82. Рекурсия
Функции внутри своего тела могут вызывать сами себя. Такой вызов называется рекурсией. На основе рекурсии можно строить очень интересные алгоритмы обработки данных.
Рассмотрим функцию возведения вещественного значения D в целую положительную степень P. Очевидная реализация этой функции основана на использовании цикла:
А вот та же самая функция, реализованная на основе рекурсии:
double Pow (double D, unsigned P)
{
if (P)
return Pow ( D, P – 1 ) * D;
else
return 1;
}
Основанием для рекурсии в этом примере послужило следующее рекуррентное соотношение:
Более сложный пример рекурсии основан на следующем рекуррентном соотношении (обычная реализация этого примера приведена в разделе 5.1 конспекта):
Через рекурсию это рекуррентное соотношение реализуется так:
double T (unsigned n, double x)
{
switch (n)
{
case 0:
return 1;
case 1:
return x;
default:
return 2 * x * T (n - 1, x) - T (n - 2, x);
}}
Как видно из этих примеров алгоритм, реализуемый через рекурсию, выглядит более компактным и понятным по сравнению с обычной реализацией. С точки зрения эффективности, реализацию этих примеров через рекурсию вряд ли можно считать более эффективной, чем обычную реализацию. Это объясняется дополнительными затратами времени на многократный вызов функций и дополнительными затратами памяти (стека) на передачу аргументов.
Однако в ряде случаев использование рекурсии позволяет достичь существенного положительного эффекта.
Рассмотрим следующий пример: необходимо написать функцию для вычисления биномиальных коэффициентов:
n
>= 0, 0 <= m
<= n.
Значение биномиального коэффициента определяет число различных вариантов выбора m объектов из n объектов (как говорят, число сочетаний из n по m).
Основные свойства биномиальных коэффициентов:
Максимальное значение биномиального коэффициента достигается при m = n / 2.
Очевидная реализация функции основана на использовании циклов для вычисления числителя и знаменателя биномиального коэффициента и нахождения частного от их деления:
unsigned C(int n, int m)
{
if (m > n / 2)
m = n - m;
unsigned a = 1, b = 1;
for (int i = n; i >= n - m + 1; -- i)
a *= i;
for (int i = 1; i <= m; ++ i)
b *= i;
return a / b;
}
Нетрудно заметить, что этот алгоритм быстро приводит к выходу значений числителя или знаменателя за пределы диапазона значений типа данных unsigned. И действительно, эксперименты с этим вариантом функции показывают, что точное вычисление биномиальных коэффициентов возможно только при n < 17.
Найдем следующее соотношение:
.
То есть:
.
Тогда справедливо следующее рекуррентное соотношение, позволяющее вычислять очередное значение биномиального коэффициента через его предыдущее значение:
Это рекуррентное соотношение реализуется с помощью следующей рекурсивной функции:
unsigned int C(unsigned int n, unsigned int m)
{
if (m > n / 2)
m = n - m;
if (m == 0)
return 1;
else
return C(n, m - 1) * (n - m + 1) / m ;
}
Этот вариант функции позволяет точно вычислять значения биномиальных коэффициентов при n < 31. Диапазон решения расширен почти в два раза.