Метод последовательного оценивания с использованием квадра­тичной аппроксимации

Этот метод, разработанный Пауэллом [4], основан на последова­тельном применении процедуры оценивания с использованием квад­ратичной аппроксимации. Схему алгоритма можно описать следую­щим образом. Пусть х₁— начальная точка, Δx — выбранная вели­чина шага по оси х.

Шаг 1. Вычислить х₂=х₁+ Δх.

Ш а г 2. Вычислить f(x_l) и f(х₂).

Ш а г 3. Если f(x₁)>f(x₂), положить x₃=x₁+2Δх. Если f(x₁)≤f(х₂), положить х₃ =x₁—х.

Ш а г 4. Вычислить f (x₃) и найти

Ш а г 5. По трем точкам x₁, x₂, x₃ вычислить х, используя фор­мулу для оценивания с помощью квадратичной аппроксимации.

Шаг 6. Проверка на окончание поиска.

(а) Является ли разность F_мин — f(x) достаточно малой?

(б) Является ли разность Х_мин —х достаточно малой?

Если оба условия выполняются, закончить поиск. В противном, случае перейти к шагу 7.

Ш а г 7. Выбрать «наилучшую» точку (x_мин или х) и две точки по обе стороны от нее. Обозначить эти точки в естественном порядке и перейти к шагу 4.

Заметим, что при первой реализации шага 5 границы интервала содержащего точку минимума, не обязательно оказываются установленными. При этом полученная точка х может находиться за точкой х₃. Для того чтобы исключить возможность слишком боль того экстраполяционного перемещения, следует провести после шага 5 дополнительную проверку и в случае, когда точка х находится слишком далеко от х₃, заменить х точкой, координата которой вы­числяется с учетом заранее установленной длины шага.

Пример 2.9. Метод Пауэлла

Рассмотрим задачу из примера 2.8:

минимизировать f (х) = 2x² + (16/х).

Пусть начальная точка x₁=l и длина шага х=1. Для проверки на окончание поиска используются следующие параметры сходимости

Следовательно, продолжаем поиск.

Ш а г 7. Выбираем х как «наилучшую» точку, a x₁=1 и ₂=2 — как точки, которые ее окружают. Обозначаем эти точки в естествен­ном порядке и переходим к итерации 2, которая начинается с шага 4.

Итерация2

Шаг 4. x₁ = 1, f₁=18, x₂=1,714, f₂=15,210=F_мин Х_мин=х₂ х₃=2, f₃=16

Шаг 7. Выбираем х как «наилучшую» точку, а х₁=1 и х₂ = 1,714 — как точки, которые ее окружают.

Итерация 3

Шаг 4. x₁ = 1, f₁=18, x₂=1,65 f₂=15,142=F_мин Х_мин=х₂ х₃=1,714, f₃=15,210.

Шаг 5.

0. Методы с использованием производных

Все рассмотренные в предыдущих разделах методы поиска осно­вываются на предположениях об унимодальности и в ряде случаев о непрерывности исследуемой целевой функции. Целесообразно предположить, что если в дополнение к условию непрерывности ввести требование дифференцируемости функции, то эффективность поисковых процедур можно существенно повысить. Напомним, что в разд. 2.2 установлено необходимое условие существования ло­кального минимума функции в некоторой точке z, согласно которому первая производная функции в точке z должна обращаться в нуль, т. е. f '(z)=df/dx|_x=2=0.

Если функция f(x) содержит члены, включающие х в третьей и более высоких степенях, то непосредственное получение аналитиче­ского решения уравнения f'(x)=0 может оказаться затруднитель­ным. В таких случаях используются приближенные методы последо­вательного поиска стационарной точки функции f. Прежде всего опишем классическую поисковую схему, ориентированную на на­хождение корня нелинейного уравнения. Эта схема была разрабо­тана Ньютоном и позднее уточнена Рафсоном [5].