Физика / 5 ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Законы Кеплера.

Три закона.

1.Траектории планет эллипсы. Солнце находится в одном из фокусов эллипса.

2.Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени покрывает одинаковые площади.

3.Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

На основе законов Кеплера Ньютон установил закон всемирного тяготения для точечных масс:

Гравитационная сила (сила всемирного тяготения) (н м²)/ кг² - гравитационная постоянная. Для протяженных массивных тел величина силы

.

Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением – ускорение свободного падения . В системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует сила тяжести

Пренебрегая вращением Земли можно считать, что сила тяжести, действующая на тело массы в гравитационном поле Земли, и сила гравитационного взаимодействия Земли имматериального тела равны.

.

Земля рассматривается как материальная точка. Начало отсчета в центре Земли. Знак минус означает, что сила тяжести направлена к центру Земли. Гравитационное взаимодействие приводит к силе притяжения.

Вес тела – сила, с которой тело действует на опору вследствие гравитационного притяжения Земли. Если тело двигается в поля тяготения Земли с ускорением , то к нему приложена дополнительная сила. Согласно 2 з. Ньютона

Тогда вес тела определяется как

Анализ: а) пусть , тогда ; б) , тогда - состояние невесомости.

Материальные тела оказывают влияние друг на друга, даже в том случае, когда они не соприкасаются. Это взаимодействие передается посредством поля, которое называется гравитационным или полем тяготения. Из закона всемирного тяготения следует, что на любое тело, которое находится в поле тяготения, действует сила тяготения

.

Величина называется напряженностью гравитационного поля. Она не зависит от . Это силовая характеристика. Поле называется однородным, если его напряженность одинакова во всех точках пространства. Поле называется центральным, если его линии напряженности суть прямые линии, которые пересекаются в одной точке пространства, которая является неподвижной в некоторой инерциальной систем отсчета.

Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения.

Пусть тело массы перемещается в поле тяготения Земли. Тогда элементарная работа

и (удаление от Земли). Знак минус связан с направлением силы и знаком элементарного перемещения вдоль оси . Тогда работа

Ось направлена вдоль радиус вектора. Работа зависит от начальной и конечной точек. Поле тяготения является потенциальным, а сила тяготения – консервативной. В этом случае работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы.

Потенциальная энергия (при условии, что )

Потенциал гравитационного поля

Для него справедливо соотношение

Если тело находится на высоте от поверхности Земли, тогда его потенциальная энергия в поле Земли

где - радиус Земли. Для имеем и получим приближенную формулу для потенциальной энергии тела, массой , в поле Земли.

Космические скорости. Уравнение Мещерского.

Первая космическая скорость, , – минимальная скорость, при которой тело может двигаться по круговой орбите вокруг Земли. При таком движении силы, действующие на тело должны уравновешиваться.

, что дает

Считая, что радиус орбиты приближенно равен радиусы Земли, находим первую космическую скорость:

Вторая космическая скорость, . В этом случае тело становится спутником Солнца. Чтобы тело преодолело притяжение Земли и стало спутником Солнца, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе против силы притяжения Земли.

, отсюда находим

.

Третья космическая скорость, . В этом случае тело может покинуть пределы солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Она равна .

Найдем уравнение движения ракеты. Воспользуемся вторым законом Ньютона

где - результирующая всех сил, которые действуют на ракету. При работе двигателя изменяется масса ракеты за счет сгорания топлива. При этом газы истекают из ракеты со скоростью относительно ракеты. Изменение массы ракеты равно массе сгоревшего топлива. Изменение полного импульса тело (ракета + газы) за время равно

.

Первое слагаемое в квадратных скобках – это изменение импульса за счет изменения массы и скорости ракеты. Второе слагаемое, , это импульс, уносимый газами, истекающими из ракеты. - скорость относительно лабораторной системы отсчета (т.е. относительно Земли). Раскрывая скобки, получим

При выводе пренебрегли слагаемым второго порядка малости - . Поделим это изменение импульса на время, за которое оно произошло:

Отсюда находим изменение импульса самой ракеты

.

Это уравнение Мещерского. - реактивная сила.