Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chumakin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

357.17 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Если ∫ f 2 (x)dx < +∞ , то коэффициенты Фурье записываются в виде

−l

1 l

nπ

an =

∫

f (x) cos

xdx

(n = 0,1,2,...) ,

(21.4)

−l

1 l

nπ

bn =

∫

f (x) sin

xdx

(n = 0,1,2,...) ,

(21.5)

а ряд Фурье- в виде

−l

∞

nπ

S(x) =

∑

cos

x + bn sin

x .

(21.6)

n=1

Если функция

f (x) - четная, то

2 l

nπ

∫ f (x) cos

xdx

(n = 0,1,2,...) , bn = 0

(n = 1,2,...) .

(21.7)

Если функция

f (x) - нечетная, то

2 l

nπ

an = 0

(n = 0,1,2,...) , bn

∫

f (x) sin

xdx

(n = 1,2,...) .

(21.8)

Суммы рядов (21.3) и (21.6) являются периодическими функциями соответственно с периодами 2π и 2l .

Функция f (x) называется кусочно гладкой на отрезке [a, b], если сама функция и ее производная имеют на [a, b] не более чем конечное число точек

разрыва, и все они первого рода,			т.е. в каждой точке разрыва x функция f (x)
имеет	конечный левый предел		f (x − 0) = lim f (x − ε )	и	конечный правый
			ε →0
предел	f (x + 0) = lim f (x + ε ) (ε > 0) .
	ε →0
	Если периодическая функция f (x) с периодом 2l				кусочно гладкая на
отрезке [−l, l], то ряд Фурье (21.6) сходится к значению				f (x) в каждой ее точке
непрерывности и к значению		1	( f (x − 0) + f (x + 0)) в точках разрыва. Если

	2

дополнительно f (x) непрерывна на всей числовой оси, то ряд (21.6) сходится к

f(x) равномерно.

Вслучае разложения функции f (x) в ряд Фурье в произвольном промежутке (a, a + 2l) длины 2l пределы интегрирования в формулах (21.4) и

(21.5) коэффициентов Фурье следует заменить соответственно на a и a + 2l . В концах интервала (a, a + 2l) сумма ряда Фурье (21.6) равна

S(a) = S(a + 2l) = 12 ( f (a + 0) + f (a + 2l − 0)).

Пример 21.1. Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:

а) f (x) = eax при − π < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

при

− 2 < x ≤ 0,

б)

f (x) = x

при

0 < x ≤ 2

( f (x + 4) = f (x));

− l < x ≤ −

при

πx

в)

f (x) = cos

при −

< x ≤

при

< x ≤ l

( f (x + 2l) = f (x)).

Решение. Все заданные функции удовлетворяют достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Найдем их разложения.

а) Пользуясь формулами:

∫ eax cos bxdx = eаx (b sin bx + a cos bx) + c a 2 + b 2

∫ eax sin bxdx = eax (a sin bx − b cos bx) + c , a 2 + b2

получим коэффициенты Фурье:					eax (k sin kx + a cos kx)
	1 π		1 π
ak =		−∫π f (x)cos kxdx =		−∫πeax cos kxdx =	π (a 2 + k 2 )
	π		π

=eaπ (k sin kπ + a cos kπ ) −( e−aπ (k sin) (− kπ ) + a cos(− kπ )) =

πa 2 + k 2

=	a cos kπ (eaπ − e−aπ )	=	(− 1)k a(eaπ − e−aπ )	(k = 0,1,2,...);
	π (a 2 + k 2 )		π (a 2 + k 2 )

π=

−π

			1	π	f (x)sin kxdx =		1	π
bk	=			∫				∫ eax
		π				π
				−π				−π

=eaπ (− k cos kπ )− e−aπ (− k cos kπ ) =

π(a 2 + k 2 )

= eax (a sin kx − k cos kx) sin kxdx ( )

π a 2 + k 2

	(−1)k +1 к(eaπ − e−aπ )		(k = 1,2,...).
	π (a 2 + k 2 )

π=

−π

Поэтому ряд Фурье для данной функции имеет следующий вид:

+ ∑∞ (ak cos kx + bk sin kx) =

eaπ − e−aπ

k =1

2πa

∞

(−

1)k a(eaπ − e−aπ )

(− 1)k +1 k(eaπ − e−aπ )

+ ∑

cos kx

sin kx

π (a 2 + k 2 )

k =1

	eaπ − e−aπ	1		∞	k (a cos kx − k sin kx)
=				+ ∑ (−1)						=
	π		2a			a	2	+ k	2
				k =1

	eaπ	− e−aπ	1		a cos x − sin x		a cos 2x − 2 sin 2x
=				−		+		− ... .
		π			a 2 + 1		a 2 + 4
			2a
Сумма полученного ряда S(x) равна значению								функции f (x) в точках
непрерывности				этой функции.		В точках разрыва		x = (2n − 1)π (n = 0,±1,±2,...)

сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функций слева и

справа:

f ((2n −1)π − 0)+ f ((2n −1)π + 0)

S((2n −1)π ) =

В силу периодичности функции f (x) с периодом 2π ( f (x + 2πn) = f (x))

имеем

(− π − 0) + f (− π + 0) =

((2n − 1)π − 0) + f ((2n − 1)π + 0) = f

= f (− π − 0 + 2π ) + f (− π + 0) = f (− π + 0) + f (π − 0),

следовательно,

f (− π + 0) + f (π − 0)

ea(−π +0) + ea(π −0)

S((2n − 1)π ) =

− aπ

aπ

+ e

lim

→ −π + 0

x → π − 0

б) Вычислим коэффициенты Фурье:

ak =

f (x)cos

kπx

dx =

f (x)cos

kπx

dx =

0 f (x)cos

kπx

dx +

(x)cos

kπx

dx =

∫

−l

−2

kπx

∫ x cos

dx.

Последний интеграл возьмем по частям.

Положим U

= x, dV = cos

kπx

dx ; тогда

kπx

dU = dx,

V =

sin

следовательно

kπ

2 2

kπx

(cos kπ − cos 0)

∫

x cos

dx =

sin

− ∫

sin

dx =

cos

2π 2

kπ

0 kπ

kπ

4[(−1)k −1].

k 2π 2

Таким образом,

1 2 ak = 4 ∫0

			(− 1)	k			2
x cos	kπx	dx =			−1	−		при	k = 1,3,5,...
	kπx				−1	−		при	k = 1,3,5,...
						=	k 2π 2
	2		k 2π 2			=	k 2π 2
	2		k 2π 2				0 при k = 2,4,6,...
							0 при k = 2,4,6,...

При k = 0 полученное здесь выражение для									a k		не имеет смысла. Поэтому
коэффициент a0 вычислим отдельно:
a0 =	1	l	f (x)dx =	1	2	f (x)dx =	1 2 x		dx	=	1 x2	2	=	1	.
	1	l		1	2		1 2 x				1 x2	2		1

	l	∫		2	∫		2 ∫	2			4 2	0		2
	l	∫		2	∫		2 ∫	2			4 2	0		2
		−l			−2		0
		−l			−2		0

Аналогично найдем

f (x)sin

kπx

bk =

∫

x sin

cos

∫

cos

−

kπ

dx =

−l

(−1)k +1

= −

cos kπ +

sin

kπx

(k = 1,2,3,...).

kπ

2π

kπ

Выпишем найденный ряд Фурье:

(− 1)k − 1

(−

1)k +1

∞

kπx

∞

kπx

∑

cos

+ b

sin

+ ∑

cos

sin

2π 2

kπ

−

cos

πx

sin

πx

−

sin πx −

cos

3πx

sin

3πx

−

sin 2πx −...

π 2

2π

9π 2

3π

4π

Сумма

найденного ряда

S(x)совпадает с данной

функцией f (x)

во

всех

точках

непрерывности

функции

f (x).

точках

разрыва

x = 4k − 2

(k = 0,±1,±2,...)

S(4k − 2) =

f (4k − 2 − 0)+ f (4k − 2 + 0)

f (− 2 − 0)+ f (− 2 + 0)

f (− 2 + 0) + f (2 − 0)

0 + 1

Заметим, что точки

x = 4k(k = 0,±1,±2,...)

являются точками непрерывности

данной функции

(x). В силу периодичности функции достаточно установить

непрерывность

f (x)

точке

x = 0 .

Это

сразу

следует

из соотношения

f (− 0) = f (+ 0) = f (0).

в) Данная функция четная, вследствие чего все

коэффициенты

bk = 0 , а

коэффициенты ak вычисляются таким образом:

kπx

ak =

∫l

f (x)cos

dx =

∫2 f (x)cos

dx +

∫l

f (x)cos

dx =

2 l

πx

kπx

1 l 2

πx

kπx

πx

kπx

∫ cos

cos

dx =

∫

cos

−

+ cos

dx =

(k − 1)πx

2 +

(k + 1)πx

sin

(k −

1)π

+ 1)π

=	1		1		(k − 1)π	+	1		(k + 1)π
				sin				sin	.
	π				2		k + 1
		k − 1							2

При k = 1найденное выражение для ak

непригодно,

поэтому коэффициент a1

вычислим отдельно:

