5. СОПОСТАВЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕОРИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

44 Сопоставление двух теорий при сложном нагружении

и Eс, E — секущий модуль и модуль Юнга; "*и, "*и(e) — интенсивности полной и упругой деформации, соответствующие значениям sij*. Следовательно, при пропорциональном нагружении

теория пластического течения совпадает с деформационной теорией пластичности.

Для сопоставления этих теорий в случае непропорционального нагружения рассмотрим определение компонент тензора деформации при совместном растяжении силой P и кручении моментом M тонкостенной трубки, средний диаметр которой D,

атолщина стенки h.

Вцилиндрической системе координат Or'z осевое zz и касательное r' = 'r напряжения определяют по формулам [6]

Материал трубки несжимаем, диаграмма деформирования соответствует модели идеальной упругопластической среды (см. рис. 1.1, а).

Сначала рассмотрим применение деформационной теории пластичности. В рассматриваемом случае

rr = '' = rz = zr = 'z = z' = 0,

"zz

"rr = "'' = − 2 ,

"z' = "'z = "zr = "rz = 0.

Поэтому для несжимаемого материала из (5.8) имеем

— компоненты девиаторов напряжений и деформации соответственно;

√

и = 2zz + 3 2r',

Соотношения (5.10) представляют собой зависимости относительных безразмерных напряжений и от относительных деформаций " и . Как следует из (5.10), по деформационной теории пластичности и определяются конечными значениями

" и .

В соответствии с теорией пластического течения из (3.1) и (5.4) при d"(ijT) = 0 имеем равенство

где "(ije) — компоненты тензора упругой деформации, — коэффициент Пуассона, которое в данном случае в безразмерной форме принимает вид

"1 — начальное значение ".

На втором этапе нагружения, когда трубка только закручивается, d" = 0 и из первого равенства (5.12) имеем

E d = −d .

т

Подставляя это выражения во второе равенство (5.12), получаем

1 — начальное значение .

В заключение рассмотрим пропорциональное нагружение, когда = ". Уравнение (5.15) в этом случае принимает вид

48 Сопоставление двух теорий при сложном нагружении

Очевидно, что (5.15), (5.16), (5.17) устанавливают зависимость напряжений от деформации как при ступенчатом, так

ипропорциональном нагружениях по теории пластического течения.

Рассмотрим полученные результаты более подробно (рис. 5.1). Сначала создадим пропорциональное нагружение тонкостенной трубки до наступления текучести, которое происходит в пределах упругости. Поэтому независимо от варианта теории пластичности по (5.10) при " = = 0,707 получим = = 0,707. Затем растягиваем трубку при d = 0 до значения " = 2. По деформационной теории напряжения и вычисляют по (5.10). Деформации в этом случае " = 2 и = 0,707. По теории пластического течения напряжения в этом случае определяют по (5.15)

и(5.11) при "1 = 0,707, " = 2,0 и 1 = 0,707, = 0,975, = 0,224; по деформационной теории = 0,943, = 0,333.

Рис. 5.1.

После этого трубку закручивают до значения = 2. По деформационной теории напряжения вычисляют по (5.10) при

" = = 2,0: = = 0,707. По теории пластического течения напряжения определяют по (5.16) и (5.11) при 1 = 0,707, = = 2,0 и 1 = 0,224: = 0,417, = 0,909.

Если сначала трубку закрутить от 1 = 0,707 до = 2,0, то по теории пластического течения при 1 = 0,707 получим = 0,975,= 0,224; растягивая далее трубку до значения " = 2, получим при 1 = 0,224 следующие результаты: = 0,909, = 0,417.

Как следует из приведенных расчетов напряжений, результаты, полученные для различных ступенчатых типов нагружения, различны. Только в случае пропорционального нагружения значения напряжений, полученные по разным теориям для " = = 2, совпадают.

Вопросы и задачи

Рассмотрите деформирование трубки и сравните результаты, полученные с помощью теории пластического течения и деформационной теории пластичности, для следующих вариантов нагружения:

1.Растяжение до значений " = 2,5; 3,0; 3,5

при = 0,0; 0,707; 2,5; 3,0; 3,5.

2.Кручение до значений = 2,5; 3,0; 3,5

при " = 0,0; 0,707; 2,5; 3,0; 3,5.