Определение

Функция f(х) является унимодальной на отрезке а≤х≤b в том и только том случае, если она монотонна по обе стороны от единственной на рассматриваемом интервале оптимальной точки х*. Другими словами, если х*— единственная точка минимума f(x) на отрезке а≤х≤b, то f(х) оказывается унимодальной на данном интервале тогда и только тогда, когда для точек х₁ и х₂

из x*≤x₁≤x₂ следует, что f(x*)≤f(x₁)≤f(x₂),

и

из x*≥x₁≥x₂ следует, что f(x*)≤f(x₁)≤f(x₂).

Как показано на рис. 2.6, унимодальная функция не обязательно должна быть непрерывной. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях. Вопросы, связанные с этим свойством функций, рассматриваются в разд. 2.3.

2.2. Критерии оптимальности

При анализе оптимизационных задач, как правило, возникают два общих вопроса.

1. Вопрос анализа «в статике». Как определить, представляет ли данная точка х* оптимальное решение задачи?

2. Вопрос анализа «в динамике». Если х* не является точкой оптимума, то какая последовательность действий приводит к получению оптимального решения?

В этом разделе основное внимание уделяется решению вопроса анализа «в статике», а именно построению множества критериев оптимальности, позволяющих определить, является ли данное ре­шение оптимальным.

Определения

Функция f(x), определенная на множестве S, достигает своего глобального минимума в точке х**  S том и только том случае, если

Функция f(x), определенная на множестве S, имеет локальный ми­нимум (относительный минимум) в точке x*  S в том и только том случае, если

т.е если существует  > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х-х* <, выполняется неравенство f(x*) ≤ f(x)

Замечания

1. Аналогичные определения глобального максимума и локаль­ного максимума можно получить путем замены знака неравенства на противоположный.

2. Если функция обладает свойством унимодальности, то ло­кальный минимум автоматически является глобальным минимумом.

3. Если функция не является унимодальной, то возможно нали­чие нескольких локальных оптимумов; при этом глобальный мини­мум можно определить путем нахождения всех локальных оптиму­мов и выбора наименьшего из них.

На рис. 2.7 точка х₁ — точка глобального максимума, х₂ — точка локального минимума, х₃ — точка локального максимума, х₄ — точка глобального минимума, а х₅ можно рассматривать и как точку локального минимума, и как точку локального максимума.

Идентификация оптимумов в случае фун­кции одной переменной. Предположим, что функция f(x) одной переменной х определена на открытом интервале (a, b) и n-кратно дифференцируема на этом интервале. Если х*— внут­ренняя точка интервала, то теорема Тейлора позволяет записать изменение функции f при переходе от точки х* к точке (х*+) в следующем виде:

где через О_n+1() обозначена сумма членов, в которых степень  равна (n+1) и выше. Если х*— локальный минимум функции f на (а, b), то по определению должна существовать -окрестность точки х*, такая, что для всех х из этой окрестности выполняется нера­венство

f(x)  f(x*) (2.2)

Из неравенства (2.2) следует, что

При достаточно малом  первое слагаемое доминирует над осталь­ными, а так как  можно выбрать и положительным, и отрицатель­ным, то неравенство (2.3) будет выполняться только в том случае, если:

(2.4)

Рассуждая аналогичным образом, нетрудно установить, что нера­венство (2.3) будет справедливым только тогда, когда

(2.5)

Эта же схема анализа применима и в случае локального максимума, с той лишь разницей, что знак неравенства (2.2) требуется заменить на противоположный. Мы получили следующий общий результат, который можно сформулировать в виде теоремы.