2.3. Методы исключения интервалов

В разд. 2.2 рассматривался вопрос анализа «в статике», который заключается в том, чтобы определить, является ли данное решение оптимальным. Для этого были построены необходимые и достаточ­ные условия оптимальности решения. Далее мы переходим к изу­чению вопроса анализа «в динамике», связанного с нахождением оп­тимального решения. С этой целью ниже рассматривается ряд одно­мерных методов поиска, ориентированных на нахождение точки оптимума внутри заданного интервала. Методы поиска, которые позволяют определить оптимум функции одной переменной путем последовательного исключения подынтервалов и, следовательно, путем уменьшения интервала поиска, носят название методов исключения интервалов.

В разд. 2.1 было дано определение унимодальной функции. Уни­модальность функций является исключительно важным свойством. Фактически все одномерные методы поиска, используемые на прак­тике, основаны на предположении, что исследуемая функция в до­пустимой области по крайней мере обладает свойством унимодаль­ности. Полезность этого свойства определяется тем фактом, что для унимодальной функции f(x) сравнение значений f(x) в двух различ­ных точках интервала поиска позволяет определить, в каком из заданных двумя указанными точками подынтервалов точка опти­мума отсутствует.

Теорема 2.3

Пусть функция f унимодальна на замкнутом интервале а ≤ x ≤ b, а ее минимум достигается в точке х*. Рассмотрим точки x₁ и х₂,. расположенные в интервале таким образом, что а<x₁<x₂<b. Сравнивая значения функции в точках x₁ и х₂, можно сделать сле­дующие выводы.

1. Если f(x₁)>f(x₂), то точка минимума f(x) не лежит в интерва­ле (а, х₁), т. е. х*  (х₁, b) (рис. 2.10).

2. Если f(x₁)<f(x₂), то точка минимума не лежит в интервале: (х₂, b), т. е. х* (a, x₂ ) (см. рис. 2.10).

Доказательство

Рассмотрим случай, когда f(x₁)>f(x₂). Пусть утверждение тео­ремы неверно, т. е. a≤ х*≤ х₁. Поскольку х*— точка минимума, то по определению f(х*)≤f (х) для всех х  (a, b). Получаем двойное неравенство

f(x*)≤f(x₁)>f(x₂) при x*<x₁<x₂.

Это неравенство не может выполняться, так как унимодальная функ­ция f (x) должна быть монотонной по обе стороны от точки х*. Таким образом, получено противоречие, доказывающее утверждение тео­ремы. Аналогичные рассуждения справедливы также в случае, когда f(x_l)<f(x₂).

Примечание. Если f(x_l)=f(x₂), то можно исключить оба крайних интервала (а, х₁) и (х₂, b); при этом точка минимума должна распо­лагаться в интервале (x_l , x₂).

Согласно теореме 2.3, которую иногда называют правилом ис­ключения интервалов, можно реализовать процедуру поиска, позво­ляющую найти точку оптимума путем последовательного исключе­ния частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров. Заметим, что правило исключения интервалов устраняет необходимость полного перебора всех допустимых точек. Несом­ненным достоинством поисковых методов такого рода является то, что они основаны лишь на вычислении значений функций. При этом не требуется, чтобы исследуемые функции были дифференцируемы; более того, допустимы случаи, когда функцию нельзя даже записать в аналитическом виде. Единственным требованием является воз­можность определения значений функции f(х) в заданных точках х с помощью прямых расчетов или имитационных экспериментов. Вообще в процессе применения рассматриваемых методов поиска можно выделить два этапа:

этап установления границ интервала, на котором реализуется процедура поиска границ достаточно широкого интервала, содер­жащего точку оптимума;

этап уменьшения интервала, на котором реализуется конечная последовательность преобразований исходного интервала с тем, чтобы уменьшить его длину до заранее установленной величины,