Лекція 6 (20). Зв'язок частотних і часових характеристик лінійних кіл і детермінованих сигналів

1. Проходження сигналів через ідеальне лінійне коло з обмеженою смугою пропускання.

2. Вплив частотних характеристик кола на спектр і форму вихідного сигналу.

3. Зв'язок між частотними і часовими характеристиками кола.

1. Розглянемо вплив обмеження смуги пропускання кола на проходження сигналів на прикладі ідеального фільтра нижніх частот. Таке коло має ідеальні характеристики (див. попередню лекцію (5.11) і (5.12)), але в обмеженому діапазоні частот (рис 6.1):

Рисунок 6.1

(6.1)

Через таке коло всі гармоніки спектра з частотами нижче частоти зрізу проходять без зміни амплітуд і із зсувом фаз, пропорційним до частоти. Гармоніки поза смугою (не проходять на вихід кола (послаблюються, давляться), і це веде до зміни спектра і форми вихідного сигналу. Ступінь спотворення сигналу зі спектром, що за шириною перевищує смугу пропускання, визначається відрізаною часткою спектра, яка від ширини цієї смуги залежить.

Проведемо аналіз проходження сигналів через ідеальне вузькосмугове лінійне коло на прикладі двох типових дій – дельта-функції і одиничної ступінчастої функції.

Надходження дельта-функції . Якщо на коло з АЧХ і ФЧХ рис 6.1 надходить у момент дельта-функція, спектральна щільність якої, то вихідний спектр сигналу обмежується частотою зрізу, а форма вихідного сигналу набуде виду, який може бути аналітично виражений як

(6.2)

Рисунок 6.2

Ця функція (рис 6.2) має максимум при , що дорівнює . Поза максимумом в точках при вона має нульові значення. Вид функції відповідає кривій аркового синуса.

Основна частина сигналу визначається головною аркою спектра і має ширину , яка і є тривалістю сигналу вихідного кола. Характерно, що добуток

(6.3)

Із графіка видно, що вихідний сигнал запізнюється на час , який дорівнює тангенсу кута нахилу ФЧХ рис.6.1. Відсікання високочастотної частини спектра у даному ідеальному ФНЧ приводить до того, що вихідний імпульс, на відміну від вхідної дельта-функції, має скінченну амплітуду. При збільшенні частоти зрізу, тобто розширення смуги пропускання ФНЧ зменшується тривалість вихідного імпульсу, а відтак спотворення сигналу даним колом зменшується. Якщо, то тривалість, а амплітуда, що гранично дає дельта-функцію, тобто вхідний сигнал кола без будь-яких спотворень відтворюється на виході.

Надходження одиничної ступінчастої функції.

Вихідний сигнал ідеального ФНЧ, аналітично описаний в (6.2) – це реакція кола на дельта-функцію, і тому це по суті імпульсна характеристика кола. Відклик кола на одиничну ступінчасту функцію, оскільки між нею і дельта-функцією існує залежність

,

може бути визначений як інтервал від імпульсної характеристики:

, (6.4)

де – інтегральний синус.

Реакція кола – перехідна характеристика має вигляд зміщеного інтегрального синуса [1] – рис. 6.3.

Рисунок 6.3

Крутизна фронту (швидкість наростання) функції при

(6.5)

Водночас, з рис. 6.3 видно, що

, (6.6)

де – тривалість фронту. Прирівнюючи праві частини (6.5) і (6.6), одержуємо

(6.7)

Звідси . Що вужча смуга пропускання кола, то повільніше наростає сигнал на виході. Цей сигнал (рис. 6.3) запізнюється на час, що визначається нахилом ФЧС кола, а відсікання високочастотної частини спектра (рис. 6.1) приводить до того, що вихідний сигнал, на відміну від вхідного, має скінченну (ненульову) тривалість фронту. При, що гранично дає одиничну ступінчасту функцію, тобто вхідний сигнал кола без спотворень відтворюється на виході.

Надходження прямокутного відеоімпульса.

Рисунок 6.4

Нехай на вхід ідеального ФНЧ з АЧХ і ФЧХ рис. 6.1 надходить поодинокий прямокутний відеоімпульс (рис. 6.4). Треба знайти реакцію кола на такий вхідний сигнал. Фактично така задача зводиться до попередньої. Різниця полягає в тому, що прямокутний імпульс подається через накладення двох ступінчастих функцій, зміщених одна відносно іншої на час, що дорівнює тривалості імпульсу :

.

За принципом суперпозиції, вихідний сигнал є сумою реакцій на обидва вхідні сигнали. При урахування формули (6.4), запишемо

Вид вихідного сигналу показаний на рис. 6.4.

Із формули 6.7 неважко оцінити зміну фронтів вихідного імпульсу при розширенні смуги пропускання ФНЧ. Якщо ширина смуги дорівнює ширині головної арки спектра вхідного сигналу , то тривалість фронтів складає. Якщо ж смуга пропускання відповідає шириніарок спектра, тобтото тривалість фронтів.

