Задача 5

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Пусть для изучения количественного признака Х генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Наблюдавшиеся значенияпризнака Х называются вариантами, а их последовательность, записанная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

2.5.1. Статистическое распределение выборки

Статистическим распределением выборки называется перечень варианти соответствующих им частотили относительных частот.

Статистическое распределение выборки задается также в виде последовательности частичных интервалов и соответствующих им частот или относительных частот. Частота частичного интервала равна количеству вариант, попавших в этот интервал.

2.5.2. Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения называется функция,определяющая для каждого значения х относительную частоту события X<x, тo есть ,

где - число вариант, меньших х

Свойства функции .

1. .

2. - неубывающая функция, т.е., если.

3. Если - наименьшая варианта, то, при.

4. Если - наибольшая варианта, то, при.

2.5.3. Полигон и гистограмма

Полигоном частот называют, ломаную кривую, отрезки которой соединяют точки . Пример полигона частот приведен на рис.1.

Рис. 1. Полигон частот Рис. 2. Гистограмма

относительных частот

Полигоном относительных частот называют ломанную кривую, отрезки которой соединяют точки .

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению (плотности частоты). Площадь гистограммы частот равна объему выборки n.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению (плотности относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна единице. Пример гистограммы относительных частот приведен на рис.2.

2.5.4. Пример выполнения задачи 5

Пример 1. Найти эмпирическую функцию распределения по распределению выборки.

	15	20	25	30	35
	10	15	30	20	25

Решение. Воспользуемся формулой:

,

где n– объем выборки (n=10+15+30+20+25=100),

–число вариант, меньших аргумента x. Так как является кусочно-постоянной (ступенчатой), разобьем область определения R на интервалы постоянства функции (см рисунок).

0 15 20 25 30 35

1. При x15

вариант, меньших x в выборке нет, то есть = 0.

.

2. При 15<x20

варианты, меньшие x – это 10 вариант, каждая из которых равна 15, то есть =10..

3. При 20<x25

вариант, меньших x – двадцать пять:

10 – равных 15 и 15 – равных 20, то есть =10+15=25..

4. При 25<x30

вариант, меньших x – пятьдесят пять:

10 – равных 15, 15 – равных 20, 30 – равных 25, то есть =10+15+30=55.

.

5. При 30<x35

вариант, меньших x – семьдесят пять:

10 – равных 15, 15 – равных 20, 30 – равных 25, 20 – равных 30, то есть =10+15+30+20=75..

6. При x>35

все 100 вариант меньше х. .

Таким образом, эмпирическая функция распределения имеет вид:

2.5.5. Варианты задачи 5

1. Найти эмпирическую функцию распределения по распределению выборки:

	1	4	6
	10	15	25

и построить ее график.

2. Найти эмпирическую функцию распределения по распределению выборки

	2	5	7	8
	1	3	2	4

и построить ее график.

3. Построить полигон относительных частот по распределению выборки:

	15	20	25	30	35
	10	15	30	20	25

4. Построить полигон относительных частот по распределению выборки:

	2	4	5	7	10
	0,15	0,2	0,1	0,1	0,45

4. Построить гистограмму относительных частот и функцию распределения по распределению выборки:

	2 - 5	5 - 8	8 -11	11 - 14
	6	10	4	5

6. Построить гистограмму частот и полигон относительных частот по распределению выборки:

	10 - 15	15 - 20	20 - 25	25 - 30	30 - 35
	2	4	6	4	2

Исходные данные к вариантам 7 – 10.

Время решения контрольной задачи учениками четвертого класса в секундах приведено в табл.2.

Таблица 2

38	60	41	51	33	42	45	21	53	60
68	52	47	46	49	49	14	57	54	59
77	47	28	48	58	32	42	58	61	30
61	35	47	72	41	45	44	55	30	40
67	65	39	48	43	10	42	59	50	54

7. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=10 секунд и построить вариационный ряд и полигон частот.

8. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=7 секунд и построить полигон относительных частот.

9. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=14 секунд и построить функцию распределения.

10. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=5 секунд и построить гистограмму частот.

Исходные данные к вариантам 11-13.

Продолжительность времени работы электронных ламп одного типа в часах приведена в табл. 3.

Таблица 3

13,4	14,7	15,2	15,1	10,0	13,0	10,8	14,0	17,9	15,1
16,5	16,6	14,2	19,8	16,3	14,6	11,7	16,4	15,1	17,6
14,1	18,8	11,6	13,9	18,0	12,4	17,2	14,5	16,3	13,4
15,5	16,2	18,4	14,7	15,4	11,3	10,7	16,9	15,8	15,3
16,1	12,3	14,0	17,7	14,7	16,2	17,1	18,3	10,1	15,8
18,3	19,8	17,5	12,7	19,7	13,5	14,0	14,0	14,0	15,7
11,9	14,3	12,1	12,1	10,9	17,7	17,7	15,4	15,4	10,9
18,2	18,2	17,3	17,3	15,2	15,2	16,7	17,3	12,1	19,2

11. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=1,5 часа и построить функцию распределения.

12. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=0,8 часа и построить гистограмму частот.

13. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=0,9 часа и построить полигон частот.

Исходные данные к вариантам 14-16.

В опытах наблюдалась неотрицательная случайная величина Х.

Ее упорядочение по величине значения и округление с точностью до 0,01 при n=50 опытов приведены в табл. 4.

Таблица 4

0,00	0,01	0,04	0,17	0,18	0,22	0,22	0,25	0,25	0,29
0,42	0,46	0,47	0,47	0,56	0,59	0,67	0,68	0,70	0,72
0,76	0,78	0,83	0,85	0,87	0,93	1,00	1,01	1,01	1,02
1,02	1,02	1,32	1,34	1,37	1,47	1,50	1,53	1,54	1,59
1,71	1,90	2,10	2,35	2,46	2,46	2,50	2,73	3,07	3,93

14. Сгруппировать выборку с длиной интервала 0,4 и построить функцию распределения.

15. Сгруппировать выборку с длиной интервала 0,5 и построить гистограмму относительных частот.

16. Сгруппировать выборку с длиной интервала 0,6 и построить полигон относительных частот.

Исходные данные к вариантам 17-20.

Время реакции в секундах приведено в табл.5.

Таблица 5

8,5	7,1	6,7	6,2	2,9	4,4	6,0	5,8	5,4
8,2	6,9	6,5	6,1	3,8	6,0	6,0	5,6	5,3
7,7	6,8	6,5	6,1	4,2	4,7	5,6	5,4	5,3
7,4	6,7	6,4	6,1	4,5	6,0	5,8	5,6	5,1

17. Построить вариационный ряд, сгруппировать выборку с длиной интервала h=0,7 сек. и построить полигон частот.

18. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=0,8 сек. и построить функцию распределения.

19. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=0,5 сек. и построить гистограмму относительных частот.

20. Сгруппировать выборку с длиной интервала h=0,4 сек. и построить полигон относительных частот.