- •V. Спектральний аналіз детермінованих сигналів. Модуляція Лекція 1(15). Спектри періодичних сигналів
- •Лекція 2(16). Спектри неперіодичних сигналів
- •Лекція 3(17). Енергетичний спектр. Модуляція
- •Лекція 4 (18). Кутова модуляція сигналів
- •VI. Спектральний аналіз проходження детермінованих сигналів через лінійні кола Лекція 5 (19). Спектральний метод розрахунку реакції лінійного кола на детерміновані сигнали
- •Лекція 6 (20). Зв'язок частотних і часових характеристик лінійних кіл і детермінованих сигналів
- •VII Кореляційний аналіз детермінованих сигналів Лекція 7 (21). Автокореляція і взаємна кореляція сигналів
- •VIII Випадкові сигнали і перетворення їх характеристик в лінійних колах Лекція 8 (22). Випадкові величини
- •Лекція 9 (23). Стаціонарні випадкові величини в часовому і спектральному вимірі
- •Лекція 10 (24). Вузькосмугові детерміновані і випадкові сигнали
- •Лекція 11 (25). Перетворення характеристик випадкового процесу у лінійному колі
- •Список літератури
Лекція 2(16). Спектри неперіодичних сигналів
Спектральне подання неперіодичних сигналів.
Спектр прямокутного відеоімпульса.
Спектри деяких неперіодичних сигналів.
Спектри серії імпульсів.
1. Дуже важливим на практиці є неперіодичні сигнали – напр., поодинокі імпульси, серії імпульсів. Вони не можуть бути подані у вигляді ряду Фур’є. Аби застосувати до них спектральний метод опису, треба вважати ці сигнали періодичними функціями з періодом .
Скористаємося найзручнішою комплексною формою запису ряду Фур’є (див. л. 1):
, (2.1)
де коефіцієнти (комплексні амплітуди) розраховуються як
(2.2)
Підставимо (2.2) в (2.1), позначивши інтервал між частотами сусідніх гармонік , одержимо
(2.3)
При збільшенні періоду амплітуда гармонікзменшується, інтервалзменшується і лінійчастий спектр дедалі “згущується”. У граничному переході при, , і спектр із дискретного стає суцільним. При цьому сума в правій частині (2.3) переходить в інтеграл
(2.4)
Останній вираз являє собою суму нескінченно великого числа гармонічних функцій із нескінченно малими амплітудами і частотами , які проходять увесь спектр віддо. Відтак неперіодичні сигнали характеризуються неперервним, суцільним спектром частот, тоді як періодичні – дискретним, або лінійчастим спектром.
Формулу (2.4) можна подати у такому вигляді:
; (2.5)
(2.6)
Формула (2.5) – пряме перетворення Фур’є; (2.6) – зворотне перетворення Фур’є, і вони часто позначаються як
(2.7)
(2.8)
Пряме перетворення Фур’є дозволяє перейти з часової області подання функції на комплексну частотну площину, а зворотне перетворення, навпаки, – з комплексної частотної площини на часову.
Основні властивості перетворення Фур’є
1.Лінійність .
2.Теорема інтегрування .
3.Теорема диференціювання .
4.Теорема подібності (масштабу) Аби стиснути сигнал у часі, зберігаючи форму, слід розширити його спектр при пропорційному зменшенні амплітуд гармонік.
5.Теорема про зсув (запізнення)
.
6. Теорема про згортку.
,
де згортка спектрів;
–згортка сигналів.
7. Теорема Релея
,
де – спектральна щільність сигналу.
Проводячи аналогію між рядом Фур’є і інтегралом Фур’є:
і ,
можна прийти до відношення
, (2.9)
де .
Через те спектральна щільність має фізичний зміст щільності амплітуд і володіє розмірністю амплітуди, поділеної на герц.характеризує гармоніку частотиза амплітудою і фазою. Із (2.9) випливає, що огинаюча суцільного спектранеперіодичної функції і огинаюча лінійчастого спектра періодичної функціїзбігаються за формою і відрізняються лише масштабом:
Пряме перетворення Фур’є і зворотне перетворення Фур’є мають симетричну природу, і це зумовлено дуальністю частоти і часу.
(2.10)
(2.11)
Інакше кажучи, якщо спектром функції є, то спектром функції є функція
2. Нехай маємо сигнал – поодинокий прямокутний відеоімпульс (рис 2.1)
Рисунок 2.1
(2.12)
Спектральна щільність сигналу (2.12):
(2.13)
де – № арки
АЧС сигналу
(2.14)
ФЧС сигналу
) (2.15)
Рисунок 2.2
АЧС сигналу (рис. 2.2 а) істотно залежить від тривалості імпульсу , але не зв’язаний з . ФЧС (рис. 2.2 б), навпаки, визначається часом запізнення .
