Задача 2

Условие задачи: Специалисту авиаремонтного завода для заключения договора о поставке запасных частей из пяти городов необходимо побывать в каждом из них один раз и вернуться в исходный пункт маршрута.

Таблица 7. Исходные данные. Расстояния в км между городами.

Столбцы Строки	1	2	3	4	5
1	__	424	340	355	575
2	424	__	304	557	307
3	340	304	__	656	179
4	355	557	656	__	740
5	575	307	179	740	__

Таблица 8. Исходные данные для расчета затрат на поездку.

Вариант	Виды транспорта
	Железнодорожный						Автомобильный
	Кол-во вагонов	Время ожидания (мин.)	Кол-во мест в вагоне	Скорость (км/ч)		Интервал движения (мин.)		Кол-во мест в салоне	Скорость (км/ч)
3	14	15	62		65	30		34	85

Формирование базы данных:

Исходя из данных Таблицы 7, можно сделать вывод, что на данных маршрутах целесообразнее использовать либо железнодорожный транспорт, либо автомобильный.

Автомобильный транспорт (междугородние автобусы, личные автомобили и др.) имеет некоторые особенности и преимущества перед другими видами транспорта. Например:

- высокая маневренность и подвижность;

- способность обеспечивать доставку «от двери до двери» без дополнительных перевалок и пересадок в пути следования;

- высокая скорость доставки, особенно при перевозках на короткие расстояния;

Себестоимость перевозок на автомобильном транспорте, гораздо выше чем на железнодорожном.

Железнодорожный транспорт является основным звеном в единой транспортной системе России. Он играет важную роль в удовлетворении потребности населения в передвижении. Преимуществами данного вида транспорта являются, например:

- регулярность перевозок независимо от времени года, времени суток, климатических условий;

- большая скорость перевозки пассажиров и массивных грузов;

- сравнительно невысокая себестоимость перевозки

Пассажир стремится выбрать наиболее выгодное средство передвижения. Выбор производится с учетом особенностей транспорта и требований пассажиров к качеству обслуживания, а именно:

- безопасности;

- уровня организации движения транспортных средств во времени (частота, регулярность и т.д.);

- затрат времени на поездку с учетом ожидания или скорость передвижения пассажиров;

- комфортабельность и др.

Известно, что безопасность перевозок железнодорожным транспортом значительно выше, чем автомобильным.

Согласно Таблицы 2 (Приложение 3) видно, что скорость движения автомобильного транспорта выше скорости движения транспорта железнодорожного. Интервал движения у автомобильного транспорта выше.

1. Расчеты для железнодорожного транспорта.

   1. Расчет затрат времени пассажира на поездку при использовании железнодорожного транспорта:

Затраты времени пассажира на поездку рассчитываются согласно формулы:

= + , где

–протяженность маршрута;

–скорость передвижения;

–время, затраченное в начальных и конечных пунктах;

–время ожидания;

здесь: – количество посадочных мест в вагоне;

–количество вагонов в железнодорожном составе;

–коэффициент использования посадочных мест (принимаю равным 0,75);

, – производительность обслуживания пассажиров при посадке и высадке в (из) вагон (а).

Участки маршрута:

1-2: = 424/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 6,89 (ч);

1-3: = 340/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 5,59 (ч);

1-4: = 355/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 5,82 (ч);

1-5: = 575/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 9,21 (ч);

2-3: = 304/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 5,04 (ч);

2-4: = 557/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 8,93 (ч);

2-5: = 307/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 5,08 (ч);

3-4: = 656/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 10,45 (ч);

3-5: = 179/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 3,12 (ч);

4-5: = 740/65 + 62*14*0,75/3000 + 62*14*0,75/4500 + 15/60 = 11,75 (ч);

2. Расчет стоимости пассажиро-часов пребывания пассажира в пути:

Стоимость пассажиро-часов пребывания пассажира в пути (- это показатель, который характеризует потенциальные потери пассажира из-за пассивного пребывания в пути. По величине затрат, которые можно рассматривать как упущенная выгода клиента или его работодателя, можно осуществлять выбор транспорта по целям поездки. Чем меньше потерь от пассивного пребывания в транспорте во время движения, тем выгоднее способ поездки.

