ответы к экз. по матем

№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

а)Матрицей размера m×n наз прямоугольная таблица сост из m-строк и n-столбцов.

⌠а₁₁а₁₂а_13……а_1n ⌠

А= |a₂₁a₂₂a_33……a_2n |=(a_ij)_m×n=[a_ij]_m×n.

|……………… |

⌡a_m1a_m2a_m3…a_mn⌡

a_ij-элементы матрицы. i-номер строки j-номер столбца

б)Матрица сост из одной строки наз матрицей строкой(вектором строкой):В=(b₁₁b_12…b_1n).

Матрица сост из одного столбца наз матрицей-столбцом(вектором-столбцом).

[c₁₁]

C=| c₂₁ |

| … |

[c_m1]

Если кол-во строк = кол-ву столбцов, то матрица наз квадратной размера m×n (матрица порядка m). Диагональная матрица-матрица все элементы кот, кроме диагональных =0.

Элементы матрицы у кот номер столбца = номеру строки наз диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы =1, то она наз единичной. (Е=(…)). Матрица любого размера называется нулевой если все ее элементы равны 0.

в)Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А^/, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^/ наз транспонированной относительно матрицы А. Св-ва: 1) (А^/)^/=А, 2) (λА^/)^/=λА^/, 3) (А+В)^/=А^/+В^/.4) (АВ)^/=А^/В^/.

г)Две матрицы А и В одного размера наз равными,если они совпадают поэлементно, т е a_ij=b_ij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n.

д)1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ наз матрица В=λА, элементы кот b_ij=λa_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Произведение матрицы А на число 0, равно нулевой матрице. (0А=0).

2. сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n наз матрица С=А+В, элементы кот c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. ( т е матрицы складываются поэлементно). В частности А+0=А.

3. Вычетание матриц. Разность двух матриц одинакового размера опред ч/з предыдущие операции А-В= А+(-1)В.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n наз матрица С размера m×n, каждый элемент кот = сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_ik.

№2. а)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

а) Определителем матрицы 2-го порядка наз число, кот вычисляется по формуле:

∆₂=|А|=|а₁₁а₁₂|=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.-члены определителя.

|а₂₁а₂₂ |

Определителем матрицы 3-го порядка кот вычисляется по формуле: ∆₃=|А|=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₂+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₂а₂₁а₃₃-а₃₂а₂₃а₁₁.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка наз число =алгебраической сумме п! членов, каждый из кот явл произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J)где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: ∆=|А|=∑_(J)(-1)^r(J)a_1j1a_2j2…a_njn.

C-ва:1) если какая-либо строка (столбец) матрицы сост из одних нулей, то ее определитель=0. 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число. 3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется |A^/|=|A|. 4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель=0. 6) если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7) сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраичские дополнения элементов др строки (столбца) этой матрицы равна 0. 8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы др строки(столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число. 9) Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) = определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b₁,b₂,…,b_n. 10) определитель произведения двух квадратных матриц= произведению их определителей.

б)Определитель п-го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.

№3. а)Квадратная матрица и ее определитель. б)Особенная и неособенная квадратные матрицы. в)Присоединенная матрица. г)Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

а)Если кол-во строк= кол-ву столбцов, то такая матрица наз квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель приминяется только для квадратных матриц, detA,(А),∆. Определителем кв матрицы А наз число, кот вычисляется по след правилам: 1) А=(а₁₁) detA=а_11. 2) А=(а₁₁а₁₂) detA=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.

(а₂₁а₂₂)

3) А=(а₁₁а₁₂а₁₃)

(а₂₁а₂₂а₂₃)

(а₃₁а₃₂а₃₃)

Для 3) правилом ∆(Саррюса). detA=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₃а₂₁а₃₂+а₃₁а₁₂а₂₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₁а₃₂а₂₃-а₃₃а₂₁а_12.

4) Определитель п-го порядка – сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.А_ij=(-1)^i+jM_ij- алгеброическое дополнение.

