0. Заключение

В этой главе были представлены необходимые и достаточные условия оптимальности решения задач безусловной оптимизации с целевыми функциями одной переменной. Показано, что необходи­мое условие наличия оптимума в данной точке заключается в том, что данная точка должна быть стационарной, т. е. первая производ­ная функции должна обращаться в нуль в этой точке. Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка минимуму, мак­симуму или является точкой перегиба, используются производные второго и более высоких порядков. Затем были рассмотрены вопро­сы, связанные с получением оптимальных решений на основе мето­дов поиска, которые носят название методов исключения интервалов и ориентированы на нахождение точки оптимума в заданном интер­вале. Показано, что алгоритм поиска по методу золотого сечения, вообще говоря, является наиболее предпочтительным вследствие высокой вычислительной эффективности и простоты реализации. Методы исключения интервалов основаны на процедуре простого сравнения значений функции в двух пробных точках; при таком сравнении используется только отношение порядка на множестве значений функции. Для того чтобы учесть величину разности между значениями функции, разработан ряд так называемых методов то­чечного оценивания, позволяющих определить точку оптимума с помощью квадратичной или кубичной аппроксимации целевой функции. В условиях, когда выполняется предположение о том, что интервалы сходимости сравнимы между собой, а исследуемая функ­ция является достаточно гладкой и унимодальной, методы точечного оценивания сходятся значительно быстрее, чем методы исключения интервалов. Однако при исследовании мультимодальных или быстро изменяющихся функций наиболее надежным оказывается метод зо­лотого сечения. В заключение сформулированы рекомендации, в со­ответствии с которыми методы поиска с использованием квадратич­ной аппроксимации типа метода Пауэлла, вообще говоря, следует применять совместно с методом золотого сечения, переход к алго­ритму которого реализуется в тех случаях, когда выполнение соот­ветствующих итерационных циклов на ЭВМ сопряжено с определен­ными трудностями.

Контрольные вопросы и задачи

2.1. Что такое точка перегиба, и как ее идентифицировать?

2.2. Как проверить, является ли функция выпуклой или вогнутой?

2.3. В чем состоит свойство унимодальности функций и в чем заключается важное значение этого свойства при решении задач оптимизации с одной переменной?

2.4 Пусть данная точка удовлетворяет достаточным условиям существования локального минимума. Как установить, яв­ляется ли этот минимум глобальным?

2.5. Сформулируйте условие, при выполнении которого метод поиска, основанный на полиномиальной интерполяции, может не привести к получению правильного решения.

2.6. Являются ли методы исключения интервалов в целом более эффективными, чем методы точечного оценивания? Почему?

2.7. При реализации поисковых методов рекомендуется прини­мать решение об окончании поиска на основе проверок как величины разности значений переменной, так и величины разности значений функции. Возможна ли ситуация, когда результат одной из проверок указывает на сходимость к точке минимума, тогда как полученная точка в действительности минимуму не соответствует? Поясните ответ рисунком.

2.8. Заданы следующие функции одной переменной:

(а) f(x)=x⁵+x⁴—(x /3)+2,

(б) f(х)=(2х + 1²(x-4).

Для каждой из заданных функций найдите

(1) интервал(ы) возрастания, убывания;

(2) точки перегиба (если таковые имеются);

(3) интервал(ы), в котором (в которых) функция вогнута, выпукла;

(4) локальные и глобальный максимумы (если таковые име­ются);

(5) локальные и глобальный минимумы (если таковые име­ются).

2.9. Паром, который должен курсировать через канал, конструи­руется с таким расчетом, чтобы с его помощью можно было перевозить заданное количество груза в тоннах (L) в течение дня (рис. 2.17). Пусть стоимость парома без двигателей прямо

пропорциональна грузоподъемности парома (l), а стоимость двигателей прямо пропорциодальна произведению грузоподъ­емности на скорость движения парома () в кубе. Покажите, что полная стоимость парома минимальна в том случае, когда стоимость парома без двигателей в два раза превышает стои­мость двигателей. (Временем погрузки и разгрузки можно пренебречь, т. е. считается, что паром курсирует без остано­вок.)

2.10. Лесной пожар распространяется в узкой долине шириной 2 мили со скоростью 32 фут/мин (рис. 2.18). Содержать на­ступление огня можно путем построения заградительной противопожарной перегородки, пересекающей лес по всей ширине долины. Один рабочий может построить 2 фута пере­городки в минуту. Затраты на транспортировку каждого ра­бочего к месту событий и обратно составляют 20 долл.; оплата труда каждого рабочего составляет 6 долл. в час. Стоимость квадратной мили леса равна 2000 долл. Сколько рабочих

следует послать на борьбу с огнем, чтобы полные издержки были минимальны?