Стоимость пассажиро-часов пребывания пассажира в пути (рассчитывается по следующей формуле:

, где

–стоимость пассажиро-часа (принимаю равной 1000 руб);

–число пассажиров следующих по i-му варианту перевозки;

–продолжительность поездки пассажира (была рассчитана выше);

–коэффициент транспортной усталости пассажира при поездке (принимаю равным 1,3).

Участки маршрута:

1-2: = 1000 * 1 * 6,89 * 1,3 = 8957 (руб.);

1-3: = 1000 * 1 * 5,59 * 1,3 = 7267(руб.);

1-4: = 1000 * 1 * 5,82 * 1,3 = 7566 (руб.);

1-5: = 1000 * 1 * 9,21 * 1,3 = 11973 (руб.);

2-3: = 1000 * 1 * 5,04 * 1,3 = 6552 (руб.);

2-4: = 1000 * 1 * 8,93 * 1,3 = 11609 (руб.);

2-5: = 1000 * 1 * 5,08 * 1,3 = 6604 (руб.);

3-4: = 1000 * 1 * 10,45 * 1,3 = 13585 (руб.);

3-5: = 1000 * 1 * 3,12 * 1,3 = 4056 (руб.);

4-5: = 1000 * 1 * 11,72 * 1,3 = 15236 (руб.);

3. Расчет материальных затрат пассажира на поездку (согласно стоимости билета):

Участки маршрута:

1-2: 70 (руб.) 1-5: 77 (руб.) 2-5: 42 (руб.) 4-5: 56 (руб.)

1-3: 47 (руб.) 2-3: 48 (руб.) 3-4: 56 (руб.)

1-4: 49 (руб.) 2-4: 80 (руб.) 3-5: 31 (руб.)

4. Расчет абсолютных затрат пассажира на поездку:

Абсолютные затраты пассажира на поездку рассчитываются по формуле:

, где

–материальные затраты на поездку по рассматриваемому маршруту с использованием выбранных видов транспорта;

–ранее рассчитанная стоимость пассажиро-часов в пути.

Участки маршрута:

1-2: (руб.)

1-3: = 47 + 7267 = 7314 (руб.)

1-4: = 49 + 7566 = 7615 (руб.)

1-5: = 77 + 11973 = 12050 (руб.)

2-3: = 48 + 6552 = 6600 (руб.)

2-4: = 80 + 11609 = 11689 (руб.)

2-5: = 42 + 6604 = 6646 (руб.)

3-4:= 56 + 13585 = 13641 (руб.)

3-5: =31+ 4056 = 4087 (руб.)

4-5: = 56 + 15236 = 15292 (руб.)

2. Расчеты для автомобильного транспорта.

   1. Расчет затрат времени пассажира на поездку при использовании автомобильного транспорта:

Расчет затрат времени как и в случае железнодорожного транспорта рассчитывается по формуле:

= + , где считается следующим образом:

, где

- максимальное и минимальное время ожидания очередного автобуса (ч);

- интервал движения автобуса (ч).

для расчета принимаю равным 0,75.

