VIII Випадкові сигнали і перетворення їх характеристик в лінійних колах Лекція 8 (22). Випадкові величини

1. Імовірність як предмет теорії імовірності.

2. Випадкові величини і їх характеристики.

3. Випадкові процеси і їх характеристики.

1. Досі ми розглядали детерміновані сигнали, тобто, такі, що їхня математична модель дозволяє передбачити їх миттєві значення у будь-який момент часу. Втім, строго кажучи, детермінованих сигналів у природі не існує. В реальному сигналі стало присутня випадкова, завадова складова – внутрішнього чи зовнішнього походження. Між детермінованим і випадковим сигналами неподоланної різниці немає. Аналіз випадкових сигналів базується на математичному апараті теорії ймовірностей і теорії випадкових процесів.

Випадковий сигнал характеризується тим, що миттєві значення не можуть бути заздалегідь передбачені і розраховані. Ці миттєві значення є випадковими величинами (ВВ). ВВ аналізуються в теорії ймовірностей. Попри вказану непередбаченість, ряд властивостей випадкового сигналу дуже точно описується в імовірнісному сенсі. Наприклад, напруга на затискачах елемента ЕК, що “шумить”, складається з деякого середнього рівня і швидкозмінних випадкових відхилень, які називаються флуктуаціями. В останніх найчастіше спостерігаються відносно невеликі відхилення від середнього рівня; що більше модуль цих відхилень, то рідше вони спостерігаються. Вже в цьому одному виявляється певна статистична закономірність. Маючи дані про імовірності флуктуації різноманітної величини, можна створити математичну модель випадкового коливання, цілком науково сприйнятну. Імовірнісні закони постають тоді, коли фізична система, що породжує випадковий сигнал, являє собою поєднання дуже великого числа менших підсистем, що здійснюють певні індивідуальні рухи, в тій чи іншій мірі незалежні один від одного.

Рисунок 8.1

В основі теорії ймовірностей лежить поняття повної множини “елементарних наслідків”, або випадкових подій .

–це наслідки певного випадкового експерименту. Кожній події ставиться у відповідність дійсне число–імовірність цієї події.

Аксіоми імовірностей

1.

2.

3. Якщо – певна складна подія, то його імовірність

дорівнює сумі всіх елементарних імовірностей.

Імовірність є абстрактною величиною. Емпірично вона оцінюється частотою сприятливих наслідків. Якщо проведено незалежних випробувань, причому віз них спостерігалась подія, то вибіркова оцінка імовірності

, (8.1)

а , тобто.

2. Нехай – випадкова величина (ВВ), тобто які завгодно дійні числа , що приймають випадкові значення з інтервалу. Тодіфункція розподілу ВВ – це невипадкова функціядійсного аргументу.

Якщо приймає будь – які значення, тоє гладкою неспадною функцією, значення якої лежать у інтервалі.

При цьому ;.

Похідна функції розподілу називається щільністю розподілу імовірності .

Очевидно, величина є імовірністю попадання ВВдо інтервалу:

Для неперервної ВВ щільність імовірностіє гладкою функцією. Якщо ж– дискретна ВВ, що приймає фіксовані значенняіз імовірностямивідповідно, то

Щільність імовірності має відповідати вимогам:

1) невід’ємності ;

2) нормування ;

3) якщо задана функція від(наслідку випадкового випробування), то її середнє значення

(8.2)

Із (8.2) випливає, що найбільший внесок у середнє значення дають ті значення , для яких водночас є великими як функція, так і щільність імовірності

Числові характеристики.

1. Математичне очікування (МО)

(8.3)

узагальнює в імовірнісному сенсі поняття середнього арифметичного.

2. Середній квадрат ВВ

(8.4)

3. Дисперсія

(8.5)

При цьому

4. Середньоквадратичне відхилення

(8.6)

Це кількісна оцінка ступеню розсіювання результатів окремих випадкових випробувань відносно вибіркового середнього.

