Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова

1.4. Моделирование Декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа

Для определения местоположения точки в пространстве будем использовать прямоугольную Декартову систему координат (xyz), которая представляет собой три взаимно перпендикулярные оси (рис. 6).

На рисунке 6 стрелками показано положительное направление осей координат. Оси координат образуют следующие координатные плоскости:

(xOz) — фронтальная координатная плоскость; (xOy) — горизонтальная координатная плоскость; (yOz) — профильная координатная плоскость.

Рис. 6

11

В этой системе точка A задается координатами (xA, yA, zA). Координаты точки могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для моделирования системы координат на эпюре Монжа выполним следующие операции:

-совместим координатную плоскость (xOz) с фронтальной плоскостью проекций 1, а координатную плоскость (xOy) с горизонтальной плоскостью проекций 2 (рис. 7);

-осуществим переход к одной плоскости — эпюру Монжа.

На рисунке 8 отображены проекции осей координат x, y, z, а

также проекции точки А.

Очевидно, что фронтальная проекция А1 точки А, будет определяться координатами (xA, zA), а горизонтальная проекция А2 — координатами (xA, yA,).

Положительные значения (xA, yA, zA) будут отмечаться от точки O(О1,О2) влево, вниз и вверх на проекциях x1, y2 и z1 соответственно, отрицательные же значения (xA, yA, zA) — от точки O(О1,О2) вправо, вверх и вниз на проекциях x2, y2 и z1 соответственно.

На рисунке 9 представлены проекции точек А, В, С, D с

координатами: А(30, 40, 30); В(60, -40, 20); С(40, -20, -20); D(10, 10, -30).

12

Рис. 9

Как уже известно, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Однако при решении задач начертательной геометрии, а также при построении технических чертежей объектов часто используют профильную плоскость3( 1 3 2). Проецирование на плоскость 3, также как и на плоскости 1 и 2 — ортогональное.

При моделировании прямоугольной системы координат будем совмещать плоскость 3 с координатной плоскостью (yOz) (рис. 10), тогда профильная проекция А3 точки А определится координатами (yA, zA). При переходе к плоской модели будем поворачивать плоскость 3 вокруг оси x13 до совмещения с плоскостью 1.

13

Так как координата zA будет общей для проекций А3 и А1, а координата yA — для проекций А3 и А2 , то положение проекции А3 на плоской модели можно определить следующим образом:

-через точку А1 провести прямую (линию связи) перпендикулярно прямой z1(x13) (рис. 11);

-на линии связи от прямой z1(x13) отложить расстояние, равное по значению координате yA, или, другими словами, измерить расстояние от проекции А2 до оси x12 и отложить это значение по линии связи от оси x13.

2.МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНИИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА

Вэтом разделе рассмотрим моделирование прямой и кривой линии, способы их задания на чертеже и свойство инцидентности точек и линий.

2.1. Моделирование прямой линии

Прямая, в общем случае, моделируется двумя парами точек (рис. 12, а) или парой прямых (рис. 12, б). Прямую линию, не параллельную и не перпендикулярную плоскостям проекций, будем называть прямой общего положения.

Задача 1

На эпюре Монжа построить модель произвольной точки М, принадлежащей прямой a.

Алгоритм решения

1.Отметим произвольно на a1 проекцию M1 (рис. 12, б).

2.Проведем через M1 линию проекционной связи, которая при пересечении с a2 определит вторую проекцию М2 точки М.

14

Прямые частного положения Различают две группы прямых частного положения:

1) Проецирующие прямые

Проецирующие прямые — прямые, проходящие через один из центров проецирования. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку (рис. 13). Прямая a — фронтальнопроецирующая прямая. Прямая b — горизонтально-проецирующая прямая.

Рис. 13

Конкурирующие точки Две точки, лежащие на одной проецирующей прямой,

называются конкурирующими. На эпюре Монжа с помощью проекций конкурирующих точек можно определять взаимную видимость геометрических объектов.

15

На рисунке 14, а представлены две пары конкурирующих точек A, B (АВ 1) и C, D (CD 2). Стрелками показано направление взгляда наблюдателя из центров проецирования на плоскости проекций. Видимой считают ту точку, которая находится ближе к центру проецирования. При проецировании на плоскость 1 видимой будет точка A, а при проецировании на плоскость 2 — точка С. На рисунке 14, б представлены модели конкурирующих точек на эпюре Монжа. В скобках указаны проекции невидимых точек при проецировании на соответствующую плоскость проекций.

Линии уровня — прямые, параллельные одной из плоскостей проекций (рис. 15, а).

Прямая f(f1, f2), параллельная плоскости проекций 1, называется фронталью. Вторая проекция фронтали параллельна оси проекций (f2 || x12) (рис. 15, б).

Прямая h(h1, h2), параллельная плоскости проекций 2, называется горизонталью. Первая проекция горизонтали параллельна оси проекций (h1 || x)12 (рис. 15, в).

16

Прямая d, параллельная плоскости проекций 3 ( 1 3 2), называется профильной прямой (рис. 16, а). Обе проекции этой прямой лежат на линии проекционной связи, перпендикулярной x12. Наличие проекций двух точек С и D, принадлежащих этой прямой, делают ее модель однозначной. Для построения произвольной точки M, принадлежащей профильной прямой d, можно воспользоваться проекцией прямой на плоскость 3 (рис. 16, б) или пятым свойством параллельного проецирования — свойством пропорциональности

(рис. 16, в).

Рис. 16

17

Взаимное положение прямых Рассмотрим три случая взаимного положения прямых в

пространстве:

1) Пересекающиеся прямые (рис. 17, а).

Проекции пересекающихся между собой прямых пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых, т. е., если K = a b , то K1 = a1 b1, K2 = a2 b2 (рис. 17, б).

2) Параллельные прямые (рис. 18, а).

Проекции параллельных прямых параллельны между собой, т. е., если a || b , то a1 || b1, a2 || b2 (рис. 18, б).

Рис. 18

3) Скрещивающиеся прямые (рис. 19, а)

Проекции скрещивающихся между собой прямых пересекаются в точке, которая является проекцией конкурирующих точек, принадлежащих этим прямым (рис. 19, б).

18

По расположению горизонтальных проекций 12 и 22 конкурирующих точек 1 и 2 можно сделать вывод, что прямая b находится за прямой a, а по расположению фронтальных проекций 31 и 41 конкурирующих точек 3 и 4 можно сделать вывод, что прямая b находится под прямой a.

2.2. Моделирование кривой линии

Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся точки или как совокупность точек, обладающих какимлибо общим для них свойством. Кривая линия может являться результатом взаимного пересечения поверхностей.

Кривая линия может быть плоской или пространственной. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая линия называется плоской. Кривая линия, которая не может быть совмещена с плоскостью всеми своими точками, называется пространственной, например винтовая линия.

Моделью кривой линии в общем случае является пара кривых линий f ( f1 , f2 ) (рис. 20, а).

В частном случае, когда плоская кривая принадлежит проецирующей плоскости, она моделируется прямой и кривой

19

линией (рис. 20, б).

Построение произвольной точки M, принадлежащей кривой линии f, выполняется по тем же правилам, как и для прямой линии

(рис. 20, а, б).

Моделирование замкнутой кривой При моделировании замкнутой кривой линии нужно учитывать

то, что порядок следования точек на проекциях сохраняется. Кривая

20