Участки маршрута:

1-2: = 424/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 5,92 (ч);

1-3: = 340/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 4,68 (ч);

1-4: = 355/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 4,85 (ч);

1-5: = 575/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 7,44 (ч);

2-3: = 304/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 4,26 (ч);

2-4: = 557/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 7,23 (ч);

2-5: = 307/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 4,29 (ч);

3-4: = 656/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 8,39 (ч);

3-5: = 179/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 2,78 (ч);

4-5: = 740/85 + 34*0,75/60 + 34*0,75/100 + 0,5*30/60 = 9,38 (ч);

2. Расчет стоимости пассажиро-часов пребывания пассажира в пути:

принимаю равным 1,3. Формула для расчета приведена выше:

Участки маршрута:

1-2: = 1000 * 1 * 5,92 * 1,3 = 7696 (руб.);

1-3: = 1000 * 1 * 4,68 * 1,3 = 6084 (руб.);

1-4: = 1000 * 1 * 4,85 * 1,3 = 6305 (руб.);

1-5: = 1000 * 1 * 7,44 * 1,3 = 9672 (руб.);

2-3: = 1000 * 1 * 4,26 * 1,3 = 5538 (руб.);

2-4: = 1000 * 1 * 7,23 * 1,3 = 9399 (руб.);

2-5: = 1000 * 1 * 4,29 * 1,3 = 5577 (руб.);

3-4: = 1000 * 1 * 8,39 * 1,3 = 10907 (руб.);

3-5: = 1000 * 1 * 2,78 * 1,3 = 3614 (руб.);

4-5: = 1000 * 1 * 9,38 * 1,3= 12194 (руб.);

3. Расчет материальных затрат пассажира на поездку (согласно стоимости билета):

Участки маршрута:

1-2: 75 (руб.) 1-5: 94 (руб.) 2-5: 51 (руб.) 4-5: 68 (руб.)

1-3: 51 (руб.) 2-3: 143 (руб.) 3-4: 68 (руб.)

1-4: 60 (руб.) 2-4: 97 (руб.) 3-5: 37 (руб.)

4. Расчет абсолютных затрат пассажира на поездку:

Формула для расчета приведена выше.

Участки маршрута:

1-2: 75 + 7696 = 7771 (руб.)

1-3: = 51 + 6084 = 6135 (руб.)

1-4: = 60 + 6305 = 6365 (руб.)

1-5: =94 + 9672 = 9766 (руб.)

2-3: =143 + 5538 = 5681 (руб.)

2-4: = 97 + 9399 = 9496 (руб.)

2-5: = 51 + 5577 = 5628 (руб.)

3-4:=68 + 10907 = 10975 (руб.)

3-5: = 37 + 3614 = 3651 (руб.)

4-5: = 68 + 12194 = 12262 (руб.)

Все необходимые расчеты произведены. Заношу результаты расчетов в Таблицу 9.

Таблица 9. Абсолютные затраты пассажира на поездку с использованием железнодорожного и автомобильного транспорта (руб.).

Железнодорожный транспорт		1	2	3	4	5
	1	-	9027	7134	7615	12050
	2	9027	-	6600	11689	6646
	3	7134	6600	-	13641	4087
	4	7615	11689	13641	-	15292
	5	12050	6646	4087	15292	-
Автомобильный транспорт		1	2	3	4	5
	1	-	7771	6135	6365	9766
	2	7771	-	5681	9496	5628
	3	6135	5681	-	10975	3651
	4	6365	9496	10975	-	12262
	5	9766	5628	3651	12262	-

Анализируя расчеты и Таблицу 9 можно прийти к выводу, что для поездки специалиста авиаремонтного завода по выбранным маршрутам целесообразно использовать автомобильный транспорт. Так как стоимость билетов на автомобильном транспорте ниже. Также при использовании автомобильного транспорта меньше затраты времени на нахождение в пути, ниже стоимость пассажиро-часов пребывания пассажира в пути, а следовательно (что и видно в Таблице 9) ниже абсолютные затраты пассажира на поездку. Значит, для поездки специалиста авиаремонтного завода нужно выбрать автомобильный транспорт (автобус).

