3. МОДЕЛИ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ

Под термопластичностью понимают процесс развития в материале пластической деформации, протекающий в условиях изменения абсолютной температуры T. Иногда этот процесс называют неизотермической пластичностью. При построении математических моделей (ММ) термопластичности в качестве внутренних параметров термодинамического состояния обычно используют параметр Удквиста , учитывающий в поликристаллическом материале плотность микродефектов, и тензорный параметр ̂ с компонентами ij, i, j = 1, 2, 3, который пропорционален усредненному симметричному тензору плотности дислокаций и может рассматриваться как аналогичный тензору трансляции усредненный тензор микронапряжений, возникающих в скоплениях дислокаций. Эти параметры в случае твердого аморфного тела (например, полимера) могут иметь иной микромеханический смысл, но важным обстоятельством является их зависимость от компонент "(ijp) тензора пластической деформа-

ции, причем d = 0 и d ij = 0 при d"(ijp) = 0.

Любая ММ термопластичности в частном случае должна описывать эксперименты при одноосном нагружении, в которых проявляются упругие и пластические свойства материала, и подтверждаться результатами экспериментов при произвольном напряженном состоянии. На основании имеющихся экспериментальных данных можно сделать следующие заключения об общих свойствах такой модели:

– в бесконечно малой окрестности любой точки рассматриваемого тела приращение компонент тензора полной деформации

где "(ije) и "(ijT) — компоненты тензоров упругой и температурной деформации соответственно;

где ij — компоненты тензора напряжений ̂; ij — символ Кронекера; "V — объемная деформация; { — объемный модуль упругости;

– компоненты девиатора упругой деформации линейно зависят от компонент sij девиатора напряжений, т. е.

где — модуль сдвига;

– существует функция нагружения, определяющая для пластически деформируемой бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки тела уравнение поверхности нагружения в пространстве напряжений в виде

Сплошную среду с указанными свойствами назовем термопластической средой.

Задаваемая (3.4) поверхность делит пространство напряжений на две части. При f( ij,T, , ij) < 0 бесконечно малая окрестность рассматриваемой точки тела деформируется упруго, т. е. d"(ijp) = 0, а напряженное состояние, соответствующее f( ij,T, , ij) > 0, не может быть реализовано.

Если левая часть (3.4) не зависит от и ij, то получим уравнение f*( ij,T) = 0 поверхности текучести для идеальной упругопластической среды. При этом

В общем случае упругопластической среды с упрочнением

при выполнении (3.4) возможны следующие процессы:

активное нагружение, если

При активном нагружении из (3.5) и (3.6) получим

Тогда уравнение закона пластического течения можно записать в виде

где, согласно (3.6),

Mij = NijW +YijklWkl,

Mij = Mji,

Mkk = 0.

При построении некоторых вариантов ММ пластического деформирования используют постулат Драккера, обобщающий (1.2). Пусть тело, находящееся в исходном состоянии, нагружено по некоторому пути OC в пространстве напряжений (рис. 3.1), а затем из точки C, лежащей на поверхности нагружения и соответствующей значениям ij, разгружено до точки D, расположенной внутри этой поверхности и соответствующей значениям ij (в частном случае нейтрального нагружения точка D может находиться и на этой поверхности).

Рис. 3.1.

Если из точки D по пути DCH сначала перейти в точку C, а затем за счет приращений d ij провести активное нагружение до точки H, то на участке CH возникнут приращения d"(ije) ̸= 0

и d"(ijp) ̸= 0 компонент тензоров упругой и пластической деформации. Новое положение участка поверхности нагружения, на которой лежит точка H, отмечено на рис. 3.1 штриховой линией. После разгрузки по некоторому пути из точки H в точку D приходящаяся на единицу объема материала необратимая работа пластического деформирования составит

( ij − ij)d"(ijp) + d ij d"(ijp) > 0,

поскольку при замкнутом цикле нагружения работа, совершаемая напряжениями на упругих деформациях, равна нулю. Отсюда при ij = ij следует, что

в виде зависимости и = т( ,T), которая соответствует семейству диаграмм растяжения, перестроенных в координатах "(p), и (рис. 3.3). Тогда

активное нагружение, при d и = @@Tт dT — нейтральное, а при d и < @@Tт dT начинается разгрузка.

Рис. 3.3.

#

Пример 3.2. Направляющие косинусы нормали к поверхности нагружения пропорциональны @f/@ij. Поэтому из коллинеарности этой нормали и вектора d"(p) следует равенство

где лишь при активном нагружении коэффициент пропорциональности d * > 0, а в остальных случаях d * = 0. Сопоставляя (3.7) с равенством (3.10), выражающим ассоциированный с поверхностью нагружения закон пластического течения, получим, что

Mij d * = @f d *.

@ij

Так как функция f в (3.4) определена с точностью до произвольного множителя, то в (3.7) можно принять Mij = @f/@ij.

Если влияние внутренних параметров и ij на процесс пластического деформирования можно разделить и принять

f( ij,T, , ij) = fт( ij,T, ij) − т(T, ) = 0,

то вместо (3.7) получим

#

Пример 3.3. Пусть толстостенная труба внутренним радиусом a и внешним радиусом b изготовлена из изотропного материала и подвержена действию внутреннего давления p. Осесимметричное установившееся распределение T(r) температуры зависит лишь от радиальной координаты r [a, b], отсчитываемой от оси трубы, и его можно представить в виде

ln(b/r)

T(r) −T(b) = T(r) = #a ln(b/a), #a = T(a) −T(b). (3.11)

Положим, что T(b) является температурой естественного состояния материала трубы и при указанных условиях в нем возникает пластическая деформация. Если труба достаточно длинная, то можно считать, что имеет место плоское деформированное состояние, т. е. в направлении осевой координаты z деформация "zz = const. В дальнейшем примем "zz = 0.

32 Модели термопластичности

Соотношение (3.17) справедливо как в области упругой деформации, так и в области пластической деформации.

Если из равенств

для обобщенного закона Гука исключить ur и использовать выражения для '' из (3.12) и для zz из (3.16), то получим

Отсюда следует, что при т = условие текучести будет выполнено во всем поперечном сечении трубы, что соответствует неустойчивому пластическому течению материала трубы. Если т > , то область упругой деформации занимает внешнюю часть поперечного сечения трубы при r > r0, поскольку

относительно r0. Если в трубе сначала возникло установившееся распределение температуры, которое не вызвало пластических деформаций, а затем стало возрастать давление, то из последнего уравнения при r0 = a следует, что пластическая деформация возникнет при значении давления

Случай p* < 0 означает, что пластические деформации возникают еще до повышения давления.

Используя (3.20), в области пластической деформации можно сначала найти '' из (3.14), а затем zz — из (3.16).

Вопросы и задачи

1.Что называют термопластичностью?

2.Что называют тензором микронапряжений?

3.Напишите соотношения, характеризующие активное нагружение, нейтральное нагружение, разгрузку.

4.Напишите закон пластического течения.

5.Сформулируйте постулат Драккера.

6.Напишите соотношение, выражающее ассоциированный закон пластического течения.

7.Что такое неустойчивое пластическое течение? Приведите пример.