Задача 6 Точечные оценки параметров распределения
Точечной называется
статистическая оценка, которая
определяется одним числом
,
где
- результаты n наблюдений над количественным
признаком Х.
Статистическая
оценка
называется
несмещенной, если
где
- оцениваемый параметр теоретического
распределения.
Если
,
статистическая оценка называется
смещенной.
Статистическая
оценка
называется
состоятельной, если
,
где
- сколь угодно малое положительное
число.
Статистическая
оценка
называется эффективной, если данная
оценка имеет наименьшую возможную
дисперсию.
2.6.1. Выборочная средняя
или
где n – объем выборки, а k –количество различных вариант в выборке.
2.6.2. Выборочная и исправленная дисперсии
Выборочная дисперсия
,
или
.
В отличие от выборочной дисперсии DВ являющейся смещенной оценкой генеральной дисперсии, исправленная дисперсия является несмещенной оценкой и определяется по выражению
,
или
.
2.6.3. Выборочное и исправленное среднеквадратическое отклонение
.
2.6.4. Мода и медиана выборки
Модой
называется варианта, имеющая наибольшую
частоту или относительную частоту.
Медианой выборки med Х называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. При нечетном числе вариант (n=2k+1)
,
а при четном числе вариант (n=2k)
.
2.6.5. Асимметрия и эксцесс выборки
Асимметрия эмпирического распределения
,
или
,
Эксцесс эмпирического распределения
,
или
,
2.6.6. Пример выполнения задачи 6
Пример 1. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию по распределению выборки объема n=10:
|
|
26,1 |
26,3 |
26,7 |
27,4 |
|
|
2 |
3 |
4 |
1 |
Решение. Для нахождения значения выборочного среднего воспользуемся формулой
Для нахождения значения выборочной дисперсии воспользуемся формулой
2.6.7. Варианты задачи 6
1. Определить выборочную среднюю, моду, медиану и дисперсию сгруппированной выборки.
|
|
5 -7 |
7-9 |
9 -11 |
11 -13 |
13 -15 |
15 -17 |
|
|
8 |
14 |
40 |
26 |
6 |
4 |
2. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.
|
рост |
154-158 |
158-162 |
162-166 |
166-170 |
170-174 |
174-178 |
178-182 |
|
число студ. |
10 |
14 |
26 |
28 |
12 |
8 |
2 |
Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение роста обследованных студентов.
Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса для выборки, характеризующей пределы прочности образцов варки (н/мм):
|
Границы интервалов. |
28-30 |
30-32 |
32-34 |
34-36 |
36-38 |
38-40 |
40-42 |
42-44 |
|
частоты |
8 |
15 |
15 |
12 |
15 |
20 |
10 |
5 |
4. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса для выборки, характеризующей число набранных баллов в соревнованиях:
|
Грани интервалов |
49-52 |
52-55 |
55-58 |
58-61 |
61-64 |
64-67 |
67-70 |
|
частоты |
3 |
6 |
11 |
19 |
30 |
21 |
10 |
5. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса для следующей группировки выборки:
|
Границы интервалов |
10 -12 |
12-14 |
14-16 |
16-18 |
18-20 |
20-22 |
22-24 |
|
Частоты |
2 |
4 |
8 |
12 |
16 |
10 |
3 |
6. Определить выборочные среднюю и дисперсию:
а) по несгруппированной выборке объема n=44;
-
17
21
8
20
23
18
22
20
20
17
12
20
11
9
19
20
9
19
19
17
21
13
17
22
22
10
20
20
15
15
19
20
20
13
21
21
9
14
11
19
19
18
23
19
б) по сгруппированной выборке с длиной интервала h=2.
Сравнить результаты вычислений.
7. Определить выборочные среднюю и дисперсию: а) по не сгруппированной выборке объема n=36;
-
8,5
7,1
6,7
6,2
2,9
4,4
6,0
5,8
5,4
8,2
6,9
6,5
6,1
3,8
6,0
6,0
5,6
5,3
7,7
6,8
6,5
6,1
4,2
4,7
5,6
5,4
5,3
7,4
6,7
6,4
6,1
4,5
6,0
5,8
5,6
5,1
б) по сгруппированной выборке с длиной интервала h=1.