Теперь необходимо решить задачу коммивояжера. Коммивояжер должен побывать в каждом городе один раз и вернуться в исходный пункт маршрута, затратив при этом минимум денег. Для решения задачи необходимо использовать ПС-метод. Не допустимо, чтобы коммивояжер из некоторого города возвращался туда обратно. Поэтому все диагональные элементы должны быть равны нулю. Чтобы добиться этого, достаточно положить их очень большими (ввести так называемые штрафные функции). Коэффициент при этих элементах должен быть больше любого другого элемента целевой функции. Принимаю значение диагональных элементов равное 13 500. С учетом вышесказанного и Таблицы 9, составляю Таблицу 10 на основе которой, будет решаться задача о назначениях.

Таблица 10.

	1	2	3	4	5
1	13000	7771	6135	6355	9766
2	7771	13000	5681	9496	5628
3	6135	5681	13000	10975	3651
4	6365	9496	10975	13000	12262
5	9766	5628	3651	12262	13000

Начнем со сравнения разности коэффициентов целевой функции основной и базовых строк.

1. Разности коэффициентов первой строки со второй (1-2):

1 столбец: 13000-7771=5229

2 столбец: 7771-13000=-5229

3 столбец: 6135-5681=454

4 столбец: 6365-9496=-3131

5 столбец: 9766-5628=4138

Наибольшая разность равна 5229 – в первом столбце, а значит элемент х_11, не входит в оптимальный план, т.е. х₁₁ = 0. Следующая по величине разность равна 4138 (в пятом столбце). Тогда с₁₁ = 7771+4138=11909.

Новое значение коэффициента вписываю в туже клетку (Таблица 10) и выделяю жирным шрифтом. Аналогично будут занесены и другие новые значения коэффициентов.

2. Разности коэффициентов первой строки с третьей (1-3):

1 столбец: 11909-6135=5774

2 столбец: 7771-5681=2090

3 столбец: 6135-13000=-6865

4 столбец: 6365-10975=-4610

5 столбец: 9766-3651=6115

Наибольшая разность равна 6115 – в пятом столбце. Элемент х₁₅ не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность, равна 5774(в первом столбце). Тогда новое значение с₁₅ = 3651+5774=9425

3. Разности коэффициентов первой строки с четвертой (1-4):

1 столбец: 11909-6365=5544

2 столбец: 7771-9496=-1725

3 столбец: 6135-10975=-4840

4 столбец:6365-13000=-6635

5 столбец:9425-12262=-2837

Наибольшая разность равна 5544– в первом столбце. Но элемент х₁₁ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₁₁. Следующая по величине разность, равна -1725 (во втором столбце). Тогда новое значение с₁₁ = 6365-1725=4640.

4. Разности коэффициентов первой строки с пятой (1-5):

1 столбец: 4640-9766=-5126

2 столбец: 7771-5628=2143

3 столбец: 6135-3651=2484

4 столбец: 6365-12262=-5897

5 столбец: 9425-13000=-3575

Наибольшая разность равна 2484 – в третьем столбце, а значит элемент х₁₃, не входит в оптимальный план, т.е. х₁₃ = 0. Следующая по величине разность равна 2143 (во втором столбце). Тогда с₁₃ =2484+2143=4627.

Теперь сравним вторую строку с остальными.

1. Разности коэффициентов второй строки с первой (2-1):

1 столбец: 7771-4640=3131

2 столбец: 13000-7771=5229

3 столбец: 5681-4627=1054

4 столбец: 9496-6365=3131

5 столбец: 5628-9425=-3797

Наибольшая разность равна 5229 – во втором столбце, а значит элемент х₂₂, не входит в оптимальный план, т.е. х₂₂ = 0. Следующая по величине разность равна 3131 (в первом столбце). Тогда с₂₂ =7771+3131=10902.

2. Разности коэффициентов второй строки с третьей (2-3):

1 столбец: 7771-6135=1636

2 столбец: 10902-5681=5221

3 столбец: 5681-13000=-7319

4 столбец: 9496-10975=-1479

5 столбец: 5628-3651=1977

Наибольшая разность равна 5221- во втором столбце, а значит элемент х_22, не входит в оптимальный план, т.е. х₂₂ = 0. Следующая по величине разность равна 1977 . Тогда с₂₂ =5681+1977=7658.

