Задание 2

Методом наименьших квадратов (МНК) получить формулу аппроксимирующей параболы для следующей таблицы:

а)

x		+2	+4	+6	+8
y	2.5	4.9	8	12.1	16.9

Это же задание выполнить с использованием ИС Eureka и Scilab.

Пример выполнения задания 2: (вариант b, номер студента N_ст=50,  

x	5	7	9	11	13
y=f(x)	2.5	4.9	8	12.1	16.9

Аппроксимация – это замена одной функции у = f(x) (в нашем случае – приведенной выше табличной функции) другой функцией (в нашем случае – полиномом второй сте­пени ). В методе наименьших квадратов коэффициенты с₀, с₁ и с₂ подбирают так, чтобы величина

принимала минимальное значение. Здесь n – номер последнего узла таблицы. Нумерация ве­дется с нуля, то есть для нашей таблицы x₀=5, x₁=7, …, x₄=13, n=4.

Эта задача сводится к решению системы нормальных уравнений для определения неизвестных коэффициентов. В нашем случае три неизвестных коэффициента, надо решить систему из трех линейных урав­нений:

Составим вспомогательную таблицу:

i	xi	yi
0	5	2.5	25	125	625	12.5	62.5
1	7	4.9	49	343	2401	34.3	240.1
2	9	8	81	729	6561	72	648
3	11	12.1	121	1331	14641	133.1	1464.1
4	13	16.9	169	2197	28561	219.7	2856.1
	45	44.4	445	4725	52789	471.6	5270.8

Таким образом, для наших исходных данных имеем систему

44.4 = 5c₀ + 45c₁ + 445c₂

471.6 = 45c₀ + 445c₁+ 4725c₂

5270.8 = 445c₀ + 4725c₁ + 52789c₂,

решая которую (например, методом Гаусса), получаем:

с₀ = 0.24071429, с₁= – 0.064285714, с₂ = 0.10357143.

Следовательно, нашу таблично заданную функцию мы заменили параболой y = 0.241 – 0.064x + 0.104x².

Последний этап решения: наносим исходные данные на координатную плоскость и на этой же плоскости строим полученную параболу.

Ответ: y = 0.241 – 0.064x + 0.104x²

Чтобы решить задачу с помощью ИС Eureka, в окне Edit надо набрать:

y(x) := c0 + c1*x + c2*x^{^}2

y(5) = 2.5

y(7) = 4.9

y(9) = 8

y(11) = 12.1

y(13) = 16.9

$ substlevel = 0

После выполнения команды Solve в окне Solution получим решение:

с0 = 0.241

c1 = – 0.064

c2 = 0.104

Maximum error is 0.0511428571

Ответ: y = 0.241 – 0.064x + 0.104x²

Примечание: Если в каком-либо окне видны не все данные, то это окно можно распахнуть на весь экран, нажав клавишу F5.

Чтобы решить данную задачу с помощью ИС Scilab, можно в окне редактора системы набрать следующую программу:

xbasc()

clc

//Функция, вычисляющая разность между экспериментальными

//и теоретическими значениями,

//перед использованием необходимо определить

//z=[x;y] - матрицу исходных данных и

//с - вектор начальных значений коэффициентов,

//размерность вектора должна совпадать

//с количеством искомых коэффициентов

function y=G(c,z)

y=z(2)-c(1)-c(2)*z(1)-c(3)*z(1)^2

endfunction

//Исходные данные

x=[5 7 9 11 13];

y=[2.5 4.9 8 12.1 16.9];

//Формирование матрицы исходных данных

z=[x;y];//та же буква, что и в функции y=G(c,z)

//Вектор начальных приближений

c=[0;0;0];//нулей столько, сколько искомых коэффициентов. Это нач. приближение

//Решение задачи

[a,err]=datafit(G,z,c)

//Построение графика экспериментальных данных

plot2d(x,y,-4);

//Построение графика подобранной функции на отрезке [4 , 14]

t=4:0.01:14;

Ptc=a(1)+a(2)*t+a(3)*t^2;

plot2d(t,Ptc);

После запуска программы (Execute/Load into Scilab) в командном окне получим:

err =

0.0051429

a =

0.2406191

- 0.0642614

0.1035701

Здесь err - сумма площадей квадратов отклонений, а – вектор искомых коэффициентов с₀, с₁ и с₂ .

Ответ: y = 0.1036x² – 0.0643x + 0.2407

Очевидно, что коэффициенты с₀, с₁ и с₂, полученные в результате решения непосредственно системы уравне­ний и с помощью ИС Eureka и Scilab, должны совпадать (с учетом погрешностей округления, которые мы делали, решая систему вручную).