Таким чином, взагалі при обмеженій смузі пропускання:

добуток тривалості фронту на потрібну ширину смуги пропускання є сталим;

добуток тривалості імпульсу на потрібну ширину смуги пропускання є сталим.

Відтак ширина смуги пропускання, потрібна для неспотвореної передачі імпульсу, обернено пропорційна його тривалості і тривалості його фронту. Це означає, що в ТКС передача і прийом інформації імпульсами малої тривалості потребують збільшення смуги пропускання каналу передачі, хоча при цьому наростає вплив широкосмугових завад.

2. Частотні характеристики кола визначають зміни спектра і форми сигнал, що виникають при проходженні через нього сигналу. Спектр вихідного сигналу залежить від ЧХ кола в тій самій мірі, що і від спектру вхідного сигналу. Знання спектра сигналу дозволяє зробити вибір потрібної смуги пропускання. Крім того, за відомими ЧХ кола і сигналу можна вибрати схеми і параметри корегуючих пристроїв, які здійснюють виправлення частотних характеристик системи і форми вихідного сигналу.

Розглянемо проходження ступінчастої функції через диференціююче (ФВЧ) і інтегруюче (ФНЧ) кола.

Диференціююче коло. Дано просте -коло – рис. 6.5.

Рисунок 6.5

Вхідний сигнал – функція Хевісайда:

.

Спектральна щільність вхідного сигналу

Комплексна функція передачі за напругою диференціюючого кола

,

де ; .

Спектральна щільність вихідного сигналу

, оскільки при всіх значеннях.

Здійснивши зворотне перетворення Фур’є спектральної щільності , знаходимо часовий вираз вихідного сигналу

(6.8)

На часовій діаграмі вихідного сигналу (рис 6.6) видно що зі зменшенням сталої часу спотворення сигналу збільшуються і носять характер диференціювання (що на графіку має вигляд завалу вершини імпульсу). Диференціювання відбувається при,

тобто

(6.9).

У цьому випадку комплексна функція кола , а– максимальна частота, що ураховується, в спектрі вхідного сигналу.

Рисунок 6.6

Таким чином, при проходженні сигналу через ФВЧ зміни фронту сигналу не відбувається, а змінюється тільки вершина. В спектрі вихідного сигналу спостерігається зменшення спектральної щільності низькочастотних складових.

Інтегруюче коло. Дано просте -коло рис. 6.7. Вхідний сигнал, як і попередньо – функція Хевісайда.

Рисунок 6.7

Комплексна передаточна функція кола

Спектральна щільність вихідного сигналу

,

де – спектральна щільність на виході диференціюючого кола.

На підставі теореми інтегрування знаходимо

(6.10)

Із часової діаграми вихідного сигналу інтегруючого кола рис. 6.8 видно, що спотворення наростають зі збільшенням сталої часу кола і носять характер інтегрування. Інтегрування відбувається при, тобто коли

(6.11)

У цьому випадку .

Рисунок 6.8

Таким чином, при проходженні сигналу через ФНЧ відбуваються зміни фронту, натомість його вершина змінюється несуттєво. У спектрі вихідного сигналу відбувається зменшення спектральної щільності високочастотних складових.

Висновки. 1.Для неспотвореної передачі фронту імпульсу необхідно забезпечити умови неспотвореної передачі кола на високих частотах (рис. 6.9 а)

2.Для неспотвореної передачі вершини імпульсу необхідно забезпечити умови неспотвореної передачі кола на низьких частотах (рис. 6.9 б)

3.Для більшості реальних кіл можливе лише часткове виконання цих умов, і тоді мають місце завали АЧХ і на НЧ (зміни вершини імпульсу), і на ВЧ (розтягнення фронтів імпульсу) – (рис. 6.9 в)

Рисунок 6.9

3. Реакцію кола на довільну дію можна розрахувати за допомогою як його частотних, так і часових характеристик. У першому випадку застосовують інтеграл Фур’є, у другому – інтеграл згортки. І частотні, і часові характеристики визначаються схемою і параметрами елементів кола, і перебувають між собою у безпосередньому зв’язку.

Як відомо, імпульсна характеристика – це реакція кола на дію дельта-функцію. Якщо– комплексна функція кола, то ці названі характеристики зв’язані одна з одною парою перетворень Фур’є .

(6.11)

(6.12)

Із цієї пари перетворень випливає, що частотні і часові характеристики лінійного кола взаємопов’язані: зміна частотної характеристики завжди веде до зміни часової характеристики, і навпаки. Покажемо це на одному прикладі.

Нехай частотна характеристика кола стиснена за частотою. Це означає зміну масштабу частоти: . Підставивши нову комплексну функцію до (6.12), одержимо

Замінимо на:

(6.13)

Порівнюючи (6.13) з (6.12) одержуємо

, (6.14)

тобто стисненню частотних характеристик вздовж осі частот відповідаєпропорційне розтягнення часової характеристики вздовж осі часу , і навпаки. Це цілком узгоджується з висновком про зв'язок між реакцією кола і шириною його смуги пропускання: що вужча смуга пропускання, то повільніше перебігають процеси у колі.