в,г)Пусть матрица А- кв. Матрица А^-1-наз обратной к матрице А, если выполняется усл: А^-1А=АА^-1=Е. Мариица наз невыражденной, если ее определитель не =0, в противнос случае матрица-выражденная. Теорема(необходимое и достаточное усл сущ обратной матрицы):Обратная матрица А^-1сущ единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица невыражденная и вычисляется по формуле А^-1= 1/ detA×А^~, А^~-присоединенная матрица сост из алгебраических дополнений транспонированной матрицы

А^~= (А₁₁А₂₁…А_п1/А₁₂А₂₂…А_п2/…/А_1пА_2п…А_пп). Схема вычисления обр матрицы:

1) вычисляем определитель матрицы. Если определитель равен нулю , то матрица вырожденная и обратной матрицы не сущ. Если detA не=0, то: 2) вычисляем алгебраические дополнения и составляем присоединенную матрицу А^~. 3) Составляем обратную матрицу по формуле: А^-1= 1/ detA×А^~. 4) Выполняем проверку: А^-1А=Е.

№4. а)Понятие минора к-го порядка. б)Ранг матрицы(определение).в)Вычисление ранга матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

а)В матрице А размера т×п вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы к-го порядка, где к<=min(m;n). Определители таких подматриц наз минорами к-го порядка матрицы А.

б)Рангом матрицы А наз наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

в)Элементарные преобразования: 1) отбрасывание нулевой строки(столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов др строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.

Пример. (0 -1 3 0 2)

А= (2 -4 1 5 3)= (2 -4 1 5 3)

(-4 5 7 -10 0) (0 -1 3 0 2).

(-2 1 8 -5 3)

r(A)=2. Матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры 2-го порядка, не =0, например |2 -4|

|0 -1|=-2 не=0.

№5. а)Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. б)Теорема о ранге матрицы.

а) Если линейная комбинация строк λ₁е₁+ λ₂е₂+… +λ_ме_м=0, тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ_i =0, т е λ₁=λ₂=…= λ_м=0,то строки е_1,е₂,…,е_т наз линейно независимыми. λ-число, е₁=а₁₁а₁₂а₁₃…_, е₂=а₂₁а₂₂а_23.

б)Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, ч/з кот линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

№6. а)Система т линейных уравнений с п переменными (общий вид). б)Матричная форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

а) Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_т1х₁+а_т2х₂+а_т3х₃+…+а_тпх_п=b_т

б) Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_1п) (х₁) (b₁)

А=( а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2п) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

( а_т1 а_т2 а_т3… а_тп) (х_п) (b_n)

Система ур-ния в матричной форме имеет вид Ах=В.

в)Решением системы наз такая совокупность п чисел (х₁=к_1,х₂=к_2,…, х_п=к_п), при подстановке кот каждое ур-ние системы обращается в верное равенство.

г)Система ур-ний наз совместной,если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз определенной,если имеет ед решение, и неопределенной,если имеет более 1 решения.

№7. а) Метод Гаусса решения системы п-линейных ур-ний с п переменными. б)Понятие о методе Жордана-Гаусса.

а) Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов исходная система ур-ний приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из кот последовательно находятся все неизвестные переменные. Вычисление удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов.

№8. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А^-1В.

Рассм систему линейных ур-ний состоящую из п-ур-ний и п неизвестных:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_п1х₁+а_п2х₂+а_п3х₃+…+а_ппх_п=b_п

Если матрица системы невырожденная (detA ≠0), то систему можно решить:1)матричным способом (метод обратной матрицы),2)По правилу Крамера, 3) методом Гаусса. Рассм 1 метод: Данная система в матричной форме имеет вид Ах=В, где А- матрица системы. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_1п) (х₁) (b₁)

А=( а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2п) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

( а_{п 1} а_п2 а_п3… а_пп) (х_п) (b_n)

Т к detA ≠0, то сущ. обратная матрица А^-1: А^-1(АХ)=А^-1В; А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х;Х=А^-1В

№9. Теорема и формулы Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными (без вывода).

Теорема: Пусть ∆-определитель матрицы системы А, ∆_j-определитель матрицы полученный из матрицы А заменой j-столбца столбцом свободных членов, если определитель матрицы А не =0, то система имеет ед. решение, найденное по формуле x_j=∆j/∆. Формулы x_j=∆j/∆(j=1,2,…,n) получили название формул Крамера.

