Материалы по инженерной графике / Inzhenernaya_i_kompyuternaya_grafika_ucheb_posobie
.pdf
Рис. 24. Горизонтально проецирующая плоскость:
а) аксонометрическая проекция; б) эпюр
Плоскость, |
перпендикулярная фронтальной плоскости проекций |
(β П2, АВС β ), |
называется фронтально проецирующей плоскостью |
(рис. 25). Фронтальной проекцией плоскости β является прямая линия, совпадающая со следом foβ .
21
Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций ( γ П3), называется профильно проецирующей плоскостью (рис. 26). Профильной проекцией такой плоскости является прямая линия, совпадающая со следом плоскости ( poγ ).
Рис. 25. Фронтально |
Рис. 26. Профильно |
проецирующая плоскость |
проецирующая плоскость |
Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций, − горизонтальная плоскость. Любая геометрическая фигура, принадлежащая этой плоскости, проецируется на П1 без искажения, а на плоскости П2 и П3 проецируется в прямые − следы плоскости.
Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной плоскостью.
Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной плоскостью.
Главные линии плоскости. Среди прямых линий, которые могут быть расположены в плоскости, особое место занимают четыре вида прямых.
Горизонтали (h) – прямые, лежащие в плоскости (АВС) и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рис. 27). Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Ох (h′′ Ох).
Фронтали (f) – прямые, расположенные в плоскости (АВС) и параллельные фронтальной плоскости проекций ( f α, f ′ Ох).
Профильные прямые (p) – прямые, находящиеся в данной плоскости и параллельные профильной плоскости проекций.
Следует заметить, что следы плоскости тоже относятся к главным линиям. Горизонтальный след плоскости – это ее нулевая горизонталь, фронтальный след – нулевая фронталь. Следы двух прямых плоскости определяют положение одноименных следов плоскости. Так, на рисунке 28 показана плоскость α , заданная двумя пересекающимися прямыми а и в.
22
Точки А и В – фронтальные следы, а точки С и D – горизонтальные следы этих прямых. Тогда фронтальный след плоскости f0α определяется прямой АВ, а горизонтальный h0α – прямой СD.
Рис. 27. Горизонталь |
Рис. 28. Построение |
и фронталь плоскости АВС |
следов плоскости |
1.2.2. Геометрические объекты:
пирамида, призма, цилиндр, конус и другие
Пирамида – это многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной (рис. 29). Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина ее отсекается плоскостью.
Многогранником называется геометрический объект, ограниченный совокупностью плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).
Построение графического отображения многогранника сводится к построению проекций его вершин и ребер. Кратко охарактеризуем геометрические свойства некоторых многогранников и выполним их проекции.
Призма – многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники со взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы (рис. 30). Название призмы зависит от того, какой многоугольник лежит в ее основании: если треугольник, то призма – треугольная, если четырехугольник, то – четырехугольная и т.д. Если основанием призмы является параллелограмм, то такая призма – параллелепипед. Призма называется прямой, если ее ребра перпендикулярны плоскости основания. Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой, называется кубом.
23
Рис. 29. Пирамида: |
Рис. 30. Призма: |
а) проекционный чертеж; |
а) проекционный чертеж; |
б) аксонометрия |
б) аксонометрия |
|
|
Призматоид – многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются вершинами многоугольников, лежащих в основаниях (рис. 31).
Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильным. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой. Существует пять типов правильных многогранников, свойства которых описал более двух тысяч лет назад древнегреческий философ Платон, чем и объясняется их общее название: платоновые тела.
Тетраэдр – правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками. Это правильная треугольная пирамида.
Гексаэдр – правильный шестигранник. Это куб, ограниченный шестью равными квадратами.
Октаэдр – правильный восьмигранник, ограниченный восемью равносторонними и равными между собой треугольниками, соединенными по четыре у каждой вершины (рис. 32).
