Задания по вычислительной математике для заочников

Задания оформляются в отдельной тетради, на обложке которой кроме фамилии и номера группы должны быть указаны следующие данные:

 = ,  = ,  = ,  = ,  = ,  = .

Здесь  - номер института,  – год поступления,  и  – две последние цифры номера группы,  и  – две цифры номера студента по списку.

Так, у пятого студента группы 729111   7  = 9,  = 1,  = 1,  = 0,  = 5.

В тетради должно быть записано условие задания и его подробное решение. Если в зада­нии предполагается использовать интегрированные среды (Eureka, Scilab), то в тетради необходимо записать содержимое окон соответствующей среды (Edit, Solution – для Eureka и Editor, Scilab Command Window – для Scilab). Тексты программ на алгоритмическом языке (Pascal, Scilab) вместе с результатом решения задач в интегрированной среде (Turbo Pascal, Scilab) также следует записать в тетрадь.

Задание 1

Методом деления отрезка пополам и методом касательных (Ньютона) уточнить корень уравнения с погрешностью  = 0.1

1. 0.25(      x³ – 2x² + 2.3x – N_ст = 0

Это же уравнение решить с помощью интегрированных сред Eureka и Scilab.

Пример выполнения задания 1: (вариант а, номер студента N_ст = 55),

уравнение, которое нужно решить: 65 – ln x – x = 0

Решение уравнения приближенными методами состоит из двух этапов. Первый этап – отде­ле­ние корня. Отделить корень уравнения f(x) = 0 – значит найти такой отрезок a b на котором содержится только один корень уравнения. Отделить корень можно графически и аналитиче­ски. Чтобы отделить корень аналитически, достаточно найти такой отрезок a b на котором выполняются три условия:

1) f(a)f(b)<0,

2) f(x) – непрерывная на отрезке a b функция,

3) f(x) – монотонная на отрезке a b функция.

Эти условия – достаточные для того, чтобы на отрезке a b был отделен корень уравнения f(x) = 0.

Чтобы найти отрезок a b, на котором выполняется первое из условий, можно протабулиро­вать функцию f(x) = 65 – ln x – x c некоторым шагом h до тех пор, пока функция не сменит знак. Это можно сделать с помощью ИС Eureka (Scilab).

Чтобы протабулировать функцию с помощью ИС Eureka, надо подать команду Graph Function, ввести с клавиатуры функцию f(x) = 65 – ln(x) – x, подать команду List, указать первое значение аргумента (First point), например, 40, шаг (приращение аргумента) (Increment), например, 1 и количество значений аргумента (Number of value), например, 30. В результате откроется окно с таблицей значений функции в указанном интервале. Это окно можно «распахнуть» на весь экран клавишей F5. Из приведенного листинга функции видно, что смена знака происходит на отрезке 60 61:

f(60) = 65 – ln 60 – 60  0.906, f(61) = 65 – ln 61 – 61  – 0.111.

f(x) = 65 – ln x – x – непрерывная функция для любых x > 0, в том числе она непрерывна и на от­резке 60 61.

Чтобы проверить монотонность функции f(x) = 65 – ln x – x на этом отрезке, найдем ее произ­водную f(x) = – 1/x – 1. Очевидно, что для любого x > 0 y < 0, следовательно, функция f(x) = 65 – ln x – x монотонно убывает на отрезке 60 61. Вывод: поскольку на отрезке 60 61 выполняются условия 1 – 3, корень на нем отделен.

Второй этап решения – это уточнения корня уравнения заданным методом (в нашем случае – методом деления отрезка пополам и методом касательных) с заданной погрешностью (в нашем случае  = 0.1). Рассмотрим сначала метод деления отрезка пополам.

Согласно этому методу отрезок, на котором отделен корень уравнения, делят пополам и выбирают для дальнейших вычислений ту половину, на концах которой функция принимает значения разных знаков.