№10. Понятие функции, способы задания ф-ций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

Если каждому элементу х множества Х соответствует вполне определенный элемент у из множества У, то говорят, что на множестве Х задана ф-ция у=f(x), при этом х- независимый аргумент, у- зависимая переменная. F означает, что над переменной х необходимо провести какие-то операции, чтобы получить значение у. Множество Х- область опред. или область существования ф-ции D(f), D(y), множество У –значения ф-ции E(f),E(y).

Способы задания ф-ций: 1. Аналитический, т е ф задается в виде у=f(х).2. Табличный, задается таблица содержащая значения аргумента х и соответствующие значения ф-ции у(х). 3. Графический, состоит в том, что изображается график ф-ции, на числовой плоскости отмечаются точки, первая координата соответствует аргументу х, а вторая значения ф-ции у(х). Область определения может представлять собой: 1. интервал D(f)=(a;b); a<x<b.2.Отрезок D(f)=[a;b]; a<=x<=b. 3.полуинтервал D(f)=(a;b]; a<x<=b. D(f)=[a;b); a<=x<b.4.бесконечный интервал D(f)=(-∞;+∞);-∞<x<+∞. D(f)=(-∞;a];-∞<x<=a. D(f)=(b;+∞);b<x<+∞. 5.совокупность нескольких интервалов, полуинтервалов и отрезков.

Ф-ция у=f(x) наз четной, если для любого х из области определения выполняется у(-х)=у(х) и нечетной, если у(-х)=-у(х). Ф-ция у=f(x) наз ограниченной(sinx,cosx) на промежутке х, если сущ. такое положительное число М, что для всех х из этого промежутка (х€Х). f(x) по модулю не превосходит М(|f (х)|<=М), в противном случае ф-ция называется неограниченной.

Ф-ция у=f(x) наз. возрастающей(убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее) значение ф-ции. Возрастающие (убывающие) ф-ции называются монотонными. у=е^х, у=log_1/3х.

№11. а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

а) Ф-ции, построенные из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной ф-ции, наз элементарными.

б)1)Постоянная: у=b (b||OX) (рис.)

2)Степенная: А) у=х^п, п -натуральное число. Для п-четного (рис у=х², у=х⁴): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)-убывает, (0;+∞)-возрастает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х, у=х³, у=х⁵): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные. Б) у=1/х^п, п- натуральное число. Для п-четного (рис у=1/х², у=1/х⁴); 1-D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)- возрастает, (0;+∞)- убывает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=1/х): 1- D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)= (-∞;0)V(0;+∞); 3-(-∞;0), (0;+∞)-убывает; 4- нечетные; 5- непериодичные. В) у=х^1/п. Для п-четного (рис у=х^1/2). 1-D(f)=[0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х^1/3): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные.3)Показательная: у=а^х (а>0; a≠1). Для а>1(рис): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3(-∞;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3- (-∞;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные. 4)Логарифмическая: (а>0; a≠1). У=log_ax. Для а>1(рис): 1-D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (0;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные.

№12. а) Уравнение линии на плоскости. б)Точка пересечения двух линий.в) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

а) Уравнением линии на плоскости Оху наз уравнение, кот удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.

б) Пусть даны две прямые А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0_. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы: { А₁х+В₁у+С₁=0 ; А₂х+В₂у+С₂=0}. Если прямые не параллельны, т е А₁/А₂≠В₁/В₂, то решение системы дает ед точку пересечения прямых.

№13. а)Общее ур-ние прямой на плоскости, его исследование. б)Условия || и ┴прямых.

а)Запишем ур-ние прямой с к=1: у=kх+b; -kx+y-b=0; -kx→Ax,y→By.-b→C;Ax+By+C=0-ур-ние прямой. Частные случай ур-ния Ах+Ву+С=0: 1) А=0,следов. Ву+С=0, В,С-const.у=-С/В. Прямая || оси ОХ. А=С=0,следов. у=0-прямая совпадает с осью ОХ.