Рівномірний розподіл ВВ. Нехай певна ВВ може приймати значення з інтервалу, причому імовірності попадання до будь-яких внутрішніх підінтервалів однакової шириниоднакові.

Щільність імовірності (рис. 8.2)

Рисунок 8.2

Функція розподілу (рис 8.3)

Рисунок 8.3

Математичне очікування

. Відтак, МО збігається з центром інтервалу (

Дисперсія

Рівномірний розподіл ВВ часто застосовується в теорії погрішностей.

Гаусовий (нормальний) розподіл. Цей розподіл є найважливішим в теорії випадкових сигналів (процесів)

Рисунок 8.4

Щільність імовірності

(8.7)

Вона визначається двома числовими параметрами і.

Графік (рис. 8.4) являє собою дзвоноподібну криву з єдиним максимумом у точці.

У формулі (8.7) – МО,– це дисперсія.визначає положення піку гаусової кривої на осі,визначає величину цього піка і ширину “дзвона”, тобто величину розсіювання, вздовж якої розподілена з позитивною імовірністю гаусова ВВ.

Функція розподілу гаусової ВВ

Здійснивши заміну змінної ,

, (8.8)

де – інтеграл імовірності.

Рисунок 8.5

Графік функції розподілу має вид монотонної кривої, яка змінюється від 0 до 1.

3. Теорія випадкових величин досліджує імовірнісні явища “у статиці”, розглядаючи їх як певні зафіксовані результати експериментів. Для опису сигналів, які є ВВ, що змінюються у часі, методи класичної теорії ймовірностей виявляються недостатніми. Подібні задачі належать до царини теорії випадкових процесів.

Випадковий процес (ВП) – це функція, яка характеризується тим, що в будь – який момент часузначення, яких вона набирає, є випадковими величинами. Поняттявипадковий процес і випадковий сигнал в наших лекціях є синонімами.

Рисунок 8.6

Коли ми вимірюємо (спостерігаємо) на певному проміжку часу миттєві значення випадкового сигналу, то одержуємо лише єдину реалізацію ВП. Теоретично ВП виражається через нескінченну сукупність таких реалізацій, які утворюють статистичний ансамбль. Наприклад, таким ансамблем може бути набір сигналів , які одночасно спостерігаються на виходах зовсім однакових генераторів шуму (рис. 8.6)

Щільність імовірності ВП. Нехай – ВП, заданий ансамблем реалізацій, а– деякий довільний момент часу. Фіксуючи величини, що одержуються в окремих реалізаціях, ми маємоодномірний перетин даного ВП і спостерігаємо ВВ називається одномірною щільністю імовірності ВПу момент часу. Втім одномірної щільності імовірності не досить для того, щоб судити про характер розвитку реалізації ВП у часі.

Рисунок 8.7

Якщо взяти два перетини ВП в момент і, то маємо справу з ВВ, яка репрезентується двомірною щільністю імовірності. Ця щільність повніше описує ВП. Природним узагальненням є-мірний перетин ВП, що приводить до-мірної щільності імовірності. Однак одержання і дослідження цих щільностей пов’язані із серйозним математичними труднощами.

Числові характеристики ВП. На практиці зручніше оперувати з наступними математичними функціями ВП.

МО (8.9)

Це середнє значення ВП в поточний момент часу; усереднення здійснюється по всьому ансамблю реалізацій процесу.

Дисперсія

(8.10)

дозволяє оцінювати ступінь розсіювання миттєвих значень, яких набирають окремі реалізації у фіксованому перетині

Автокореляційна функція (АКФ). Це двомірний центральний момент

(8.11)

АКФ характеризує міру статистичного зв’язку тих ВВ, що спостерігаються при і. Порівнюючи формули (8.10) і (8.11), можна помітити, що при суміщенні перетинівАКФ чисельно дорівнює дисперсії

(8.12)