Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г.А. Красильникова, М.С. Кокорин, Н.С. Иванова

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета

2015

УДК.514.181.22 (075.8) ББК 22.151.3я73

Н36

Авторы: Г.А.Красильникова, М.С.Кокорин, Н.С.Иванова

Красильникова Г.А. Начертательная геометрия и инженерная

графика. Краткий курс лекций по начертательной геометрии:

учебное пособие / Г.А.Красильникова, М.С.Кокорин, Н.С.Иванова. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та , 2015. — стр.

Соответствует содержанию учебных программ дисциплин «Начертательная геометрия и инженерная графика», «Инженерная графика» «Инженерная и компьютерная графика» государственного образовательного стандарта направлений бакалаврской подготовки 13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 15.03.01 «Машиностроение», 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 22.03.01 «Материаловедение и технологии металлов», 22.03.02 «Металлургия» и др.

Содержит краткое изложение теории по разделам курса «Начертательная геометрия», алгоритмы решения основных задач. В приложениях представлены задания для самоконтроля знаний студентов.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся в области техники и технологии, при самоподготовке к контрольным работам, зачету и экзамену.

Может быть использовано при дистанционной форме обучения.

2

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………………………………………4

1. Отображение пространственных объектов на плоскость

1.1.Операция проецирования…………………………………………

1.2.Метод Монжа………………………………………………………

1.3.Моделирование точки на эпюре Монжа…………………………

1.4.Моделирование Декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа…………………………………………..

2. Моделирование линии на эпюре Монжа……………………….

3. Моделирование плоскости на эпюре Монжа………………….

4. Моделирование поверхностей на эпюре Монжа.

4.1.Моделирование линейчатых поверхностей…………………….

4.2.Моделирование поверхностей вращения……………………….

5. Пересечение прямой с плоскостью

5.1.Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения………………………………………….................................

5.2.Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью………………………………………………………………

5.3.Пересечение прямой общего положения с плоскости общего положения ………………………………………………………….

6. Пересечение прямой с поверхностью

6.1.Пересечение проецирующей прямой с поверхностью общего положения………………………………………………………………

6.2.Пересечение прямой общего положения с проецирующей поверхностью…………………………………………………………..

6.3.Пересечение прямой общего положения с поверхностью общего положения……………………………………………………..

7. Пересечение поверхностей

7.1.Пересечение плоскостей. Способ вспомогательных секущих плоскостей……………………………………………………

7.2.Пересечение плоскости общего положения с проецирующей поверхностью.…..……………………………………………………..

7.3.Пересечение плоскости общего положения с поверхностью общего положения.……………………………………………………

3

7.4.Пересечение проецирующей поверхности с поверхностью общего положения……………………………………………………

7.5.Пересечение поверхностей общего положения.

Способ вспомогательных концентрических сфер..…………………

8. Способы преобразования чертежа

8.1. Способ дополнительного ортогонального проецирования

(ДОП)……………………………………………………………………

8.2. Решение позиционных и метрических задач способом ДОП…

9. Аксонометрические проекции……………………………………

9.1.Аксонометрические проекции как частный случай метода двух изображений……………………………………………

9.2.Теорема Польке……………………………………………………

9.3.Классификация аксонометрических проекций………………….

9.4.Стандартные аксонометрические проекции…………………….

Библиографический список…………………………………………

4

ВВЕДЕНИЕ

«Начертательная геометрия и инженерная графика» — одна из учебных дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Целью изучения раздела «Начертательная геометрия» является развитие у студентов пространственного представления, геометрического мышления, способности к анализу форм, размеров и взаимного расположения пространственных объектов на основе их проекционных моделей.

Данное учебное пособие является кратким курсом лекций для изучения студентами ряда основных вопросов раздела «Начертательная геометрия» учебных программ инженернографических дисциплин следующих направлений подготовки бакалавров: 13.03.03 «Энергетическое машиностроение», 15.03.01 «Машиностроение», 15.03.02 «Технологические машины и оборудование», 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 22.03.01 «Материаловедение и технологии металлов», 22.03.02 «Металлургия».

Ввиду неравномерности объема тем материал пособия не разбит по лекциям, а представлен в виде последовательности тем в соответствии с содержанием разделов учебных программ инженерно-графических дисциплин.

Пособие содержит краткое изложение теории по рассматриваемым темам, алгоритмы решения основных задач начертательной геометрии с разбивкой их графической реализации на отдельные составляющие, что значительно облегчает восприятие их решения. Задачи, на которые в тексте пособия даются ссылки, пронумерованы. В приложениях представлены задания в тестовой форме для самоконтроля знаний студентов в процессе изучения разделов дисциплины и для подготовки к экзамену.