3. Разности коэффициентов второй строки с четвертой (2-4):

1 столбец: 7771-6365=1406

2 столбец: 7658-9496=-1838

3 столбец: 5681-10975=-5294

4 столбец: 9496-13000=-3504

5 столбец: 5628-12262=-6634

Наибольшая разность равна 1406 – в первом столбце. Но элемент х₂₁ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₂₁. Следующая по величине разность, равна -1838.

Тогда новое значение с₂₁ = 6365-1838=4527.

4. Разности коэффициентов второй строки с пятой (2-5):

1 столбец: 4527-9766=-5239

2 столбец: 7658-5628=2030

3 столбец: 5681-3651=2030

4 столбец: 9496-12262=-2766

5 столбец: 5628-13000=-7372

Так как максимальная разность отмечается в некоторых столбцах, никакого вывода сделать нельзя.

Теперь сравним третью строку с остальными.

1. Разности коэффициентов третьей строки с первой (3-1):

1 столбец: 6135-4640=1495

2 столбец: 5681-7771=-2090

3 столбец: 13000-4627=8373

4 столбец: 10975-6365=4610

5 столбец: 3651-9425=-5774

Наибольшая разность равна 8373 – в третьем столбце, а значит элемент х_33, не входит в оптимальный план, т.е. х₃₃ = 0. Следующая по величине разность равна 4610 . Тогда с₃₃ = 6135+4610=10745.

2. Разности коэффициентов третьей строки со второй (3-2):

1 столбец: 6135-4527=1608

2 столбец: 5681-7658=-1977

3 столбец: 10745-5681=5064

4 столбец: 10975-9496=1479

5 столбец: 3651-5628=-1977

Наибольшая разность равна 5064 – в третьем столбце. Но элемент х₃₃ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₃₃. Следующая по величине разность, равна 1608. Тогда новое значение с₃₃ = 5681+1608=7289.

3. Разности коэффициентов третьей строки с четвертой (3-4):

1 столбец: 6135-6365=-230

2 столбец: 5681-9496=-3815

3 столбец: 7289-10975=-3686

4 столбец: 10975-13000=-2025

5 столбец: 3651-12262=-8611

Наибольшая разность равна -230 – в первом столбце, а значит элемент х_31, не входит в оптимальный план, т.е. х₃₁ = 0. Следующая по величине разность равна - 2025 . Тогда с₃₁ = 6365-2025=4340.

4. Разности коэффициентов третьей строки с пятой (3-5):

1 столбец: 4340-9766=-5426

2 столбец: 5681-5628=53

3 столбец:7289-3651=3638

4 столбец: 10975-12262=-1287

5 столбец:3651-13000=-9349

Наибольшая разность равна 3638 – в третьем столбце, а значит элемент х_33, не входит в оптимальный план, т.е. х₃₃ = 0. Следующая по величине разность равна 53. Тогда с₃₃ = 3638+53=3691.

Теперь сравним четвертую строку с остальными.

1. Разности коэффициентов четвертой строки с первой (4-1):

1 столбец: 6365-4640=1725

2 столбец: 9496-7771=1725

3 столбец:10975-4627=6348

4 столбец: 13000-6365=6635

5 столбец: 12262-9425=2837

Наибольшая разность равна 6635 – в четвертом столбце, а значит элемент х₄₄ не входит в оптимальный план, т.е. х₄₄ = 0. Следующая по величине разность равна 6348. Тогда с₄₄ = 6365+6348=12713.

2. Разности коэффициентов четвертой строки со второй (4-2):

1 столбец: 6365-4527=1838

2 столбец: 9496-7658=1838

3 столбец: 10975-5681=5294

4 столбец: 12713-9496=3217

5 столбец: 12262-5628=6634

Наибольшая разность равна 6634 – в пятом столбце, а значит элемент х_45, не входит в оптимальный план, т.е. х₄₅ = 0. Следующая по величине разность равна 5294 . Тогда с₄₅ =5628+5294=10922.