2) В=0,следов. Ах+С=0, А,С- const. Х=-С/А. А≠0. Прямая || оси ОУ. В=С=0,следов. х=0- прямая совпадает с осью ОУ.

3) С=0, следов. Ах+Ву=0. у=-А/В×х-прямая проходит ч/з начало координат.

б)1. Если прямая L₁|| L₂,следов. φ =0, tg φ=0, следов. k₁₌k₂-условие || двух прямых.

2. L₁┴ L₂, тогда φ =π/2, следов. tg π/2-неопределен. сtg π/2=0, следов. сtgφ=1/tgφ=(1+k₁k₂)/( k₂- k₁). сtgφ=0, следов. 1+k₁k₂=0, k₁k₂= -1-условие ┴ двух прямых.

№14. а)Предел последовательности при п→∞ и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной ф-ии).

а) Число А наз пределом чиловой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такой номер N (зависящий от ε, N=N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |a_n-A|<ε. Предел числовой последовательности обозначается lim_n→∞a_n=A или a_n→∞ при n→∞. Последовательность, имеющая предел, наз сходящейся, в противном случае-расходящейся. Число А наз пределом ф-ии у=f(x) при х→∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число М=0, что для всех х удовлетворяющих равенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<E.При этом говорят, что A=lim_x→∞f(x).

б)Теорема1: Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел. Теорема2: Если в некоторой окрестности точки х_о (или при достаточно больших значениях х) ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при х→х_о (или х→∞), то ф-ия f(x) имеет тот же предел А. Пусть при х→х_о lim _х→хо φ(х)=А, lim _х→хо ψ(х)=А. Это означает, что для любого ε>0 найдется такое число δ>0, сто для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ будут верны одновременно неравенства | φ(х)-А|<ε, | ψ(х)-А|<ε или А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε. Т к по усл ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ми, т е φ(х)≤ f(x) ≤ ψ(х), то из неравенства А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε следует, что A-ε< f(х)<A+ε, т е |f(x)-A|<ε. А это и означает, что lim_x→хоf(x)=А.

№15. а)Определение предела ф-ии в точке. б)Основные теоремы о пределах (одну доказать).

а)Число А наз пределоф ф-ии f(x) при х→х_о (или в точке х_о), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε. Этот предел ф-ии обозначается lim_x→xof(x)=A или f(x)→A при x→x_о.

б) 1) Ф-ия не может иметь более одного предела. Док-во: Предположим противное, т е что ф-ия f(x) имеет два предела А и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ий в соответствии с формулой f(x)=A+α(x), f(x)=D+β(x),где α(x), β(x)- бесконечно малые при x→x_o(x→∞). Вычитая почленно эти равенства, получим 0= A-D+(α(x)-β(x)), откуда α(x)-β(x)= D-А. Это равенство не возможно, т к на основании св-ва 1 бесконечно малых α(x)-β(x) есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. 2) Предел алгеброической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)+φ(x)]=A+B. 3) Предел произведения конечного числа ф-ий равен произведению пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)φ(x)]=AB. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т е lim_x→xo(∞)(сf(x))=сA. 4) Предел частного двух ф-ий равен частному пределов этих ф-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т е lim_x→xo(∞)f(x)/φ(x)=A/B (В≠0). 5) Если lim_u→uof(u)=A, lim_x→xoφ(x)=u_o, то предел сложной ф-ии lim_x→xof[φ(x)]=A. 6) Если в некоторой окрестности точки х_о ( или при достаточно больших х) f(x)<φ(x), то lim_x→xo(∞)f(x)≤ lim_x→xo(∞)φ(x).

№16. а)Бесконечно малая величина (определение). б)Св-ва бесконечно малых (1 док-ть).

а)Функция L(х) наз бесконечно малой величиной при х→х_о, или при х→∞, если ее предел =0. Lim _{х→ хо (∞)}L(х)=0.

