Вычисление доходности при условии наличия одного денежного потока
Существует отдельный случай, когда не обязательно использовать метод последовательных приближений для определения доходности. Такое происходит, когда существует только один денежный поток, обеспечиваемый инвестициями. Мы поясним формулу посредством примера.
Пример 3.5.
Финансовый инструмент, приобретаемый за 100 000 руб. гарантирует выплату в размере 300 000 руб. через пять лет. Доходностью является процентная ставка, при которой 100 000 руб. увеличатся до 243 690 руб. за пять лет. Таким образом, нам нужно найти величину r, удовлетворяющую соотношению:
243 690 = 100 000 × (1 + r)5.
Решая данное уравнение, получим, что доходность равна 0,195, то есть 19,5 %
Таким образом, доходность выражается следующей формулой:
r =(FV/S)1/n– 1,
(3.5)
где
- будущая стоимость инвестиций, руб.;
S- величина инвестиций, руб.;
- количество периодов до выплаты.
Пример 3.6.
Инвестиции предлагают выплату 4 млн руб. через 10 лет. Цена данных инвестиций равна 250 000 руб. Доходность данных инвестиций равна 31,95 %, как показано ниже:
FV– 4 000 000 руб.;S– 250 000 руб.;n– 25.
r =(FV/S)1/n– 1 = (4 000 000 / 250 000)1/10– 1 = 1,3195 -1 = 0, 3195.
Пример 3.7.
В примере 1.10. мы вычисляли, какая сумма будет доступна инвестиционному менеджеру, если он инвестирует 1,0 млн руб. в облигацию со сроком обращения 8 лет и гарантирующую купонный доход 10% в год. Выплаты будут производиться раз в год, и они будут реинвестироваться под 8% в год. Выше мы определили, что через 8 лет инвестиционный менеджер получит 2 025 980 руб. В эту сумму включены: купонный доход - 800 000 руб., доход от реинвестирования купонных платежей - 225 980 руб. и номинальная стоимость облигации – 1 000 000 руб.
Доходность данных инвестиций может быть вычислена посредством нахождения доходности, которая обеспечивает рост от 1 000 000 руб. до 2 025 980 руб. за 8 лет. Так как денежный поток будет всего один, то решение выглядит следующим образом:
n= 8;
или 9,23 % в год.
Пересчет доходности на год
До сих пор в предыдущих разделах курса лекций мы вычисляли годовую процентную ставку посредством умножения ставки за период на количество периодов в год. Мы называли полученную процентную ставку годовой процентной ставкой. Например, если мы знали полугодовую процентную ставку, то для получения годовой процентной ставки мы умножали полугодовую на 2.
Данная процедура вычисления годовой процентной ставки, исходя из периодичных ставок, не является корректной. Для объяснения данного факта предположим, что 100 000 руб. инвестированы сроком на один год под годовую процентную ставку 9 %. В конце года доход инвестированного капитала будет равен 9 000 руб.. Теперь предположим, что 100 000 руб. инвестированы на год с годовой ставкой 9 %, но доход выплачивается 2 раза в год с учетом ставки 4,5 % (половина годовой ставки). Доход в конце года находится посредством вычисления будущей стоимости инвестиций в конце года:
. 100 000 × (1,045)2= 109 202 руб.
В этом случае мы получили доход 9 202 руб. от инвестиций в 100 000 руб.
Таким образом, годовая ставка доходности инвестиций составила:
(9 202/100 000)×100 = 9,202 %.
Данная величина называется эффективной годовой доходностью.
Инвесторы, имеющие дело с депозитными сертификатами банков должны понимать разницу между годовой доходностью и эффективной годовой доходностью.
Обычно обе эти процентные ставки указаны в депозитном сертификате, и большая из них является эффективной годовой процентной ставкой.
Для получения эффективной годовой доходности, ассоциированной с периодичной процентной ставкой, используется следующая формула:
,
(3.6)
где
- количество выплат за год.
Например, в предыдущем примере, периодическая ставка равна 4,5 %, и частота выплат 2 раза в год. Тогда получим:
или 9,2 %.
Если доход выплачивается четыре раза в год по периодичной ставке 2,25%, тогда эффективная процентная ставка составит:
или 9,31 %..
Также мы можем вычислить периодическую процентную ставку, которая обеспечивает заданную годовую. Для этого используем формулу:
.
(3.7)
Предположим, что годовая процентная ставка равна 12,8%, выплаты производятся в 4 периода, какова при этом должна быть периодичная процентная ставка? Произведем ее вычисление:
0,0306
или 3,06 %.
Резюме
В данном разделе курса лекций мы объяснили, как вычислять доходность любых инвестиций, определяемых ожидаемым денежным потоком и ценой. Доходностью является процентная ставка, при которой текущая стоимость денежного потока от финансового инструмента равна стоимости данного инструмента. Доходность, вычисляемая в данной главе, также называется внутренней доходностью. Кроме того, мы продемонстрировали, как вычислять эффективную доходность инвестиций. Краткое изложение формул, использованных в данной лекции, представлено ниже.
Основные формулы, приведенные в этом разделе
1. Доходность (внутренняя доходность)
любых инвестиций, денежный поток от
которых получается ежегодно, является
процентной ставкой
,
удовлетворяющей следующему выражению:
.
Или
,
где
- цена облигации, ден. ед.;
- денежный поток в году
,
ден. ед.;
Т- количество лет.
2. Доходность (внутренняя доходность)
любых инвестиций, денежный поток от
которых получается за определенный
период, является процентной ставкой
,
удовлетворяющей следующему выражению:
.
Или
,
где
- денежный поток за период
;
- количество периодов.
3. Доходность (внутренняя норма доходности)
любых инвестиций, денежный поток от
которых получается один единственный
раз через
периодов, вычисляется по формуле:
r =(FV/S)1/n– 1,
где
- будущая стоимость инвестиций, ден.
ед.;
S- величина инвестиций, ден. ед.;
- количество периодов, когда производятся
купонные платежи.
4. Эффективная доходность, ассоциированная с периодичной доходностью:
,
где
- количество выплат за год.
5. Периодическая процентная ставка, согласованная с эффективной доходностью:
.