Материалы по инженерной графике / Inzhenernaya_i_kompyuternaya_grafika_ucheb_posobie

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N (рис. 3). Проекция кривой представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций Пi. Коническую поверхность К образуют лучи, и при проецировании геометрического объекта, например, сферы (рис. 4), полученную линию пересечения ki принято называть очерковой (или очерком).

Принцип центрального проецирования используется в фотоаппаратах и кинокамерах. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны, и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры.

Параллельное проецирование − частный случай центрального проецирования − выполняется при следующих условиях:

−центр проецирования удален в бесконечность;

−проецирующие лучи рассматриваются как параллельные проецирующие прямые;

−положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S. В этом случае

полученное изображение называют параллельной проекцией объекта (рис. 5).

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

−проекции параллельных прямых параллельны между собой;

−отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

−отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций;

−плоская форма (фигура), параллельная плоскости проекции, проецируется на нее в натуральную величину.

11

1.2. Свойства и особенности ортогонального проецирования

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования, и, кроме того, для него справедлива

теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого угла.

При составлении чертежей используется ортогональное проецирование по методу Монжа – ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 6): П1 – горизонтальную и П2 – фронтальную. Плоскость П1 пересекает плоскость П2 по линии Ох, кото-

модель объекта любой сложности рассматривается как геометрическое место точек, по взаимному расположению которых можно составить представление о форме отображаемого объекта. По расположению точек относительно системы координат судят о положении объекта в пространстве. Таким образом, рассмотрев процесс проецирования точки на плоскости П1 и П2, можно составить алгоритм выполнения чертежа объекта. При проецировании точка принимается за физический объект.

12

1.2.1. Отображение на комплексном чертеже точки,

прямой и плоскости

Точка. При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость (рис. 7). Ортогональные проекции точки А′ и А′′ называются соответственно горизонтальной проекцией и фронтальной проекцией (рис. 7 и 8). Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси Ох и пересекающих эту ось в одной и той же точке АХ (так как проецирование прямоугольное). Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

Справедливо и обратное, т.е. если на плоскостях проекций даны точки А′ и А″, расположенные на прямых, пересекающих ось Ох в точке Ах под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А. Расстояние А′АХ между горизонтальной проекцией точки и осью Ох равно расстоянию от точки А до плоскости П2, а расстояние А″АХ между фронтальной проекцией точки до оси Ох равно расстоянию от точки А до плоскости П1.

ОА

В соответствии с декартовой системой координат эти расстояния равны координатам точки А и называются: А′АХ − ордината; А′′АХ − аппликата. Координаты точки – это величины, которые определяют положение этой точки в пространстве, а также на плоской или кривой поверхности.

Нередко, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью − профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2 (рис. 9). Проекция точки на эту плоскость обозначается А′′′ (рис. 9, 10). В этом случае плоскости проекций делят пространство на октанты. В первом октанте координаты точек положительные (рис. 9, табл. 3).

13

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций вращают плоскости П1 и П3 соответственно вокруг осей х и z до совмещения с плоскостью П2. Плоскости проекций, пересекаясь, образуют три линии пересечения – оси Ох, Оу и Оz. В соответствии с декартовой системой координат на оси Оz откладывают координату z; на оси Оу – координату у; на оси Ох – координату х.

Таблица 3

Знаки координат точек по октантам

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций: одна из ее координат равна нулю. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

Если у точек равны две одноименные координаты, то эти точки называются конкурирующим. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. Соответствующие (одноименные) проекции конкурирующих точек совпадают (рис. 11).

14

Прямая. Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она называется прямой общего положения (рис. 12, 13).

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня. Каждая из них проецируется на параллельную ей плоскость проекций без искажения, т.е. длина отрезка равна длине его проекции на эту плоскость.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой. Для любой пары точек такой прямой справедливо: zА = zВ = А′′В′′ Ох, А′′′В′′′ Оу, А′В′ = АВ (рис. 14, 15).

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной, в этом случае: yА = yВ = А′В′ Ох, А′′′В′′′ Оz, А′′В′′ = АВ (рис. 16).

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (рис. 17), т.е. для пары точек, принадлежащей этой прямой, справедливо: хА = хВ = А′В′ Оу, А′′В′′ Оz, А′′′В′′′ = АВ.

15

Следы прямой являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта (рис. 19а).

Плоскость. На чертеже плоскость отображается в виде проекций:

–трех точек, не лежащих на одной прямой линии (рис. 22а);

–прямой линии и точки, не принадлежащей этой прямой (рис. 22б);

–двух пересекающихся прямых (рис. 22в);

–двух параллельных прямых (рис. 22г);

–следов плоскости – прямых линий, по которым заданная плос-

кость пересекается с плоскостями проекций (рис. 22д).

Различное положение плоскости относительно плоскостей проекций. Плоскость общего положения (не перпендикулярна ни одной плоскости проекций) имеет три следа (рис. 23): горизонтальный (h0α), фронтальный (f0α), профильный (p0α). Следы плоскости общего положения пересекаются на осях в точках xα, yα, zα. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя плоскостями проекций. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

Плоскость частного положения. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (αП1), называется горизонтально проецирующей плоскостью (рис. 24).

19

Рис. 22. Графическое отображение плоскости в виде проекций:

а) трех точек; б) точки и прямой; в) пересекающихся прямых; г) двух параллельных прямых; д) следов плоскости