Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

Факультет ”Фундаментальные науки“ Кафедра ”Прикладная математика“

В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.В. Станкевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Электронное учебное издание

Учебное пособие по курсу ”Математические модели механики сплошной среды“

Москва МГТУ им. Н. Э. Баумана

2012

УДК 539.374+539.376 З35

Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. Б. С. Сарбаев

Зарубин В. С.

З35 Математические модели неупругого деформирования сплошной среды: учеб. пособие / В. С. Зарубин, Г. Н. Кувыркин, И. В. Станкевич [Электронное учебное издание]. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. 63 с.

Рассмотрены математические модели неупругого деформирования среды. Изложены основные понятия и положения деформационной теории пластичности и теории пластического течения, а также технических теорий ползучести.

Для студентов факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс ”Математические модели механики сплошной среды“.

УДК 539.374+539.376

Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ”Фундаментальные науки“ МГТУ им. Н. Э. Баумана

в качестве учебного пособия

Электронное учебное издание

ЗАРУБИН Владимир Степанович КУВЫРКИН Георгий Николаевич СТАНКЕВИЧ Игорь Васильевич

Математические модели неупругого деформирования сплошной среды

Компьютерная верстка О. А. Ивановой

○c Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н.,

Станкевич И.В., 2012

○c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие посвящено построению математических моделей неупругого деформирования сплошной среды. Рассмотрены основные понятия и положения деформационной теории пластичности и теории пластического течения, а также технических теорий ползучести.

Пособие состоит из семи разделов. В разделе 1 введены основные понятия неупругого деформирования и рассмотрены простейшие модели пластического деформирования. Раздел 2 посвящен изложению условий текучести сплошной среды. В разделе 3 представлены основные модели термопластичности. Деформационная теория термопластичности рассмотрена в разделе 4, а в разделе 5 проведено сравнение результатов, получаемых с помощью деформационной теории пластичности и теории пластического течения применительно к случаю сложного нагружения. В разделе 6 изложены основные подходы к построению математических моделей деформирования в рамках технических теорий ползучести, получивших широкое распространение в инженерной практике. В разделе 7 рассмотрены вопросы, связанные с построением математических моделей, описывающих деформирование термопластической сплошной среды с памятью.

Основной теоретический материал пособия подкреплен рассмотрением примеров. В конце каждого раздела приведены вопросы и задачи, которые могут существенным образом помочь изучению представленного в пособии материала.

Ссылки на разделы в тексте набраны полужирным шрифтом (например, см. 4). Формулы и рисунки имеют двойную нумерацию, например, (2.3) — третья формула в разделе 2.

В конце пособия помещен список библиографических источников. Также в конце пособия приведен предметный указатель, содержащий в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все введенные в книге термины с указа-

нием страницы, на которой термин определен или описан (на этой странице термин можно найти по выделенным полужирным курсивом словам). Выделение термина в начале параграфа светлым курсивом означает, что в этом параграфе он отнесен к ключевым словам и чтобы понять излагаемый материал, читатель должен знать значение данного термина.

Данное пособие предназначено для студентов 3-го и 4-го курсов факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс ”Математические модели механики сплошной среды“ и выполняющих соответствующую курсовую работу. Может быть полезным студентам старших курсов других факультетов, изучающим механику деформируемого твердого тела.

ВВЕДЕНИЕ

Создание современного машиностроения, энергомашиностроения, авиационной и аэрокосмической техники невозможно без широкого использования математического моделирования на базе новейшего вычислительного оборудования. Основными составляющими математического моделирования являются выбранные математические модели исследуемых процессов, разработанные алгоритмы численного решения и созданные на основе алгоритмов пакеты прикладных программ. Таким образом, роль математических моделей в указанной триаде является ключевой. В полном объеме это относится к математическим моделям, используемым в различных задачах механики деформируемого твердого тела.

При создании и модификации объектов новой техники и современного технологического оборудования часто приходится рассматривать деформацию ответственных деталей и узлов конструкций за пределами упругости. В этом случае определяющие соотношения теории упругости не могут быть применены и для решения прикладных задач необходимо использовать более сложные математические модели, адекватно описывающие поведение конструкционных материалов с учетом особенностей термомеханического нагружения. Эти модели строят на основе положений различных теорий неупругого деформирования, среди которых основными являются теория пластичности и теория ползучести. Принципиальное различие между этими теориями состоит в том, что теория пластичности рассматривает мгновенное неупругое деформирование, в то время как теория ползучести изучает изменение напряжений и деформации с учетом времени. Каждая теория имеет свои границы применения, которые определяют экспериментальные данные.

Для того чтобы правильно выбрать математическую модель неупругого деформирования для численных исследований

напряженно-деформированного состояния исследуемого объекта, необходимо четко представлять теоретические основы ее построения. Именно эти вопросы, связанные с особенностями построения математических моделей неупругого деформирования, рассмотрены в данном пособии.

Для лучшего понимания материала, который излагается в пособии, ниже приведены вопросы для самопроверка. В конце каждого вопроса в квадратных скобках указаны номера ссылок (см. список литературы), в которых можно найти всю необходимую информацию для правильного ответа.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое сплошная среда, абсолютная температура среды, температурное состояние, температура естественного состояния, плотность среды, теплоемкость среды (массовая, объемная), свободная энергия, массовая плотность свободной энергии, диссипация энергии, диссипативная функция, энтропия, термодинамическая система, термодинамический процесс (обратимый, необратимый), термодинамическое состояние, внутренние параметры термодинамического состояния [3]?

2.Что такое поликристаллический материал, скопление дислокаций, тензор плотности дислокаций, твердое аморфное тело [3]?

3.Что такое процесс теплопроводности, тепловой поток, вектор плотности теплового потока [3]?

4.Что такое математическая модель [1]?

5.Какая деформация является упругой, малой деформацией, объемной деформацией [6, 8]?

6.Что такое тензор деформации, компоненты тензора деформации, главные деформации, инварианты тензора деформации, интенсивность деформации [6, 8]?

7.Что такое температурная деформация, температурный коэффициент линейного расширения [6, 8]?

8.Что такое напряжение, нормальное напряжение, касательное напряжение, тензор напряжений, компоненты тензора напряжений, главные напряжения, инварианты тензора напряжений, девиатор напряжений, инварианты девиатора напряжений [6, 8, 12]?

9.Сформулируйте закон Гука, обобщенный закон Гука

[6, 8, 12].

10.Напишите в общем виде уравнения равновесия [6, 8,

12].

11.Что такое тензор коэффициентов упругости материала, тензор коэффициентов податливости материала, продольный модуль упругости (модуль Юнга), модуль сдвига, коэффициент Пуассона, объемная деформация, объемный модуль упругости [6, 8, 12]?

12.Что такое напряженно-деформированное состояние, одноосное напряженное состояние, плоское напряженное состояние, напряженно-деформированное состояние чистого сдвига, сложное напряженное состояние [6, 8, 12]?

13.Что такое потенциальная энергия упругой деформации, объемная плотность упругой деформации [6, 8, 12]?