Икосаэдр – правильный двадцатигранник, ограниченный двадцатью равносторонними и равными треугольниками, соединенными по пять у каждой вершины (рис. 33).
Додекаэдр – правильный двенадцатигранник, ограниченный двенадцатью правильными и равными пятиугольниками, соединенными по три у каждой вершины (рис. 34).
24
Рис. 31. Призматоид: |
|
Рис. 32. Октаэдр: |
а) проекционный чертеж; |
|
а) проекционный чертеж; |
б) аксонометрия |
|
б) аксонометрия |
|
|
|
Рис. 33. Икосаэдр: |
Рис. 34. Додекаэдр: |
а) проекционный чертеж; |
а) проекционный чертеж; |
б) аксонометрия |
б) аксонометрия |
Кроме правильных выпуклых многогранников, существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Достраивая пересечения продолжений граней платоновых тел, можно получать звездчатые многогранники.
Цилиндр – геометрический объект, ограниченный цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями, называемыми основаниями. В зависимости от угла наклона образующих цилиндрической поверхности к основанию различают прямой цилиндр (угол наклона 90°) и наклонный (рис. 35).
Конус – геометрический объект, ограниченный конической поверхностью и плоскостью, называемой основанием или двумя плоскостями (усеченный конус). Конус может быть прямым (рис. 36) или наклонным.
25
Рис. 35. Наклонный цилиндр: |
|
Рис. 36. Прямой круговой конус: |
а) проекционный чертеж; |
|
а) проекционный чертеж; |
б) аксонометрия |
|
б) аксонометрия |
|
|
|
|
|
|
Шар – геометрический объект, образованный вращением круга вокруг его диаметра (рис. 37). При сжатии или растяжении шар преобразуется в эллипсоид, который может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение происходит вокруг большой оси, то эллипсоид называется вытянутым; если вокруг малой – сжатым, или сфероидом.
Тор – геометрический объект, образованный при вращении круга вокруг оси, не проходящей через его центр (рис. 38).
Рис. 37. Шар: |
Рис. 38. Тор: |
а) проекционный чертеж; |
а) проекционный чертеж; |
б) аксонометрия |
б) аксонометрия |
26
1.2.3. Позиционные и метрические задачи
Позиционные задачи. К ним относятся задачи, решения которых позволяют определить взаимное расположение геометрических объектов.
Все многообразие позиционных задач может быть отнесено к трем группам:
–задачи на построение линии пересечения поверхностей;
–задачи на определение точек пересечения линии с поверхностью;
–задачи на принадлежность точки линии или поверхности. Решение этих задач сводится к установлению принадлежности про-
екции некоторой точки проекции линии. Далее в соответствии со свойством ортогонального проецирования: если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой – устанавливаем принадлежность точки линии, поверхности или двум поверхностям одновременно (линии пересечения).
Взаимное расположение точки и прямой. Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой (на основе свойства ортогонального проецирования). Из четырех предложенных на рисунке 39 точек только одна точка С лежит на прямой АВ.
Взаимное расположение точки и плоскости. Если точка принадлежит плоскости, то произвольно задать можно только одну любую проекцию точки. Рассмотрим пример построения проекции точки А, принадлежащей плоскости общего положения, заданной двумя параллельными прямыми α (n k) (рис. 40). Для этого произвольно зададим проекцию точки А на плоскость П2. Через точку А″ проведем проекцию прямой m″, пересекающую прямые n
иk в точках С и В (С α, В α m α). Построив проекции точек С′
иВ′, определяющие положение m′, находим горизонтальную проекцию
точки А (А′ m′, m α А α).
Рис. 39. Взаимное расположение точки и прямой
Рис. 40. Точка, принадлежащая плоскости
27
Точка и линия, принадлежащие поверхности. Принадлежность точки поверхности представлена на рисунке 41. Поверхность (Ф) задана семейством линий (l1, 12, 13, l4); точка 1 l1 (1′ l1′), точка 2 12 (2′ l2′),
точка |
3 l3 |
(3′ l3′), точка 4 l4 |
(4′ |
l4′), |
следовательно, прямая |
m Ф (m′ Ф′), а так как точка К m (К′ m′), то точка K Ф (К′ Ф′).
Взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны три случая:
−прямая принадлежит плоскости;
−прямая параллельна плоскости;
−прямая пересекает плос-
кость.
Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат той же плоскости. На рисунке 42а плоскость задана двумя пересекающимися прямыми n и k (n′∩k′; n″∩k″); точки В и С принадлежат этой плоскости (В′ n′ и С′ k′,
В″ n″ и С″ k″), но ВС m (В′С′ m′
и В″С″ m″), значит, и m принадлежит заданной плоскости.
Прямая (n) принадлежит плоскости (m k), если имеет с плоскостью одну общую точку (С) и параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости (n AB), (рис. 42б).
Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.
Для того чтобы определить взаимное расположение прямой (а) и плоскости (α), через прямую (а) 28
Рис. 41. Точка и линия, принадлежащие поверхности
Рис. 42. Прямая, принадлежащая плоскости, заданной прямыми:
а) пересекающимися; б) параллельными
необходимо провести вспомогательную секущую плоскость (γ) и установить относительное положение двух прямых (а и в), последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости (γ) и данной плоскости (α) (рис. 43, 44а, б).
Если обе прямые совпадают, то прямая лежит в заданной плоскости.
Параллельность |
прямых ука- |
|
|
жет на параллельность прямой и за- |
|
||
данной плоскости. |
|
|
|
При решении вопроса о парал- |
|
||
лельности прямой линии и плоско- |
|
||
сти необходимо опираться на из- |
Рис. 43. Взаимное |
||
вестное положение |
стереометрии: |
||
прямая параллельна плоскости, если |
расположение прямой |
||
и плоскости |
|||
она параллельна одной из прямых, |
|||
|
|||
лежащих в этой плоскости (рис. 43). |
|
||
Проекция прямой на горизонтальную плоскость проекций b′ совпадает с проекцией а′ и со следом дополнительной плоскости γ. Проекция прямой
b″ |
параллельна a″, следовательно, прямая а параллельна плоскости α |
( |
BCD). |
|
Пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая пересекает |
заданную плоскость (a пересекает α в точке К, см. рис. 44). |
|
|
Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой и плоско- |
сти на эпюре (рис. 44б). Дана плоскость γ ( BCD) и прямая а. Необходимо найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.
1.Через горизонтальную проекцию прямой а′ проводится горизонтальный след вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости α, тогда а α.
2.Горизонтальный след плоскости α пересекает проекцию плоскости
γ( B′C′D′) в точках 1′ и 2′. Для нахождения фронтальной проекции точек 1″ и 2″ проводятся линии связи до пересечения с одноименными сторонами BCD.
3.Прямые а и 1-2 лежат в одной вспомогательной плоскости α и не параллельны, а на фронтальной проекции наглядно видна точка их пересе-
чения К″.
29
4.Фронтальная проекция линии пересечения плоскостей 1″-2″ пересекает фронтальную проекцию а″ в точке К″, которая и является фронтальной проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью γ ( BCD),
спомощью линии связи находим горизонтальную проекцию К′.
5.Методом конкурирующих точек определяется видимость прямой а
по отношению к плоскости γ ( BCD). Конкурирующими точками являются точки 3 и 4 (они имеют одинаковое значение координаты z). Точка 3 находится ближе к наблюдателю и дальше от плоскости проекций П2, следовательно, на фронтальной проекции 3″ перекрывает 4″, а К″3″ будет невидима, так как 4 а.
Рис. 44. Прямая пересекает плоскость:
а) рисунок; б) эпюр
Взаимное расположение двух прямых. Параллельные прямые. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций. В общем слу-
30