1. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Характерной особенностью упругой сплошной среды является полное восстановление формы и объема деформируемого тела после снятия приложенной к нему нагрузки, т. е. упругая деформация полностью обратима. Неупругая деформация связана с возникновением на микроуровне необратимых смещений вследствие разрыва межмолекулярных и межатомных связей, движения дислокаций и других явлений. В этом случае говорят о неупругом деформировании сплошной среды, различая пластическую деформацию и деформацию ползучести.
При неупругом деформировании различные материалы ведут себя по-разному. Их поведение зависит от структуры материала, условий его работы в конструкции и приложенной нагрузки. Изучение неупругих свойств материала начинают с проведения испытаний образцов при одноосном нагружении (как правило, растягивающей нагрузкой). Получаемые в результате испытаний диаграммы деформирования затем аппроксимируют различными зависимостями между напряжением и деформацией ". Эти зависимости при отсутствии явления ползучести и представляют собой математические модели (ММ) пластического деформирования материала при одноосном нагружении. Графическое представление некоторых таких ММ приведено на рис. 1.1.
Одним из основных параметров ММ идеальной упругопластической среды (рис. 1.1, а) является предел текучести т, равный напряжению при растяжении (или сжатии) образца, соответствующему началу пластического деформирования. До достижения этого предела (при | | < т) среда является линейноупругой с продольным модулем упругости E = т/"т, пропорциональным tg , а при | | = т материал образца деформируется без упрочнения. В случае разгрузки (уменьшения абсолютного значения напряжения ) и возможного последующего повторного
Простейшие модели пластического деформирования |
9 |
а |
б |
в |
г |
д |
е |
|
Рис. 1.1. |
|
нагружения при выполнении условия | | < т |
среда ведет себя |
|
как линейно-упругая с |
тем же значением модуля E, поэтому |
|
в соответствии с законом Гука упругая деформация "(e) = /E. При этом сохраняет свое абсолютное значение |"(1p)| = |"1| − "т накопленная перед разгрузкой пластическая деформация, называемая в этом случае остаточной.
Отличие ММ упругопластической среды с упрочнением от ММ идеальной упругопластической среды состоит в том, что пластическое деформирование происходит при возрастании нагрузки и выполнении условия | | > т. Среду называют упру-
гопластической с линейным упрочнением (рис. 1.1, б), |
если |
|||||||
при | | > т |
|
т |
|
| |
|
|E′ |
) |
|
( |
|
|
|
|
||||
" = |
" |
|
+ |
|
|
− т |
sgn , |
(1.1) |
|
|
|
|
|||||
где E′ = const — коэффициент упрочнения, пропорциональный tg ′; sgnx — функция знака числа x:
sgnx = −1 при x < 0, |
|
sgnx = 1 |
при x > 0, |
sgnx = 0 |
при x = 0. |
|
|
Если после достижения деформации "1, вызванной напряжением 1, происходит разгрузка, то среда ведет себя как линей-
10 Простейшие модели пластического деформирования
но-упругая с модулем E, но сохраняет остаточную деформацию "(1p) = "1 − 1/E. При последующем повторном нагружении в первоначальном направлении материал образца деформируется упруго до достижения напряжения 1, при котором началась разгрузка. Значение 1 можно рассматривать как значение нового предела текучести, превышающее первоначальное значение, т. е. материал получил упрочнение путем предварительного пластического деформирования. При | | > 1 и дальнейшем увеличении нагрузки снова вступает в силу линейная зависимость (1.1), поэтому упрочнение и называют линейным. Оно может быть как изотропным, т. е. не зависеть от направления повторного нагружения, так и анизотропным, связанным с проявлением эффекта Баушингера, который состоит в том, что если первоначальная нагрузка вызвала появление пластической деформации, то при изменении знака нагружения происходит снижение пределов пропорциональности, упругости и текучести материала. В последнем случае материал в результате пластического деформирования приобретает деформационную анизотропию.
Если после достижения предела текучести при возрастающей нагрузке зависимость напряжения от деформации становится нелинейной (рис. 1.1, в), т. е. материал обладает нелинейным упрочнением, то поведение такого материала описывает ММ
упругопластической среды с нелинейным упрочнением. В этом случае коэффициент упрочнения E′ = d /d" будет переменным, зависящим от текущего значения " (или ). Процессы разгрузки и повторного нагружения эта ММ описывает аналогично ММ
упругопластической среды с упрочнением.
