Несобственные интегралы

§ 1.

Несобственные интегралы 1 рода

………………………………………………… 2

§ 2.

Методы вычисления несобственных интегралов 1 рода

……..……… 6

§ 3.

Признаки сходимости для положительных функций

…………………… 9

§ 4.

Признаки сходимости для произвольных функций

……………………… 14

§ 5.

Несобственные интегралы 2 рода

………………………………………………… 19

§ 6.

Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода

…………… 24

Понятие определенного интеграла

, которое было введено в главе 2,

подразумевает, что промежуток интегрирования

конечен, а функция

ограничена на

. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то понятие

Пусть функция

определена на бесконечном промежутке

и

интегрируема на любом конечном промежутке

, т.е. существует

,

и в этом случае говорят, что несобственный интеграл

сходится.

В случае бесконечного предела:

символу

также приписывают

значение :

,

и говорят, что несобственный интеграл

расходится.

Если предел

не существует, то и в этом случае говорят, что несобственный

интеграл

расходится, а символу

не приписывают никакого

значения.

Примеры.

1)

,

т.е. несобственный интеграл сходится и равен

:

.

2)

,

т.е. несобственный интеграл сходится и равен

.

3)

,

несобственный интеграл расходится

.

4)

;

этот предел не существует, значит несобственный интеграл

расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла 1 рода.

Если

на

,

то несобственный интеграл

равен площади

бесконечной (неограниченной справа)

криволинейной трапеции, ограниченной

графиком функции

,

прямой

и осью абсцисс.

При этом сходящийся несобственный интеграл задает конечную площадь, а

расходящийся

бесконечную площадь.

Аналогично определяются несобственные интегралы 1 рода от функции

на

промежутках

и

:

,

.

В последнем случае переменные

и стремятся к

независимо друг от друга.

Замечание.

Несобственный интеграл

можно рассматривать как сумму

несобственных интегралов:

, где

произвольное число.

Тогда сходимость несобственного интеграла

означает сходимость

несобственный интеграл

также считается расходящимся.

Примеры.

.

Переходя к пределу в этом равенстве при

, получаем нужный результат.

3. Если несобственный интеграл

сходится, то

.

Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода

.

Пусть

первообразная для функции

на

. Тогда

Введем обозначение:

.

Если

не существует, то

не имеет смысла; если

, то

и

.

Используя это обозначение, запишем формулу НьютонаЛейбница для

несобственных интегралов 1 рода:

.

Аналогичные формулы получим и для других несобственных интегралов 1 рода:

.

,

Примеры.

1)

.

2)

Интегрирование по частям.

Пусть функции

непрерывно дифференцируемы на

промежутке

.

Тогда справедлива формула:

, или сокращенно:

,

но при условии, что существуют конечные пределы

и

.

Переходя к пределу в этом равенстве при

, получаем нужный результат.

3)

правило

.

Лопиталя

4)

произведение бесконечно малой

функции на ограниченную функцию

.

есть бесконечно мал функци

Замена переменной.

Рассмотрим несобственный интеграл

, где

непрерывная

функция на

.

Пусть функция

определена в некотором промежутке

, где

может быть и

, и удовлетворяет следующим условиям:

1) функция

строго монотонна на промежутке

2) функция

непрерывно дифференцируема на

;

3)

,

.

интеграле (см. §5 Главы 2) при

.

Замечание.

Если

конечное число, то интеграл

является собственным

интегралов

и

.

Примеры.

5)

.

6)

(это собственный

интеграл)

.

В случае, когда вычисление несобственного интеграла 1 рода:

или

,

вызывает большие затруднения или когда соответствующий

неопределенный интеграл

является «неберущимся», вопрос о существовании

По определению сходимость несобственного интеграла

означает

существование конечного предела

.

положительных (неотрицательных) функций:

(учитывая

приведенное выше замечание, можно считать, что

для

некоторого числа

).

Для положительных функций

соответствующая функция

является возрастающей функцией.

Действительно, пусть

; тогда

;

так как

, то

и следовательно:

.

Для возрастающих функций, как известно (см. §11 главы 4 «Введения в

математический анализ»), наличие конечного предела при

равносильно

ограниченности сверху этой функции:

для некоторого числа .

Таким образом, сходимость несобственного интеграла

от

положительной функции

равносильна ограниченности соответствующих

определенных интегралов:

сходится

:

.

10

Теорема 1 (первый признак сравнения).

Пусть

, где

некоторое число,

.

Тогда

1)

из сходимости

следует сходимость

;

2)

из расходимости

следует расходимость

.

Доказательство.

1)

Пусть

сходится и

.

Тогда

имеем

неравенства:

.

Это означает ограниченность значений определенных интегралов от функции

:

.

Следовательно,

сходится и значит,

также сходится.

2)

Пусть

расходится. Надо доказать, что

расходится.

Предположим, что это не так, т.е.

сходится.

Так как

, то по доказанному пункту 1) должен сходиться и

, а это не так.

Следовательно,

расходится. Теорема доказана.

Замечание 1.

Из доказательства теоремы получаем оценку для несобственного интеграла:

.

Пример 1.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

.

Здесь

,

,

,

сходится, т.к.

.

Согласно первому признаку сравнения несобственный интеграл

сходится.

Несобственный интеграл

можно оценить сверху:

;

Пример 2.

,

.

.

Следовательно:

Исследуем сходимость несобственного интеграла

.

Здесь

,

; так как

и

, то

.

Далее имеем:

расходится.