4. ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ

Среди задач механики деформируемого твердого тела, связанных с анализом напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из упругопластичного материала, встречаются такие, когда в процессе нагружения изменение всех компонент девиатора напряжений в окрестности каждой точки материала происходит в одном и том же отношении. Такое

нагружение называют пропорциональным. В этом случае вместо исследования непрерывного процесса изменения напряжений и деформаций можно использовать связывающие их конечные соотношения, учитывающие и температурное состояние материала. Эти соотношения вытекают из деформационной теории термопластичностии для изотропного материала могут быть получены из ассоциированного закона пластического течения (3.10).

Для случая одноосного активного нагружения при постоянной абсолютной температуре T диаграммы деформирования (см. рис. 1.1) дают однозначную зависимость между напряжением и деформацией ". По аналогии с законом Гука можно записать

" = /Eс(",T),

где Eс — секущий модуль. В отличие от продольного модуля упругости E(T), зависящего для данного материала только от температуры, секущий модуль зависит и от деформации. Так как

упругая деформация

"(e) = /E(T),

то для пластической деформации получим

При произвольном напряженном состоянии, характеризуемом компонентами ij (i, j = 1, 2, 3) тензора напряжений, основные

36 Деформационная теория термопластичности

положения деформационной теории термопластичности, базирующиеся на большом числе экспериментов, формулируют следующим образом:

– компоненты тензора полной деформации представляют собой сумму компонент тензоров упругой "(ije), пластической "(ijp)

причем обратимы только упругая и температурная деформации;

– изменение объема происходит только вследствие изменения упругой и температурной деформаций, поэтому объемная дефор-

мация

"V = "(kke) + "(kkT), k = 1, 2, 3,

kk = 3{("kk − "(kkT)),

где { — объемный модуль упругости, и, следовательно, "(kkp) = 0, а компоненты тензора пластической деформации совпадают

скомпонентами ее девиатора, т. е. "(ijp) = eij(p);

–компоненты eij девиатора деформации пропорциональны

компонентам sij девиатора напряжений,

— интенсивность напряжений. Для материала, обладающего свойством изотропии, компоненты девиатора температурной деформации равны нулю. Поэтому с учетом (4.3)

а интенсивность пластической деформации

где — коэффициент Пуассона. При одноосном растяжениии = , "(иp) = "(p) и, следовательно,

"и = "(p) + 2(1 + ) , 3E

или с учетом (4.1)

Таким образом, при фиксированном значении T зависимость

и = и("и,T),

определяющая обобщенную диаграмму деформирования, может быть найдена по диаграмме деформирования = (",T)

при одноосном растяжении, причем эта зависимость одинакова для любого напряженного состояния.

Из (4.4) следует, что параметр пластичности

38 Деформационная теория термопластичности

С учетом этого равенства и (4.3) получим

При использовании деформационной теории термопластичности не очевидно, что условия пропорционального нагружения всегда выполняются. В частности, пропорциональное изменение внешних силовых факторов не обязательно приводит к пропорциональному нагружению. При фиксированном значении T такое нагружение возможно при выполнении следующих достаточных условий (теорема Ильюшина):

–зависимость между интенсивностями деформаций и напряжений степенная;

–материал несжимаем.

Как правило, при решении конкретных задач эти условия не выполняются, однако накопленный к настоящему времени опыт анализа напряженно-деформированного состояния различных конструкций, особенно при однократном нагружении, показывает, что получаемые с использованием деформационной теории результаты дают приемлемое приближение к реальности. Необходимо отметить, что не все из приведенных на рис. 1.1 диаграмм деформирования можно использовать для решения задач с применением этой теории, поскольку зависимость от " должна быть взаимно однозначной, а модуль Юнга E должен иметь конечное значение. Поэтому диаграммы деформирования, представленные на рис. 1.1, а, д и е, в общем случае не позволяют применить эту теорию.

Пример 4.1. Предположим, что при нагреве образца, нагруженного постоянным растягивающим напряжением C , точка, изображающая его напряженно-деформированное состояние в координатах " = "п − "(T), , где "п и "(T) — полная и температурная деформации вдоль оси образца, перемещается по линии A′B′C′ (рис. 4.1), последовательно переходя на кривые

растяжения, соответствующие текущей температуре. Этот процесс сопровождается возрастанием пластической деформации "(p) и может быть описан в рамках деформационной теории, так как при конечной температуре T3 положение точки C′ на соответствующей кривой растяжения однозначно определено заданным значением C . Если затем охладить образец, поддерживая напряжение C постоянным, то накопленная пластическая деформация сохранит неизменное значение "(p), соответствующее температуре T3, а упругая деформация "(e) = C /E(T) будет уменьшаться в силу возрастания модуля упругости E(T) при охлаждении материала. Температурам T2 и T1 теперь будут соответствовать точки B и A, не лежащие на кривых растяжения материала при этих температурах, так что деформационная теория в данном случае неприменима.

Рис. 4.1.

В более общем случае одновременного изменения , ", и T положение изображающей точки также можно найти из условия необратимости накопленной пластической деформации, по крайней мере, пока напряжение в образце не изменит знак. Например, если заданы изменения температуры и деформации, то переход изображающей точки из исходного положения C′ при температуре T3 (см. рис. 4.1) в конечное положение при темпера-

40 Деформационная теория термопластичности

туре T4 > T3 можно условно разбить на отдельные этапы. Сначала из точки C′ проведем полную разгрузку с модулем упругости E(T3) и придем в точку C0, затем перейдем к температуре T4 и, наконец, продеформируем образец до заданного значения деформации. Если задано значение "′D, то придем в точку D′, причем

"(Dp′) = "C(p) и D′ = E(T4)("′D − "C(p)), так что снова деформационная теория оказывается неприменимой. Если же задано значение "′′D, то придем в точку D′′, лежащую на кривой растяжения материала при температуре T4, причем "(Dp′′) > "C(p) и можно использовать деформационную теорию. Подобным образом можно установить применимость деформационной теории и для других вариантов изменения температуры и деформации или температуры и напряжения. #

Рассмотренному варианту деформационной теории термопластичности соответствует вариационная форма математической модели (ММ), содержащая минимизируемый функционал, в котором

где ui — проекции вектора перемещений на оси Oxi; "(T) — температурная деформация; V — пространственная область, занятая телом. В двойственную вариационную форму ММ войдет максимизируемый функционал, в котором

где "( ) — функция, обратная функции (").

Наиболее характерным примером материалов, проявляющих при неизотермическом пластическом деформировании свойство анизотропии, являются композиты, нашедшие широкое применение в различных термонапряженных конструкциях. Особенности технологии изготовления композитов обусловливают высокую степень анизотропии их механических свойств, причем

в большинстве случаев можно говорить об ортотропии. Нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями у этих материалов особенно сильно проявляется при повышенных температурах.

Вопросы и задачи

1.Какое нагружение называют пропорциональным?

2.Что такое секущий модуль?

3.Как записывают соотношение, определяющее интенсивность пластической деформации?

4.Что такое обобщенная диаграмма деформирования?

5.Сформулируйте теорему Ильюшина.