2 l

f (x)cos

πx

2 l 2

πx

1 l 2

2πx

∫

dx =

∫ cos

dx =

∫

+ cos

l 0

sin

2πx l

2π

Итак,

a =

sin (k − 1)π +

sin (k + 1)π

(k = 2,3,4,...).

k + 1

k − 1

Легко видеть, что если k нечетное число и k ≥ 3, то ak k = 2m , то

a2m =	2(−1)m+1	(m = 1,2,3,...).
	π (4n2 −1)

Поэтому, учитывая непрерывность данной функции f (x) получим

∞

kπx

πx

∞

m+1

2mπx

f (x) =

+ ∑ak cos

cos

∑

(−1)

cos

(− ∞ <

4m2 −1

k =1

π m=1

= 0 ; если же k четно,

на всей числовой оси,

x < ∞).

4.2.Указания к задаче 22

Всилу формул (21.7) и (21.8) четная функция разлагается в неполный ряд Фурье по косинусам, а нечетная функция ─ по синусам. Функция, заданная в интервале (0, l ), может быть продолжена в интервал (- l ,0) либо как четная, либо как нечетная; следовательно, ее можно разложить в интервале (0, l ) в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.

Пользуясь формулами Эйлера, ряд Фурье (21.6) можно записать в комплексной форме

			S(x) =		+∞			nπ	x ,
			S(x) =		∑ cn ei			l	x ,
где					n=−∞
где				nπ
	1	∫l		nπ
cn =			f (x)e−i			x dx	(n = 0,±1,±2,...),
					l
					l
	2l −l

при этом

c0	=	a0	,	ck	=	ak − ibk	,	c−k	=	ak + ibk	(k = 1,2,3...).

	2				2				2

Пример 22.1. Разложить в ряд Фурье следующие функции:

a)	f (x) = π − x				в интервале (0,2π );
	2				2 < x ≤ 4,
б)	f (x) = 2			при
	2x			при	4 < x < 6;
в)	f (x) =	1	x	на отрезке [0, l] по синусам;

	2			в интервале (− π ,π ) в комплексной форме.
г)	f (x) = e x

Решение. В указанных промежутках данные функции можно разложить в ряд Фурье по формулам разложения периодических функций, так как их можно продолжить как периодические функции на всю числовую ось. Интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Поэтому при вычислении коэффициентов Фурье промежуток интегрирования (− l, l) можно заменить промежутком

(λ, λ + 2l), где λ ─ любое число.

а) Вычислим значения коэффициентов Фурье:

1 2π

1 2ππ − x

x 2

2π

∫ f (x)dx =

∫

dx =

= 0,

2π

πx −

2∫π f (x)cos kxdx =

2∫π(π − x)cos kxdx .

π 0

2π 0

Последний интеграл возьмем методом интегрирования по частям.

Положим

U = π − x,

dV = cos kxdx

;

тогда

dU = −dx, V =

sin kx ,

следовательно,

π − x

2π 1

2π

sin kx

∫ sin kxdx

−

cos kx

2π

2kπ

= −

(cos 2kπ − cos 0) = 0

(k = 1,2,3...).

2k 2π

Аналогично, интегрируя по частям, найдем

2∫π f (x)sin kxdx =

2∫π(π − x)sin kxdx =

π 0

2π 0

π − x

2π

(k = 1,2,3...).

cos kx

−

π −

∫ cos kxdx

Так как данная функция f (x) =

π − x

непрерывна в промежутке (0,2π ), то

π − x	∞	1		(0 < x < 2π ).
	= ∑		sin kx
2
	k =1 k

Вне промежутка равенство не справедливо. В частности, в точках x = 0 и x = 2π сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается.

Если положить в найденном разложении x = π2 , то получим ряд

Лейбница:

π4 = 1 − 13 + 15 − 17 + ...

б) Полагая l = 2 и разбивая интервал интегрирования (2,6) точкой x = 4 на две части (в каждой из них функция задана различными формулами), получим:

		1	λ +2l	1	6	1 4		6			4		x 2	4

a0	=		∫ f (x)dx =		∫ f (x)dx =		∫ 2dx + ∫		2xdx	= x	2	+		2	= 12 ;
		l		2		2							2
			λ		2		2	4

