Системы линейных алгебраических уравнений.

Метод обратной матрицы EXCEL

На рабочем листе СЛАУ ввести исходные данные. В блок А1:D4 матрицу коэфф. перед неизвестными. В блок F1:F4 – вектор коэфф. свободных членов

Реализация в Visual Basic

	обр.мат	Крамер	Гаусс	Пр.итер.	Г.-З.
х1	1,5294582	1,5294582	1,5294582	1,529491505	1,5294177
х2	-0,028177	-0,028177	-0,028177	-0,028558183	-0,028343
х3	0,9761103	0,9761103	0,9761103	0,976598092	0,9762629
х4	1,7577828	1,7577828	1,7577828	1,757363732	1,7576652
N				11	9

Чтобы решить систему и найти неизвестные, надо:

1. Выделить область "приемник" равный размеру исходной матрицы

2. Мастер ф. - Математическая - МОБР

3. В диалоговое окно ввести исходную матрицу - нажать ОК

4. Не снимая выделения, поставить курсор в строку формул и нажать три клавиши:CTRL+Shift+Enter

5. Для нахождения неизв. в таблице выделить область "приемник" равный размеру вектора свободных коэфф.

6. Мастер ф. - Матем. - МУМНОЖ

1 массив: обратная матрица

2 массив: вектор свободных коэфф-тов

7. Курсор в строку формул - нажатие трех клавиш.

А=							В=
-1	0,34	0,23	-0,06				-1,42
0,11	-1,23	-0,18	0,36				0,66
0,23	-0,12	-0,84	-0,35	=	0,518883		-1,08
0,12	0,12	-0,47	-0,82				-1,72

	А(обратная)=
	-1,0850704	-0,2631381	-0,2896836		0,08751677
	-0,0552282	-0,944613	0,54793044		-0,6445398
	-0,2886082	0,17937749	-1,7917167		0,86462588
	-0,0014512	-0,279558	1,06475178		-1,796606

Метод Крамера

Ниже исходной матрицы сделать ее копии ( по количеству уравнений в системе). В копиях заменить i-е столбцы на вектор св. коэфф. У исходной матрицы и новых матриц найти определители: Мастер функций - математич.- МОПРЕД. Затем в таблице рассчитать неизв. при помощи формулы x=∆i/∆

Дельта1=
-1,42	0,34	0,23	-0,06
0,66	-1,23	-0,18	0,36	=	0,79361
-1,08	-0,12	-0,84	-0,35
-1,72	0,12	-0,47	-0,82
Дельта2=
-1	-1,42	0,23	-0,06
0,11	0,66	-0,18	0,36	=	-0,01462
0,23	-1,08	-0,84	-0,35
0,12	-1,72	-0,47	-0,82
Дельта3=
-1	0,34	-1,42	-0,06
0,11	-1,23	0,66	0,36	=	0,506487
0,23	-0,12	-1,08	-0,35
0,12	0,12	-1,72	-0,82
Дельта4=
-1	0,34	0,23	-1,42
0,11	-1,23	-0,18	0,66	=	0,912084
0,23	-0,12	-0,84	-1,08
0,12	0,12	-0,47	-1,72

Метод простой итерации СЛАУ

Реализация в EXCEL.

1. Откроем свой пользовательский файл в табл. процессоре ЕХСЕL.

2. Для отделения корней получим таблицу значений аргумента и функции на интервале [-3;3].Для этого в ячейку А1 на Листе1 введем х=, в B1 введем f(x)=.

3. В ячейку А2 введем -3,далее выполним команды меню Правка - Заполнить - Прогрессия. В появившемся диалоговом окне Прогрессия укажем расположение по столбцам, тип - арифметический, шаг, равный 1, предельное значение равное 3.

x fn1 -3 #ЧИСЛО! -2 #ЧИСЛО! -1 -3 0 -0,522878745 1 1,698970004 2 3,84509804 3 5,954242509

РеализациявVisual Basiс

Sub iteration()

n = 0: E = 0.001

Dim a(1 To 4, 1 To 4) As Variant

I1 = 2

For i = 1 To 4

J1 = 2

For j = 1 To 4

a(i, j) = Worksheets("СЛАУ").Cells(I1, J1).Value

J1 = J1 + 1

Next j

I1 = I1 + 1

Next i

Dim b(1 To 4) As Variant

I1 = 2

For i = 1 To 4

b(i) = Worksheets("СЛАУ").Cells(I1, 9).Value

I1 = I1 + 1

Next i

x10 = 0

x20 = 0

x30 = 0

x40 = 0

Do

x1 = (b(1) - a(1, 2) * x20 - a(1, 3) * x30 - a(1, 4) * x40) / a(1, 1)

x2 = (b(2) - a(2, 1) * x10 - a(2, 3) * x30 - a(2, 4) * x40) / a(2, 2)

x3 = (b(3) - a(3, 1) * x10 - a(3, 2) * x20 - a(3, 4) * x40) / a(3, 3)

x4 = (b(4) - a(4, 1) * x10 - a(4, 2) * x20 - a(4, 3) * x30) / a(4, 4)

c = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20) + Abs(x3 - x30) + Abs(x4 - x40)

x10 = x1

x20 = x2

x30 = x3

x40 = x4

n = n + 1

Loop While c > E

Worksheets("СЛАУ").Range("P9").Value = x1

Worksheets("СЛАУ").Range("P10").Value = x2

Worksheets("СЛАУ").Range("P11").Value = x3

Worksheets("СЛАУ").Range("P12").Value = x4

Worksheets("СЛАУ").Range("P13").Value = n

End Sub

Метод Гаусса

Обозначим n - кол-во уравнений;