1. Разности коэффициентов четвертой строки с третьей (4-3):

1 столбец: 6365-4340=2025

2 столбец: 9496-5681=3815

3 столбец: 10975-3691=7284

4 столбец: 12713-10975=1738

5 столбец: 10922-3651=7271

Наибольшая разность равна 7284 – в третьем столбце, а значит х₄₃ не входит в оптимальный план, т.е. х₄₃ = 0_. Следующая по величине разность, равна 7271 . Тогда с₄₃ = 3691+7271=10962.

3. Разности коэффициентов четвертой строки с пятой (4-5):

1 столбец: 6365-9766=-3401

2 столбец: 9496-5628=3868

3 столбец: 10962-3651=7311

4 столбец: 12713-12262=451

5 столбец: 10922-13000=-2078

Наибольшая разность равна 7311 – в третьем столбце, но элемент х₄₃ и так не входит в оптимальный план. Поэтому нахожу новое значение коэффициента. Следующая по величине разность, равна 3868 .

Тогда с₄₃ = 3651+3868=7519.

Теперь сравним пятую строку с остальными.

1. Разности коэффициентов пятой строки с первой (5-1):

1 столбец: 9766-4640=5126

2 столбец: 5628-7771=-2143

3 столбец: 3651-4627=-976

4 столбец: 12262-6365=5897

5 столбец: 13000-9425=3575

Наибольшая разность равна 5897 – в четвертом столбце, а значит элемент х₅₄ не входит в оптимальный план, т.е. х₅₄ = 0. Следующая по величине разность равна 5126 . Тогда с₅₄ = 6365+5126=11491.

2. Разности коэффициентов пятой строки со второй (5-2):

1 столбец: 9766-4527=5239

2 столбец: 5628-7658=-2030

3 столбец: 3651-5681=-2030

4 столбец: 11491-9496=1995

5 столбец: 13000-5628=7372

Наибольшая разность равна 7372 – в пятом столбце. Элемент х₅₅ не входит в оптимальный план, т.е. х₅₅ = 0. Поэтому нахожу новое значение с₅₅ . Следующая по величине разность равна 5239 .

Тогда новое значение с₅₅ = 5628+5239=10867

3)Разности коэффициентов пятой строки с третьей (5-3):

1 столбец: 9766-4340=5426

2 столбец: 5628-5681=-53

3 столбец: 3651-3691=-40

4 столбец: 11491-10975=516

5 столбец: 10867-3651=7216

Наибольшая разность равна 7216 – в пятом столбце. Элемент х₅₅ не входит в оптимальный план, т.е. х₅₅ = 0. Поэтому нахожу новое значение с₅₅ . Следующая по величине разность равна 5426.

Тогда новое значение с₅₅ = 3651+5426=9077.

4) Разности коэффициентов пятой строки с четвертой (5-4):

1 столбец:9766-6365=3401

2 столбец: 5628-9496=-3868

3 столбец: 3651-7519=-3868

4 столбец: 11491-12713=-1222

5 столбец: 9077-10922=-1845

Наибольшая разность равна 3401 – в первом столбце. Элемент х₅₁ и так не входит в оптимальный план, т.е. х₅₁ =0. Поэтому нахожу новое значение с₅₁ . Следующая по величине разность равна -1222

Тогда новое значение с₅₁ = 6365-1222=5143.

Из Таблицы 10 видно, что все элементы первого столбца равны нулю кроме х₄₁. Элемент х₄₁ = 1. Исключаем из рассмотрения столбец №1 и строку №4. Таблица 10

	1	2	3	4	5
1	13000,11909, 4640 *	7771	6135,4627 *	6365	9766,9425 *
2	7771,4527 *	13000,10902, 7658 *	5681	9496	5628
3	6135, 4340 *	5681	13000,10745, 7289,3691 *	10975	3651
4	6365	9496	10975, 10962 7519 *	13000,12713 *	12262, 10922 *
5	9766, 5143 *	5628	3651	12262, 11491 *	13000, 10867, 9077 *

Далее рассматриваем таблицу 11.