б)Св-ва: 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. 2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную ф-цию (постоянную, бесконечно малую) есть величина бесконечно малая. 3) Частное от деления бесконечно малой величины на ф-цию, предел кот отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

Докажем 1^о: По усл L(х) и В(х)-бесконечно малые при х→х_о,следов. для любого Е^/=Е/2>0, найдутся δ₁>0, δ₂>0, что для всех х≠ х_о и удовлетворяющих условиям: |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ₂ выполняются соответственно неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2. Если взять δ=min{δ_1;δ₂}, то неравенству |х-х_о|< δ будут удовлетворять решения неравенств |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ_2, следов. неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2 будут одновременно верны. Складывая почленно получим: |L(х)|+|В(х)|< E/2 +E/2=Е, т к |L(х)+В(х)|≤ <|L(х)|+|В(х)|-(св-во абсолют. величин.), получаем: |L(х)+В(х)| <Е. Для любого Е>0 сущ такое δ>0, что для всех и х≠ х_о и |х-х_о|< δ неравенство |L(х)+В(х)| <Е верно, следов. ф-ция L(х)+В(х)- есть величина бесконечно малая.

а)Бесконечно большая величина (определение). б)Связь бесконечно малых величин с бесконечно большими.

а)Ф-ция f(x) наз бесконечно большой величиной при х→х_о, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от М, δ= δ(М)), что для всех х ≠ х_о и удовлетворяющих условию |х-х_о|< δ, будет верно неравенство | f(x) |>М. Записывается, как lim _х→хо f(x)=∞ или f(x)→∞ при х→х_о.

б) Теорема: Если ф-ция L(х) есть бесконечно малая величина при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) явл бесконечно большой при х→х_о(х→∞). И обратно, если ф-ция f(x) бесконечно большая при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) есть величина бесконечно малая при х→х_о(х→∞).

№17. а)Второй замечательный предел, число е. б)Понятие о натуральных логарифмах.

а) е= lim_п→∞(1+1/п)^п. Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е= lim_п→∞(1+1/п)^п ,е=2,718231… е- иррациональное число.

б) Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в матиматическом анализе. Широко используются логарифмы по основанию е, наз натуральными. Обозначаются символом ln: log_ex=lnx.

№18. а)Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке. в)Точки разрыва.г)Примеры.

а) Функция у= f (х) наз непрерывной в точке х_о, если она удовлетворяет след условиям:1)определена в точке х_о, т е сущ f (х_о), 2) сущ конечные односторонние пределы ф-ии при х→х_о слева и справа. 3) Эти пределы равны значению ф-ии в точке f (х_о)=lim_x→xo-o f (х)= lim_x→xo+o f (х). Ф-ия у= f (х) наз непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

б)1^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке. (рис.) 2^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наименьшего М. (рис). 3^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f (а) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется т. Е є (a;b) такая, что f (Е)=0. (рис).

в) Если в какой-либо точке х_о для ф-ии у=f(х) не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то точка х_о наз точкой разрыва ф-ии, причем 1)если сущ конечные односторонние пределы ф-ии, не равные др другу, т е lim_x→xo-o f (х)≠ lim_x→xo+o f (х), то точка х_о наз точкой разрыва 1-го рода. 2)если хотябы один из односторонних пределов ф-ии =∞ или несущ: lim_x→xo-o f (х)=∞, lim_x→xo+o f (х)=∞, то точка х_о наз точкой разрыва 2-го рода.

г) Пример: Исследовать ф-цию на непрерывность, установить характер точек разрыва. У=х/(х-1) х=1 1) f(1)-неопределенна, 2) lim_x→1-o х/(х-1)= -∞, lim_x→1+o х/(х-1)= +∞,

х=1- точка разрыва 2-го рада.

№19. а)Производная и ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к плоскости кривой в заданной точке.

а)Производной ф-ии у= f (х) наз предел отношения приращения ф-ции ∆у к приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х→0: у^/=lim_∆х→0∆у/∆х.. Геометрич смысл производной ф-ии в точке: производная ф-ии в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии в этой точке. k=f ^/(х_о).

б) у-у_о= f ^/ _хо (х_о)(х-х_о)- уравнение касательной.

№20. а)Дифференцируемость ф-ции одной переменной.б) Связь м/д дифференцируемостью и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

б)Теорема: Если ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, то она в этой точке непрерывна.