Массивы : а(n,n) - коэфф. системы ; b(n) - свободные члены ( правая часть уравнений ) ; х(n) - решение системы .

Sub Gauss()

Dim n As Integer

Dim a(1 To 4, 1 To 4) As Variant

Dim b(1 To 4) As Variant

Dim x(1 To 4) As Variant

n = Val(InputBox("Введите число уравнений", "Исходные данные"))

For i = 1 To n

For j = 1 To n

a(i, j) = Worksheets("СЛАУ").Cells(i, j).Value

Next j

Next i

For i = 1 To n

b(i) = Worksheets("СЛАУ").Cells(i, 8).Value

Next i

For k = 1 To n - 1

For i = k + 1 To n

c = a(i, k) / a(k, k)

For j = k + 1 To n

a(i, j) = a(i, j) - c * a(k, j)

Next j

b(i) = b(i) - c * b(k)

Next i

Next k

x(n) = b(n) / a(n, n)

For i = n - 1 To 1 Step -1

S = 0

For j = i + 1 To n

S = S + a(i, j) * x(j)

Next j

x(i) = (b(i) - S) / a(i, i)

Next i

For i = 1 To n

Worksheets("СЛАУ").Cells(7 + i, 14).Value = x(i)

Next i

End Sub

Проверка:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (0.11). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-2.090909090909). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (-0.521739130434). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (2.048302574618). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (0.023407651013). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-0.054569237609). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₄= -1.136176133428/(-0.64)

x₃= [-1.214104560623 - ( - 0.66x₄)]/(-0.0426)

x₂= [-1.156521739132 - ( - 0.0317x₃- 0.64x₄)]/(-0.0574)

x₁= [-1.72 - ( - 0.12x₂- 0.47x₃- 0.82x₄)]/0.12

Из 1-ой строки выражаем x₄

Из 2-ой строки выражаем x₃

Из 3-ой строки выражаем x₂

Из 4-ой строки выражаем x₁

Метод Гаусса-Зейделя

n - Количество уравнений; Е - точность; a (n,n)- массив коэфф. . b(n) - массив свободных членов; x(n) - массив решение.

Рассмотрим погрешности. Погрешность метода Е задается. Погрешность вычислений не накапливается, так как в формулах присутствуют величины из исходных уравнений . Недостатком метода по сравнению с прямыми методами является наличие итераций . Иногда количество итераций может быть значительным , поэтому требуется больше времени для решения итерационными методами .

Часто поступает следующим образом . Производят решение методом Гаусса. Если полученная точность не удовлетворяет , то применяют метод Г-З , где за начальное приближение принимают решение , полученное методом Гаусса. Это может значительно уменьшить время вычислений.

Sub g_z()

n = 0: E = 0.001

Dim a(1 To 4, 1 To 4) As Variant

I1 = 2

For i = 1 To 4

J1 = 2

For j = 1 To 4

a(i, j) = Worksheets("СЛАУ").Cells(I1, J1).Value

J1 = J1 + 1

Next j

I1 = I1 + 1

Next i

Dim b(1 To 4) As Variant

I1 = 2

For i = 1 To 4

b(i) = Worksheets("СЛАУ").Cells(I1, 9).Value

I1 = I1 + 1

Next i

x10 = 0

x20 = 0

x30 = 0

x40 = 0

Do

x1 = (b(1) - a(1, 2) * x20 - a(1, 3) * x30 - a(1, 4) * x40) / a(1, 1)

x2 = (b(2) - a(2, 1) * x1 - a(2, 3) * x30 - a(2, 4) * x40) / a(2, 2)

x3 = (b(3) - a(3, 1) * x1 - a(3, 2) * x2 - a(3, 4) * x40) / a(3, 3)

x4 = (b(4) - a(4, 1) * x1 - a(4, 2) * x2 - a(4, 3) * x3) / a(4, 4)

c = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20) + Abs(x3 - x30) + Abs(x4 - x40)

x10 = x1

x20 = x2

x30 = x3

x40 = x4

n = n + 1

Loop While c > E

Worksheets("СЛАУ").Range("Q9").Value = x1

Worksheets("СЛАУ").Range("Q10").Value = x2

Worksheets("СЛАУ").Range("Q11").Value = x3

Worksheets("СЛАУ").Range("Q12").Value = x4

Worksheets("СЛАУ").Range("Q13").Value = n

End Sub