Для общего случая ММ упругопластической среды
(рис. 1.1, г) характерно отсутствие четко выраженного предела текучести, т. е. пластическая деформация возникает при любом отличном от нуля значении . При нагружении зависимость между напряжением и деформацией нелинейна, поэтому и упрочнение материала нелинейное. Разгрузка для такой среды происходит по закону Гука с модулем продольной упругости E, пропорциональным tg ( — угол наклона касательной к диаграмме деформирования в начале координат). При повторном нагружении в первоначальном направлении пластическое де-
Простейшие модели пластического деформирования |
11 |
формирование продолжается после достижения напряжением значения 1, при котором началась разгрузка.
Если при пластическом деформировании |"1| "т, что характерно для некоторых технологических процессов обработки материалов, то можно пренебречь упругой деформацией и при отсутствии упрочнения материала использовать ММ идеальной жесткопластической среды (рис. 1.1, д ), а при наличии упрочнения — ММ жесткопластической среды с нелинейным (или линейным при d /d" = const) упрочнением (рис. 1.1, е). Для таких ММ "(p) = ", следовательно, процессы разгрузки и повторного нагружения на диаграммах деформирования соответствуют вертикальным отрезкам.
Вернемся к достаточно общей ММ упругопластической среды с нелинейным упрочнением (см. рис. 1.1, в) и предположим, что образец, нагруженный сначала до напряжения 1 (точка C на рис. 1.2), затем разгружен до напряжения (точка D).
Рис. 1.2.
При нагружении образца будет совершена работа, пропорциональная площади под диаграммой деформирования. На единицу
12 Простейшие модели пластического деформирования
объема образца эта работа составит
"1
A1 = ∫ |
d". |
0 |
|
Часть этой работы будет запасена в виде потенциальной энергии упругой деформации объемной плотностью
2
1 = 2E1 .
При полной разгрузке эта часть работы обратима, а остальная часть, равная разности A1 − 1 и называемая работой пластического деформирования, необратима. При разгрузке образца до напряжения потенциальная энергия упругой деформации уменьшится и ее объемная плотность составит
= ( )2 , 2E
а разность 1 − может быть использована для совершения работы во внешней по отношению к образцу системе.
Примем состояние образца в точке D (см. рис. 1.2) за исходное и проведем его нагружение до напряжения 1 +d (точка H), что приведет к приращению d"(p) > 0 пластической деформации "(1p), и разгрузку до напряжения (точка D1). При этом работа пластического деформирования будет пропорциональна сумме площадей параллелограмма DCC1D1 и криволинейного треугольника CHC1, причем
( 1 − )d"(p) > 0 и d d"(p) > 0. |
(1.2) |
Отсюда следует условие d /d"(p) > 0, которое можно рассматривать как критерий устойчивости пластического деформирования.
Пример 1.1. Пусть диаграмма (рис. 1.1, б) задана аналитически:
= |
2,2 |
× 105 |
", МПа; |
0 6 " 6 0,003; |
|
{5,9 |
× 103 |
" + 642,3, МПа; |
0,003 6 " 6 0,020; |
Простейшие модели пластического деформирования |
13 |
здесь "т = 0,003, т = 660 МПа, E = 2,2 × 105 МПа. Вычислим значения A1 и 1 для "1 = 0,020, 1 = 760,3 МПа. Имеем
"1 |
"т |
|
"1 |
|
A1 = ∫ |
d" = ∫ |
d" + ∫ |
d" = 13,06 МПа, |
|
0 |
0 |
|
"т |
|
|
1 = |
12 |
= 1,31 МПа. |
|
|
2E |
|||
|
|
|
|
|
#
Рассмотренные ММ являются в определенной степени идеализированными. В частности, при разгрузке и повторном нагружении реальных материалов их поведение отличается от линейно-упругого. Даже если приближенно считать это поведение линейно-упругим, то оно соответствует модулю упругости, значение которого, строго говоря, отличается от значения E. Однако при построении ММ пластического деформирования эти особенности обычно не учитывают и принимают, что пластическую и упругую деформации можно рассматривать независимо.
Вопросы и задачи
1.Что такое диаграмма деформирования, предел текучести материала, остаточная деформация?
2.Что такое упругая сплошная среда, линейно-упругая сплошная среда, упругопластическая среда, идеальная упругопластическая среда, изотропная среда, анизотропная среда?
3.Что такое упрочнение, линейное упрочнение, нелинейное упрочнение?
4.В чем отличие ММ упругопластической среды с упрочнением от ММ идеальной упругопластической среды?
5.Что такое деформационная анизотропия?
6.Что характеризует ММ жесткопластической среды с линейным и нелинейным упрочнением ?
7.Что называют работой пластического деформирования?