2.11. Рассмотрите задачу безусловной оптимизации с целевой функ­цией одной переменной f(x). Пользуясь приведенными в таб­лице данными о значениях производных порядка 1, 2, 3, 4 в точках x_i (i=1, 2, . . . , 10), идентифицируйте каждую из точек (установите, оказывается ли она точкой максимума, минимума, перегиба или не является точкой оптимума; ука­жите случаи, когда нельзя сделать определенный вывод и т. д.).

xi	f ‘(xi )	f ''(xi )	f ‘’’(xi)	f ”” (xi )
x1	0	+	Нет данных	Нет данных
x2	0	0	+	Нет данных
x3	0	-	Нет данных	Нет данных
x4	-	-	Нет данных	Нет данных
x5	-	0	-	Нет данных
x6	-	0	0	-
x7	-	0	0	0
x8	-	0	0	+
x9	+	+	Нет данных	Нет данных
x10	0	-	+	-

2.13. Исследуйте функцию

f(x)=x³—12х+3 в интервале —4≤ x≤4

Найдите локальные минимумы, локальные максимумы, гло­бальный минимум и глобальный максимум f в заданном интер­вале.

2.14. Установите области, в которых следующая функция выпукла

или вогнута:

f (x) = e^-x2

Найдите глобальный максимум и глобальный минимум этой функции.

2.15. Рассмотрите модель одного цикла управления запасами скоро­портящихся товаров, в которой спрос описывается случайной величиной с плотностью вероят­ности f, т.е. P (величина спроса ≤x) = ^x₀ f(x) dx; отсутствие запасов влечет за собой экономические потери;

С — стоимость единицы товара;

p — величина потерь, обусловленных отсутствием запасов (включая потери дохода и так называемого неосязаемого основного капитала);

r — продажная цена единицы товара;

l— ликвидационная стоимость единицы товара, не продан­ного к концу периода.

Задача заключается в том, чтобы определить оптимальный размер заказа Q, который максимизирует ожидаемую величи­ну чистого дохода за период. Ожидаемый чистый доход равен

(а) Покажите, что П(Q) — выпуклая функция Q(≥0).

(б) Объясните, как определить оптимальный размер заказа, пользуясь результатом, полученным в п. (а).

(в) Вычислите оптимальный размер заказа для следующего конкретного примера:

Указание. Воспользуйтесь правилом Лейбница для диффе­ренцирования под знаком интеграла.

2. 16. Предположим, что проводится одномерный поиск на основе (а) метода золотого сечения и (б) метода средней точки с использованием производных, вычисляемых с помощью разностного дифференцирования. Какой из методов, по всей вероятности, окажется более эффективным? Почему?

2.17. Реализуйте процедуру одномерного поиска точки оптимума функции

f(x)=3x²+(12/x³)—5 в интервале 1/2≤x≤5/2,

используя (а) метод золотого сечения, (б) метод деления ин­тервала пополам, (в) метод поиска с использованием квадра­тичной аппроксимации, (г) метод поиска с использованием ку­бичной аппроксимации и производных. В каждом случае про­ведите по четыре вычисления значения функции. Сравните результирующие интервалы поиска, полученные с помощью перечисленных выше методов.

2.18. Найдите точку минимума функции

f (х)=(10x³+Зx²+x+5)²:

Заданы начальная точка х=2 и длина шага =0,5.

(а) Воспользуйтесь методом исключения интервалов: поиск границ интервала эвристическим методом и шесть итераций по методу золотого сечения.

(б) Воспользуйтесь методом оценивания на основе квадратич­ной аппроксимации: три итерации по методу Пауэлла.

2.19. Найдите вещественные корни уравнения (с точностью до одного знака после запятой)

f (x)=3000— 100x²—4x⁵—6х⁶ =0,

используя (а) метод Ньютона — Рафсона, (б) метод средней точки, (в) метод секущих. Полезно также написать программу для мини-ЭВМ, реализующую перечисленные методы поиска.

2.20. (а) Объясните, как можно преобразовать задачу 2.19 в нели­нейную задачу безусловной оптимизации с одной переменной, (б) Напишите программу для ЭВМ, реализующую поиск по методу золотого сечения, и используйте ее для решения задачи оптимизации, о которой идет речь в п. (а). Сравните получен­ное решение с решением задачи 2.19.

2.21. В результате экспериментов установлено, что траектория дви­жения космического тела описывается следующим уравнением [10]:

f (_Х)=4х³+2х—3х²+е^х/2.

Найдите корень уравнения f(х)=0 с помощью любого из мето­дов с использованием производных.

2.22.Пользуясь любым из методов одномерного поиска, минимизи­руйтe следующие функции с точностью до одного знака после

2.23. В структуре капитальных вложений на развитие химического завода важное место занимают затраты на приобретение и монтаж труб, а также затраты на установку насосного обо­рудования. Рассмотрите проект трубопровода длиной L фут., который должен обеспечивать подачу жидкости со скоростью Q галлон/мин. Выбор наиболее экономичного диаметра трубы D (дюйм.) осуществляется на основе минимизации функции затрат на приобретение труб, насосов и прокачивание жид­кости. Известно, что функция затрат в единицу времени в случае, когда, трубопровод состоит из труб, изготовленных из углеродистой стали, и центробежного насоса с электродвига­телем, может быть описана следующим выражением:

Сформулируйте соответствующую задачу оптимизации с од­ной переменной для проектирования трубопровода длиной 1000 фут., который должен обеспечивать подачу жидкости со скоростью 20 галлон/мин. Диаметр трубы должен быть заключен в пределах от 0,25 до 6 дюйм. Решите эту задачу с помощью метода золотого сечения.