(x²/2+1/2)-x²/2=((x²+1)2)ln(x²+1)-x²/2+C. Б) ∫^e-2_-1ln(x+2)dx=|x+2=t, dx=dt,x=e-2 t=e, x=-1 t=1|=∫^e₁lntdt=|u=lnt, dv=dt, v=∫dv=∫dt=t, du=dt/t|=|∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu|=tlnt|^e₁-∫^e₁t/tdt=elne-1ln1-x|^e₁=e-(e-1)=e-e+1=1

№35. а)Определенный интеграл как предел интегральной суммы. б)Св-ва определенного интеграла.

a)Определенным интегралом от ф-ии у=f(x) на отрезке [a;b] наз предел интегральной суммы ∑^п_i=1f(c_i)∆x_i=f(c₁)∆x₁+ f(c₂)∆x₂+…+ f(c_n)∆x_n при λ→0 ∫^b_af(x)dx=lim_λ→o ∑ⁿ_i=1f(c_i) ∆x_i.

b) 1) Постоянный множитель можно выность за знак определенного интеграла: ∫^b_aLf(x)dx=L ∫^baf(x)dx L-const. 2) Определенный интеграл от алгебраической суммы ф-ций равен такой же сумме.

№36. а)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

а)Теорема: Пусть ф-ия f (х) непрерывна на отрезке [a;b], тогда в каждо точке х отрезка [a;b] производная ф-ии Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии f (х), т е Ф^/(х)=(∫^х_аf(t)dt)=f(x).

б) Пусть ф-ия у=f (х) непрерывна на отрезке [a;b], F(x)-любая первообразная для ф-ии f (х) на отрезке [a;b], тогда определенный интеграл от ф-ии f (х) на отр [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке: ∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a.-формула Ньютона-Лейбница.

№37. а)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва).

а) Несобственным интегралом с бесконечным верхним переделом ∫^+∞_а f(x)dx от ф-ии f(x) наз предел интеграла ∫^t_а f(x)dx, t→+∞, ∫^+∞_а f(x)dx=lim_t→+∞ ∫^t_а f(x)dx. Если этот предел сущ или равен конечному числу, то интеграл наз сходящимся, а противном случае расходящимся. Аналогично: Несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом: ∫^b_-∞ f(x)dx=lim_t→-∞ ∫^b_t f(x)dx.

№38. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

1)Пусть ф-ия у= f(x) неопределенна и неотрицательна на отр [a;b], тогда согласно геометрическому смыслу определенного интеграла S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= f(x), осью ОХ, слева прямой х=а, справа прямой х=b численно равна опред интегралу от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]. S=∫^b_af(x)dx. (рис).

2)Если ф-ия у= f(x) неположительная на отр [a;b], то S над кривой у= f(x) вычисляется по формуле : S=-∫^b_af(x)dx. (рис).

3)Пусть плоская область ограничена сверху ф-ией у= f(x), снизу ф-ией у= g(x), слева и справа прямыми х=а, х=b, тогда ее S вычисляется по формуле: S=∫^b_a[f(x)-g(x)]dx. (рис).

Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у= -х²,у=е^2х,х=0,х=1. (рис). S=∫¹_o(e^2x+x²)dx=∫¹_oe^2xdx+∫¹_ox²dx=| 2x=t, 2dt=dt, x=0 t=0, x=1 t=2|= 1/2∫²₀e^tdt+x³/3|¹_o=1/2e^t|²_o+1/3=1/2(e²-e^o)+1/3=e²/2-1/6 (кв.ед).