- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
- •Свойства непрерывных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.
- •Равномерная непрерывность функций.
- •Непрерывность и разрывы монотонной функции.
- •Существование и непрерывность обратной функции.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если
(1)
Это означает, что функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:
определена в точке х0 (т.е. существует f(x0));
имеет конечный предел функции при х→х0;
этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.
Т.к. =x0, то равенство (1) можно придать следующую форму:
- т.е. предел функции равен значению функции от предела аргумента. Т.о. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если любому, сколь угодно малому, >0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от , δ=δ()), что для всех хХ таких, что |x-x0|<δ выполняется неравенство |f(х)- f(x0)|<.
>0 δ=δ() x: |x-x0|<δ |f(х)- f(x0)|<
(Здесь нет запрета х≠х0).
Определение 3 (в терминах окрестности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого сколь угодно малого числа >0 найдется такое число δ=δ(Е), что для всех х, попадающих в -окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в -окрестность величины f(x0) (здесь окрестность не выколотая):
W(f(x0)) V(x0): x V(x0)f(х)W(f(x0)) (рисунок)
Определение 4 (в терминах последовательности). Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к х0, последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к f(x0). (Здесь нет запрета xn≠x0).
Пример.
а) у=в точке х=0 не определена.
б) у=не существует предела в точке х=0 (существуют только односторонние пределы: слеваи справа).
в) у==1.
г) у=х2 – непрерывная функция в точке х=0, т.к. выполнены все 3 условия непрерывности.
Примеры разрывных функций.
1) f(x)=sign x, f(x)=
Не существует . В точке х0=0 функция разрывна.
Замечание. Пусть х0Х и хХ и пусть х=х0+∆х, следовательно ∆х=х-х0.
Величина ∆х называется приращением аргумента (∆х может быть как положительной, так и отрицательной).
Пусть у0=f(x0), y=f(x)=f(x0+∆x).
Величина ∆y=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) называется приращением функции f(x) в точке х0, соответствующим приращению аргумента х (∆у может быть как положительной, так и отрицательной).
Предположим, что функция f(x) – непрерывна в точке х0. Это означает, что
или =0, или.
Следовательно, можно сказать, что
Теорема. Функция у=f(x) будет непрерывной в точке х0 тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции у, т.е. =0.
Эта теорема дает эквивалентное определение непрерывности.
Аналогично определению правостороннего и левостороннего пределов функции f(x), можно определить правостороннюю и левостороннюю непрерывность функции f(x) в точке х0.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если
.
Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если .
Утверждения. 1) Если функция f(x) непрерывна в точке х0 в обычном смысле, то она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.
2) Если функция f(x) непрерывна в точке х0 одновременно и справа, и слева, то она непрерывна в этой точке и в обычном смысле.
Определение. Функция f(x) непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Функция f(x) непрерывна на [a,b], если она непрерывна в обычном смысле в каждой внутренней точке этого промежутка и если она непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.