λ +2l

f (x)cos

kπ

f (x)cos

kπx

∫

xdx =

∫

dx =

	1	4			kπx				6				kπx
=		∫ 2 cos						dx + ∫ 2x cos							dx		=
=	2	∫ 2 cos			2			dx + ∫ 2x cos						2	dx		=
	2	2			2				4					2
	2			kπx		4			2x		kπx	4			2	6		kπx
	2			kπx		4			2x		kπx	4			2	6		kπx
=			sin			2	+			sin			2	−		∫ sin			dx =
=	π		sin	2		2	+		π	sin	2		2	−	π	∫ sin		2	dx =
	k			2					k		2				k	4		2

cos

kπx

(cos 3kπ − cos 2kπ ) =

[(− 1)k − 1]=

2π 2

k 2π 2

−

при нечетном k;

k 2π 2

при четном

λ +2l

kπx

bk =

∫ f (x)sin

∫

f (x)sin

dx =

kπx

∫ 2 sin

dx +

∫ 2x sin

dx =

kπx

= −

cos

−

cos

∫ cos

dx =

kπ

= −

cos 2kπ +

cos kπ −

cos 3kπ +

cos 2kπ +

sin

kπx

kπ

k 2π 2

cos 2kπ − 10 cos kπ

+ 10(− 1)k +1.

kπ

Следовательно, искомое разложение имеет вид

∞

[(− 1)

− 1]cos

kπx

+ 10(−

k +1

kπx

6 + ∑

sin

k =1

kπ

Сумма полученного ряда S(x) = 2 в интервале (2,4),

S(x) = 2x в интервале

(4,6) и

f (x)

S(4) =

f (x)+

(2 + 8) = 5 .

lim

− 0

x → 4 + 0

x → 4

в) Продолжая данную функцию нечетным образом, мы получим

нечетную функцию f (x) =	1	x на отрезке [− l, l]. Поэтому все
	2

коэффициенты ak равны нулю, а коэффициенты bk выражаются

интегралами:

2 ∫

f (x)sin kπx dx = 1 ∫ x sin kπx dx =

l 0

kπx

l l

kπx

−

cos

∫ cos

cos kπ

sin

kπ

= −

kπ

kπ 0

(− 1)k +1 l

kπ

Следовательно,

(−1)

k +1

∞

kπx

x =

∑

sin

0 ≤ x < l.

k =1

В точке x = l сумма ряда

S(l) =

lim

x =

−

= 0.

x → l −

0 2

г)

Находим:

x → −l + 0

(x)e−ikx dx =

∫ f

∫ e x e−ikx dx =

∫ e(1−ik )x dx =

2π

−π

e(1−ik )x

(eπ e−ikπ

− e−π eikπ ).

2π

(1 − ik )

2π (1 − ik )

− π

По формулам Эйлера

e±ikπ

= cos kπ ± i sin kπ = (− 1)k ,

следовательно,

(− 1)k

(eπ − e−π ). .

Таким образом,

2π (1 − ik )

−π

ikx

∞

− e

∞

ex =

∑ ck eikx

∑

(−1)

(− π < x < π ).

2π

1− ik

k =−∞

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебник.-2-е изд.,

перераб. и доп. / Бугров Я. С., Никольский С. М. ─М.: Наука,

1984.─ 431с.

2.Дифференциальное исчисление для втузов, Т.2:Учебник.-13-е изд. / Пискунов Н. С. -М.: Наука, 1985.─560 с.

3.Курс математического анализа, Т.1.: Учебник. / Кудрявцев Л. Д. ─М.: Высш. школа, 1981.─678 с.

4.Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учебное пособие / Л. А. Кузнецов.─М.: Высш. школа, 1983.─174 с.

Учебное издание. Числовые функциональные ряды.

Ряды Фурье.

Методические указания к типовому расчету по высшей математике.

Составители: ЧУМАКИН Михаил Егорович ПАВЛЕНКО Галина Дмитриевна

Редактор Н. А. Евдокимова

Подписано в печать 31. 01. 2003. Формат 60 х 84 / 16. Бумага писчая. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 2,33. Уч.- изд. л. 2,00. Тираж 300 экз. Заказ

Ульяновский государственный технический университет,

432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.04.2019210.96 Кб5BILYeT_1.docx
#
18.09.2019744.45 Кб7Biznes-_plan_Kopirka.doc
#
08.05.2019171.01 Кб35BZhD_modul_2.doc
#
20.04.2015233.47 Кб68c-rigra.doc
#
23.03.20161.36 Mб464ChM_Laboratorny_praktikum_s_ispravleniami.pdf
#
23.03.2016357.17 Кб6Chumakin.pdf
#
23.03.2016328.16 Кб17cMS_lec.pdf
#
09.11.2018108.47 Кб9compilers.docx
#
23.03.201629.39 Mб3Dinox 2013 рус.pdf
#
20.04.201588.58 Кб9document.doc
#
24.05.20152.52 Mб1502Dzhaggernaut_metod_2_0.pdf