3. Радіоімпульс. Нехай маємо поодинокий прямокутний радіоімпульс (рис. 2.3)
Рисунок 2.3
(2.16)
Спектральна щільність сигналу (2.16)
(2.17)
Розпишемо функцію (2.17) окремо для АЧС І ФЧС і для додатніх і для від’ємних частот:
для (2.18)
для (2.19)
АЧС і ФЧС, побудовані за виразами (2.18) і (2.19), наведені на рис. 2.4.
Рисунок 2.4
Спектри прямокутного радіоімпульсу практично відрізняється від спектрів прямокутного відеоімпульсу лише зміщенням по осі частот на величину і зменшенням удвічі модуля спектральної щільності.
Гаусовий імпульс. Цей сигнал (рис 2.5) називається ще дзвоноподібним.
Рисунок 2.5
, (2.20)
де – стала, що визнає тривалість імпульсу.
Спектральна щільність
(2.21)
Внаслідок парності функції (2.20) спектр її є дійсним і також має дзвоноподібну, гаусову форму (рис. 2.6).
Рисунок 2.6
Для гаусового імпульсу, як уже згадувалося, , а саме .Найменша ширина спектра зумовлює найбільшу завадостійкість сигналу.
Експоненційний імпульс.
Часова діаграма сигналу (рис. 2.7) побудована за аналітичним його виразом:
(2.22)
Рисунок 2.7
Спектральна щільність
(2.23)
АЧС (рис. 2.8а)
ФЧС (рис. 2.8б)
Рисунок 2.8
Трикутний відеіомпульс
Рисунок 2.9
Рисунок 2.10
Експоненційний радіоімпульс
Рисунок 2.11
Рисунок 2.12
Дельта-функція. Спектральна щільність дельта-функції (рис. 2.13)
(2.24)
Рисунок 2.13
Рисунок 2.14
Із частотно-часової дуальності перетворення Фур’є випливає: якщо спектром дельта функції є то спектром функціїбуде фунція(рис. 2.14) із нескінченно малою шириною спектра. З цього випливає, що і спектральні функції гармонічного сигналуявляють собою-функції (рис. 2.15).
Рисунок 2.15
Функція Хевісайда
Спектральна щільність функції вмикання
(2.25)
Графічний образ цієї функції показаний на рис. 2.16.
Рисунок – 2.16
У формулі (2.25) перший член правої частини – це спектральна щільність миттєвого перепаду функціїв момент(бічні смуги спектру). Другий член– спектральна щільність постійної складової функції вмикання.
4. Нехай маємо сигнал у вигляді серії з імпульсів (рис. 2.17). Згідно з теоремою лінійності і теореми про зсув для перетворення Фур’є спектральна щільність сигналу
(2.26)
Рисунок 2.17
Модуль спектральної щільності серії імпульсів
(2.27)
Пронормуємо вираз (2.27) через його значення при
, (2.28),
де – модуль нормованої АЧС імпульсу в серії,– функція частоти що не залежить від форми імпульсів і визначається їх числомв серії з періодом їх слідування. Побудуємо функціюі (рис.2.18).
Рисунок 2.18
Як свідчать ці графіки, в інтервалі частот від 0 до чисельник дробу, а відтак функціяприймає нульове значенняразів. Періодичність чисельника функціївразів вища, ніж знаменника. Графіки функціїпелюсткової структури (рис. 2.18); мають великі і малі пелюстки. Висота великих пелюстків . Висота малих пелюстків визначається локальними максимумами функції. Значеннярозраховуються у ході розрахунку функції; вони також табульовані [1]. Так при ; при при; при ; при . Великі пелюстки вдвічі ширші від малих.
Рисунок 2.19
Вираз (2.28) справедливий для серії імпульсів довільної форми. За його допомогою, знаючи АЧС імпульса в серії і вид функції , можна побудувати спектр усієї серії імпульсів простим перемноженням ординат графіків функційі.
Спектри серії імпульсів для різних показані на рис 2.19.
Зі збільшенням (числа імпульсів в серії) великі пелюстки звужуються, висота малих пелюстків зменшується, а їх число зростає; спектр поступово вироджується із суцільного в лінійчастий і приперетворюється у дискретний.