Составим следующую таблицу:

№ итерации	a		b	f(a)	f(x)	f(b)
1	60	60.5	61	0.91	0.40	–0.11	0.5
2	60.5	60.75	61	0.40	0.14	–0.11	0.25
3	60.75	60.88	61	0.14	0.01	–0.11	0.13
4	60.88	60.94	61				0.06

Все расчеты в таблице приведены с двумя знаками после запятой.

Пояснения к таблице.

В первой строке таблицы a = 60, b = 61 – исходный (начальный) отрезок, – его середина, f(a), f(b), f(x) – значения нашей функции f(x) = 65 – ln x -- x в указанных точках. Если в качестве корня взять значение x = 60.5, то погрешность, с которой мы его уточнили, равна ₁ = 0.5, то есть ко­рень уравнения  = 60.50.5. Поскольку ₁ > = 0.1, делаем вторую итерацию. Следующий отрезок, который мы будем делить пополам, – это либо a, x, либо x, b. В нашем случае это отрезок x, b, так как f(x)f(b)<0, тогда как f(a)f(x)>0. И т.д.

После четвертой итерации погрешность ₁ = 0.06 < , поэтому можно сделать вывод о том, что корень уравнения 65 – ln x – x = 0 равен  = 60.940.06.

Ответ:  = 60.94  0.06

Рассмотрим теперь метод касательных. При его использовании для уточнения корня уравнения приближенное значение корня на каждой итерации вычисляют по формуле Ньютона

В качестве начального приближения выбирают тот конец отрезка [a, b], в котором выполняется условие

.

В нашем случае , и, следовательно, , но (см. выше) f(a)>0, f(b)<0, следовательно, =a. Тогда, полагая в формуле Ньютона n=1, получим

Для оценки погрешности полученного значения корня можно воспользоваться формулой

Получим Продолжая вычисления по формуле Ньютона при n=2, на второй итерации будем иметь

Так как то вычисления прекращаем. Задание выполнено.

Ответ:  = 60.8909  0.0001

Чтобы решить уравнение 65 – ln x – x = 0 на отрезке [60, 61] в ИС Eureka, достаточно в окне Edit набрать следующие строки:

65 – ln(x) – x = 0

60<= x <=61

после чего с помощью клавиши Esc войти в основное меню и выполнить команду Solve. В окне Solution появится ответ:

x = 60.890916

Maximum error is 4.4764192e-13

Последняя строка означает, что если подставить полученное значение x в уравнение, то полу­чится число, отличающееся от нуля по модулю на 4.476419210^-13.

Ответ:  = 60.890916

Напоминаем, что содержимое окон Edit и Solution во всех заданиях нужно переписывать в тетрадь.

Покажем, как выполнить задание 1 с помощью интегрированной среды Scilab (основные принципы работы с Scilab изложены на с.23 – 38; на с.39 приведен краткий перечень некоторых математических функций Scilab, используемых при выполнении заданий).

Для решения уравнений, в том числе трансцендентных, в Scilab применяют функцию fsolve(x0,f), где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения f(x)=0.

Для нахождения отрезка [a, b], на котором отделен корень данного уравнения, построим график функции y=65-lnx-x.

Откроем окно редактора системы Scilab SciPad командой scipad();(или выполнив пункт меню Editor, или нажав пиктограмму с изображением чистого листа) и наберем в нем следующие строки:

^clc

^xbasc()

^{function y=f(x)}

^{// определение функции, входящей в уравнение}

^{y= 65-log(x)-x;}

^endfunction

^{x=50:0.1:70; plot(x, f(x)); xgrid()}

После запуска программы (Execute/Load into Scilab) откроется графическое окно системы (Scilab Graphic(0)) с графиком функции y=65 – ln x – x на отрезке [50, 70], из которого видно, что корень нашего уравнения лежит на отрезке [60, 70]. Для уточнения значения корня наберем в командном окне системы Scilab строку

-->x0=60;x1= fsolve(x0,f)

и нажмем Enter. В итоге в командном окне появится искомый результат

x1 =

60.890916

Ответ:  = 60.8909

Содержимое окна редактора и командного окна системы Scilab необходимо переписать в тетрадь.