Physics_II

Потоку можно дать геометрическую интерпретацию. Изобразим

векторное поле системой линий, построенных так, что в каждой точке

густота линий

равна

a

в этой точке (например,

силовые

линии

электрического

поля).

Число

пересечений

этими

линиями

площади

S , равное

N a S cos an S , есть поток вектора a через площадку S .

Для учета знака будем при остром угле считать число пересечений с плюсом, а при

N 3 .

тупом – с минусом. В

нашем примере

Если

выбрать

n

направленным в

противоположную сторону, то N 3.

Рассматривая целую поверхность, получим Ф Ni

N N .

Для замкнутой поверхности пересечения изнутри наружу имеют знак плюс, наоборот –

минус.

Если линии непрерывны, то в замкнутую поверхность они входят столько же раз,

сколько и выходят из нее. Поэтому Ф 0 . Если же

они могут оканчиваться или начинаться внутри, то

Ф Nнач Nоконч. Знак Ф зависит от того,

каких

больше.

§3. Дивергенция.

Пусть задано векторное поле скоростей жидкости v . Возьмем

в

окрестности точки Р замкнутую поверхность площадью S . Если в объеме

внутри этой поверхности нет ни стоков, ни

истоков, то

Ф 0 .

Если

Ф 0 , значит, есть стоки или истоки. Ф определяет соотношение стоков и

истоков. Ф /V

дает

среднюю

удельную

(на

1 м3) мощность источников в объеме V .

Устремляя V

к нулю,

т.е. стягивая объем

в точку Р, получаем удельную мощность

источников в точке Р. Назовем ее дивергенцией (или расхождением).

lim

Фv

div v

V

V

0

lim

Ф

lim

1

Аналогично для любого векторного поля:

div a

a

adS . Интеграл

V 0

V

V 0 V

( S )

Вычислим поток вектора

a

через грани 1

и 2 (заднюю и

переднюю)

параллелепипеда. Нормаль в замкнутой поверхности

Ox .

всегда направлена наружу. Поэтому n2 Ox, n1

ax

ax .

Найдем проекции a

на n1

и n2 :

an

;

an

2

2

1

1

Ф a

y z ;

Ф a

y z

2

x2

2

x1

S

S

Ф Ф (a

x

a

x

) y z ax x y z ax V

1

2

x

x

2

1

Аналогично найдем потоки через левую и правую, а также через верхнюю и нижнюю

грани параллелепипеда. В итоге получим:

a

x

ay

a

z

Ф

V

a

x

y

z

lim

Ф

a

ay

a

div a

a

x

z

V

x

y

z

V 0

Используя векторный оператор , получим div a

a (скалярное произведение).

§4.Теорема Остроградского-Гаусса.

Зная

дивергенцию

в

каждой

точке,

можно

найти поток вектора a

через любую

заданную

поверхность.

Рассмотрим

вектор

скорости жидкости v . Тогда

div a dV -

dV

мощность источников в объеме

dV ,

а

div v

- суммарная мощность источников в

(V )

объеме V . Она должна равняться потоку, вытекающему из объема через поверхность S :

dV

v

dS

div v

(S )

(V )

Это же верно для любого a :

dV

a dS

div a

- это теорема Остроградского-Гаусса.

(S )

(V )

al dl .

величину a

dl

( Г )

( Г )

lim

C

a

(rot a)

, где вектор

n - нормаль к площадке S . (В зарубежной литературе

n

S 0

S

вместо обозначения “rot” используется “curl”).

Найдем проекцию ротора на ось х. Циркуляция равна

С С2

С3 С4 С1

ay

2

y az

3

z ay

y az z

4

1

(az

az ) y (ay

ay

) z

a

z

y z

ay

z y

y

z

3

1

4

2

a

z

ay

y z

y

z

S

a

z

ay

(rot a)

x

y

z

a

x

a

z

ay

a

x .

Аналогично получим:

(rot a)

y

и

(rot a)

z

z

x

x

y

Это формулы для нахождения проекций вектора rot a на декартовы оси координат.

i

j

k

Используя оператор набла, можно написать

rot a

a

x y

z

ax

ay

az