Таблица 11

	2	3	4	5
1	7771,6617*	6135,4627 *	6365	9766,9425 *
2	13000,10902, 7658 *	5681	9496	5628
3	5681	13000,10745,7289 3691 *	10975	3651
5	5628	3651	11491	13000,10867, 9077 *

Перейдем к рассмотрению разности коэффициентов в столбцах.

Разность коэффициентов второго столбца с третьим (2-3):

1 строка: 7771-4627=3144

2 строка: 7658-5681=1977

3 строка: 5681-3691=1990

5 строка: 5628-3651=1977

Наибольшая разность равна 3144 – в первой строке. Элемент х₂₁ не входит в оптимальный план, т.е. х₂₁ = 0. Следующая по величине разность равна 1990. Тогда новое значение с₂₁ = 4627+1990=6617

Разность коэффициентов второго столбца с четвертым (2-4):

1 строка: 6617-6365=252

2 строка: 7658-9496=-1838

3 строка: 5681-10975=-5294

5 строка: 5628-11491=-5863

Наибольшая разность равна 252 – в первой строке. Элемент х₂₁ не входит в оптимальный план, т.е. х₂₁ = 0. Следующая по величине разность равна -1838. Тогда новое значение с₂₁ = 6365-1838=4527.

Разность коэффициентов второго столбца с пятым (2-5):

1 строка: 4527-9425=-4898

2 строка: 7698-5628=2030

3 строка: 5681-3651=2030

5 строка: 5628-9077=-3449

Так как максимальная разность отмечается в некоторых столбцах, никакого вывода сделать нельзя.

Теперь сравним 3 столбец со вторым (3-2)

1 строка: 4627-4527=100

2 строка: 5668-7658=-1977

3 строка: 3691-5681=-1990

5 строка: 3651-5628=-1977

Наибольшая разность равна 100 – в первой строке. Элемент х₃₁ не входит в оптимальный план, т.е. х₃₁ = 0. Следующая по величине разность равна -1838. Тогда новое значение с₃₁ = 4527-1977=2550

Теперь сравним 3 столбец с четвертым (3-4)

1 строка: 2550-6365=-3815

2 строка: 5681-9496=-3815

3 строка: 3691-10975=-7884

5 строка: 3651-11491=-7840

Так как максимальная разность отмечается в некоторых столбцах, никакого вывода сделать нельзя.

Теперь сравним 3 столбец с пятым (3-5):

1 строка: 2550-9425=-6875

2 строка: 5668-5628=53

3 строка: 3691-3651=40

5 строка: 3651-9077=-5426

Наибольшая разность равна 53 – во второй строке. Элемент х₃₂ не входит в оптимальный план, т.е. х₃₂ = 0. Следующая по величине разность равна 40. Тогда новое значение с₃₂ = 5628+40=5668.

Таблица12.

	2	3	4	5
1	7771, 6617 , 4527*	6135,4627, 2550 *	6365	9766,9425 *
2	13000,10902, 7658 *	5681,5668*	9496	5628
3	5681	13000,10745,7289 3691 *	10975	3651
5	5628	3651	11491	13000,10867, 9077 *

Из Таблицы 12 видно, что все элементы третьего столбца равны нулю кроме х₅₃. Элемент х₅₃ = 1. Исключаем из рассмотрения столбец №3 и строку №5.

Таблица 12 преобразовывается в Таблицу 13.

Таблица 13.

	2	4	5
1	4527*	6365	9425*
2	13000,10902, 7658*	9496	5628
3	5681	10975	3651

Таблица 14 примет вид:

	4	5
1	6365	9425*
2	9496	5628

Анализируя данную таблицу, приходим к выводу, что решение не единственно. Годится и пара х₁₄, х₂₅ и пара х₁₅, х_{24 .} Представим решение в виде таблицы. Будет либо 1.х, либо 1.у.