Сравнить результаты вычислений.
8. Определить выборочное среднее и дисперсии: а) по не сгруппированной выборке объема n=50
-
69
73
70
68
61
73
70
72
67
70
66
70
76
68
71
71
68
70
64
65
72
70
70
69
66
70
77
69
71
74
72
72
72
68
70
67
71
67
72
69
66
75
76
69
71
67
70
73
71
74
б) по сгруппированной выборке с длиной интервала h=3.Сравнить результаты вычислений.
9. Контрольные обмеры диаметров болтов дали следующие результаты: 2,31; 2,28; 2,29; 2,28; 2,32; 2,28; 2,32; 2,29; 2,31; 2,32. Найти выборочную среднюю, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
10. Вычислить моду, медиану, выборочную среднюю, дисперсию и среднеквадратическое отклонение, исправленную дисперсию выборки: 3,1; 3,0; 1,5; 1,8; 2,5; 3,1; 2,4; 2,8; 1,3.
11. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:
-
3
1
3
4
2
1
1
3
2
7
2
0
2
4
0
3
0
2
0
1
3
3
1
2
2
0
2
1
4
3
4
2
0
2
3
1
3
1
4
2
2
1
2
5
1
1
0
1
1
2
1
0
3
4
1
2
2
1
1
5
Найти выборочную среднюю, дисперсию и ее несмещенную оценку.
12. Измерения некоторого параметра у 20 транзисторов дали следующие результаты:
|
Номер транзистора |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Значение параметра |
4,4 |
4,31 |
4,4 |
4,4 |
4,65 |
4,56 |
4,71 |
4,54 |
4,34 |
4,56 |
|
Номер транзистора |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
Значение параметра |
4,32 |
4,42 |
4,6 |
4,35 |
4,5 |
4,4 |
4,43 |
4,48 |
4,42 |
4,45 |
Найти выборочную среднюю и дисперсию значения параметра и ее несмещенную оценку.
13. Дана интервальная таблица частот для случайной величины Х, равной весу новорожденных детей:
|
Интервалы (кг) |
1-1,5 |
1,5-2 |
2-2,5 |
2,5-3 |
3-3,5 |
3,5-4 |
4-4,5 |
4,5-5 |
|
Частоты |
1 |
2 |
5 |
15 |
25 |
28 |
12 |
5 |
Найти выборочную среднюю значения веса, выборочную исправленную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение.
14. Получена таблица оценок по контрольной работе у 40 учащихся класса:
-
Оценки
2
3
4
5
Количество
3
8
25
4
Найти выборочную среднюю значения оценки; выборочную дисперсию, исправленную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, исправленное среднеквадратическое отклонение.
5. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднеквадратическое отклонение по заданному распределению выборки объема n=100 .
-
12
14
16
18
20
22
5
15
50
16
10
4
16. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднее квадратическое отклонение по заданному распределению выборки объема n=100 .
-
122
128
134
140
146
152
158
164
170
176
7
8
12
16
4
20
13
10
7
3
17. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднее квадратическое отклонение по заданному распределению выборки объема n=100.
-
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
4
6
8
15
25
20
8
7
5
2
18. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднее квадратическое отклонение по заданному распределению выборки.
-
18,6
19,0
19,4
19,8
20,2
20,6
4
6
30
40
18
2
19. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднеквадратическое отклонение по заданному распределению выборки объема n=50.
-
6
8
11
13
15,5
17,5
20
23,5
24,5
26
1
9
6
6
4
6
8
5
4
1
20. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднеквадратическое отклонение по заданному распределению выборки объема n=100.
|
|
10 |
13 |
15 |
17 |
19 |
23 |
24 |
26 |
28 |
32 |
34 |
35 |
|
|
2 |
4 |
6 |
8 |
9 |
6 |
20 |
15 |
10 |
8 |
7 |
5 |