5

Пособие может быть использовано в качестве дополнительной литературы для самоорганизации учебной деятельности, а также при подготовке к контрольным работам, зачету и экзамену.

Для более полного освоения теоретических аспектов курса рекомендуется использовать литературу [2, 3, 7], а для подготовки к промежуточным и итоговым контрольным работам — учебные пособия [1, 4, 5, 6].

В пособии используются общепринятые обозначения геометрических элементов пространства [1]: точки обозначены прописными буквами латинского алфавита (A, B, C…) или арабскими цифрами (1, 2, 3…); прямые, кривые линии — строчными буквами латинского алфавита (a, b, c…); плоскости — строчными буквами греческого алфавита (α, β, γ…); поверхности — прописными буквами греческого алфавита (Σ, Ψ, Ω…), а также следующие символы: = — результат операции; — пересечение элементов; ≡ — тождественное совпадение элементов; — принадлежность элементов; — перпендикулярность; || — параллельность.

1. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ПЛОСКОСТЬ

Начертательная геометрия изучает методы отображения объектов трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений позиционных и метрических задач, связанных с этими объектами по их плоским отображениям (моделям).

Простейшим объектом (элементом) пространства является точка. Точки могут быть собственными и несобственными (бесконечно удаленными). На модели стрелкой будем обозначать направление на несобственную точку. Все остальные геометрические объекты (линия, плоскость, поверхность…) можно

6

представить как множество точек. Для моделирования объектов трехмерного пространства будем использовать операцию проецирования.

1.1. Операция проецирования

Выберем в пространстве точку S1 — центр проецирования и плоскость 1 — плоскость проекций (рис. 1).

аппарат проецирования. Для построения проекции произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции:

1.Через центр S1 и точку А проведем прямую a;

2.Отметим точку пересечения прямой a с плоскостью 1:

A1=a 1.

Полученная точка A1 называется проекцией точки A на

плоскость 1 из центра S1. Аналогично строятся проекции других точек пространства.

Прямая линия — a, проходящая через центр S1, называется проецирующей прямой и на плоскости проекций отображается (проецируется) точкой.

В зависимости от положения центра S1, проецирование может

центрального проецирования (рис. 1.). При центральном проецировании проекцией несобственной точки (D ) в общем случае является собственная точка (D1).

Удалив центр проецирования S1 в бесконечность, получим

аппарат параллельного проецирования (рис. 2). При параллельном проецировании проекцией несобственной точки (D ) всегда будет несобственная точка (D1 ).

Если направление параллельного проецирования составляет с плоскостью 1 угол 90 , то получаем аппарат косоугольного проецирования.

Вчастном случае параллельного проецирования, когда угол

= 90 , т. е. проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, получаем аппарат прямоугольного (ортогонального) проецирования.

Свойства параллельного проецирования: 1. Проекция точки есть точка.

2.Проекцией прямой является прямая линия. Проекция проецирующей прямой вырождается в точку.

3.Инцидентность (взаимопринадлежность) точек и линий сохраняется. Из этого свойства вытекает следствие: проекции пересекающихся между собой линий пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих линий.

4.Проекции параллельных прямых параллельны между собой.

5.Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проецируемых отрезков.

6.Параллельная проекция фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна (равна) самой фигуре.

Рассмотренные модели, полученные методом центрального или параллельного проецирования, являются необратимыми. Множеству точек, расположенных на проецирующей прямой a, на плоскости проекций соответствует одна точка — A1. Из этого

8

следует, что одной и той же проекции объекта на картине 1 будет соответствовать в пространстве множество объектов. Для получения обратимой модели, по которой можно восстановить форму, размеры и положение объекта в пространстве, используют метод двух изображений.

1.2. Метод Монжа

Французский математик Гаспар Монж (1746–1818) предложил получать отображения предметов пространства, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные

центров S1 и S2 — ортогональное. Линия пересечения плоскостей проекций x12 называется осью проекций.

Для перехода к плоской модели — эпюру Монжа будем поворачивать плоскость 2 вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью 1.

9

1.3. Моделирование точки на эпюре Монжа

Модель точки А на эпюре Монжа представляет собой пару точек А1 и А2, расположенных на одной линии связи, перпендикулярной оси x12 (рис. 3, б). Рассмотрим возможные положения проекций точек на эпюре Монжа относительно оси x12 в зависимости от их положения в исходном пространстве относительно плоскостей проекций 1 и 2. На рисунке 4 показано расположение точек А, В, С, D соответственно в I, II, III и IV четвертях пространства, а на эпюре Монжа (рис. 5, а) даны возможные варианты расположения их проекций относительно оси

x12.

Все точки биссекторной плоскости второй и четвертой четверти моделируются тождественно совпавшими проекциями (рис. 5, б). Эта плоскость называется тождественной плоскостью.

Рис. 4

10