	1	2	3
3		1
4	1
5			1

Таблица А:

	1	2	3	4	5
1				1
2					1
3		1
4	1
5			1

Маршрут для варианта (А): 1-4-1, 5-3-2-1

Таблица Б:

	1	2	3	4	5
1					1
2				1
3		1
4	1
5			1

Маршрут для варианта (Б): 1-5-3-2-4-1

Случай (Б) являет собой решение задачи коммивояжера. Для получения требуемого решения следует использовать решение задачи о назначениях для получения одного замкнутого маршрута наименьшей стоимости. Следует соединить локальные маршруты в один так, чтобы увеличение целевой функции было минимальным.

Решение задачи коммивояжера.

Решение задачи о назначениях дает матрицу, представленную в Таблице 15, где элементы, входящие в оптимальные решения помечены знаком *. Диагональные элементы содержат штрафные функции (С = 13 000), запрещающие поездку из города в тот же город.

Таблица 15.

	1	2	3	4	5
1	13 000	7771	4627	6365*	9425*
2	4527	13 000	5681	9496*	5628*
3	4340	5681*	13 000	10975	3651
4	6365*	9496	7519	13 000	10922
5	5143	5628	3651*	11491	13 000

Теперь необходимо подсчитать оценку β для каждой из ветвей входящей в оптимальные решения по следующей формуле:

β_kr = min {C_ir} + min {C_jk}

i=1,n; i≠k j=1,n; j≠r

Эта оценка говорит о том, насколько увеличится целевая функция, если эта ветвь не войдет в оптимальное решение.

1. β₁₄ = 4627+10975=15602

β₁₅ = 4627+3651=8278

β₂₄ = 4527+10975=15502

β₂₅ = 4527+3651=8178

β₃₂ =3651+5628=9279

β₄₁ = 7519+4340=11859

β₅₃ = 5143+4627=9770

Наибольшее значение β_kr = β₁₄ = 15602, что соответствует ветви 1-4. Это ветвь обязательно должна остаться в оптимальной цепи. При этом ветвь 4-1 недопустима. Обозначаю недопустимые ветви жирным шрифтом. Матрица упрощается, из неё исключаются уже рассмотренные ветви. Таблица 15 переходит в Таблицу 16.

Таблица 16.

	1	2	3	5
2	4527	13000	5681	9425*
3	4340	5681*	13000	5628*
4	6365*	9496	7519	3651
5	5143	5628	3651*	13000

β₂₅ = 4527+3651=8178

β₃₂ =4340+5628=9968

β₃₅ =4340+3651=7991

β₅₃ =5143+5684=10827

Наибольшее значение β_kr = β₅₃ = 10827, что соответствует ветви 5-3. Связать её с оптимальной цепью нельзя. При этом ветвь 3-5 недопустима. Матрица упрощается, из неё исключаются уже рассмотренные ветви. Таблица 16 переходит в Таблицу 17.

Таблица 17.

	1	2	5
2	4527	13000*	5628*
3	4340	5681*	13000
4	13000	9496	10922

Β₂₅ = 4527+10922=15449

Β₃₂ = 4340+9496 =13836

Наибольшее значение β_kr = β₂₅ = 15449, что соответствует ветви 2-5. Связать её с оптимальной цепью нельзя. При этом ветвь 2-5 недопустима. Матрица упрощается, из неё исключаются уже рассмотренные ветви. Таблица 17 переходит в Таблицу 18.

	1	2
3	4340	5681*
4	13000	9496

Получим окончательную оптимальную цепь, которая имеет вид: 1-4-2-5-3-1

Величина целевой функции с учетом полученной оптимальной цепи:

С = 13000+9496+5628+3651+4340= 36115 руб. – это есть минимальные затраты на поездку специалиста авиаремонтного завода по пяти городам.