Задача 7 Элементы теории корреляции регрессионного анализа

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение распределения другой.

Корреляционной зависимость Y от Х называется функциональная зависимость условной средней от Х, т.е.

=f(x), (*)

где условное среднее - это среднее арифметическое значение Y, соответствующее значению Х=х. Приведенное уравнение (*) называется уравнением регрессии, а функция f(x), называется регрессией Y на Х, а ее график – линией регрессии Y на Х.

Теория корреляции решает две задачи:

- установление формы корреляционной связи, т.е. вида функции регрессии;

- оценка тесноты корреляционной связи.

2.7.1. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии

Для отыскания параметров выборочного уравнения прямой линией регрессии используются данные независимых экспериментов . Причем функция регрессии f(x) задается линейной относительно параметров регрессии, т.е. в случае парной регрессии

Для нахождения параметров используется метод наименьших квадратов. В случае линейной зависимости, т.е.

,

в соответствии с методом наименьших квадратов параметры a и b подбираются таким образом, чтобы функционал

Так как минимизация данного функционала требует дифференцирования его по каждой переменной, то это приводит к следующей системе уравнений:

;

.

После преобразования получается система двух линейных уравнений, в результате решения которых находятся параметры регрессии a и b.

Замечание 1. Рассмотренный способ нахождения оценок параметров а и b (метод наименьших квадратов) можно распространить на другие зависимости f(x): и другие.

2.7.2. Оценка тесноты корреляционной зависимости

Оценкой тесноты корреляционной зависимости является выборочный коэффициент корреляции.

,

где за обозначены выборочные среднеквадратические отклонения по X и по Y.

2.7.3. Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. Абсолютная величина коэффициента не превосходит 1, то есть .

2. Если =0, то Y и Х не связаны линейной корреляционной зависимостью.

3. Если =1, то Y и Х связаны линейной корреляционной зависимостью.

4. С возрастанием абсолютного значения линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при=1 переходит в функциональную зависимость.

Замечание 2. Коэффициент корреляции связан с коэффициентом линейной регрессии b зависимостью вида:

.

Интервальной оценкой выборочного коэффициента корреляции с надежностью называется доверительный интервал:

где n – объем выборки, а t – коэффициент, находимый по таблице функции Лапласа (см. прил., табл. 3) из соотношения . Формула используется при значительных объемах выборки.

2.7.5. Нахождение коэффициента корреляции по корреляционной таблице

Пусть эмпирические данные представлены в виде корреляционной таблицы табл. 6.

Таблица 6

X Y

В таблице– значения признака X;– значения признака Y;– частота появления в выборке пары.

Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть найден по формуле:

,

где n – сумма всех частот корреляционной таблицы (объем выборки).