Вычисление доходности любых инвестиций

Доходность любого инструмента вычисляется посредством определения процентной ставки, при которой текущая стоимость денежного потока от инвестиций становится равной его цене. Математически доходность любых инвестиций rявляется процентной ставкой, которая удовлетворяет следующему соотношению:

, (3.1)

где P - цена финансового инструмента;

- денежный поток в годуt, генерируемый инвестированным капиталом;

Т- количество лет.

Доходность, вычисляемая по вышеуказанной формуле, также называется внутренней нормой доходности. Этот показатель обычно выражается как IRR.

Выражение (3) в формализованном виде можно представить в виде:

. (3.2)

Доходность rпо данному уравнению вычисляется методом последовательных приближений. Целью является найти такую величину дисконтной ставки, при которой текущая стоимость суммы будущих денежных потоков будет равна его цене. Суть метода последовательных приближений можно представить последовательностью следующих шагов.

Пошаговое вычисление доходности любых инвестиций

Цель: найти процентную ставку, при которой текущая стоимость денежного потока равна стоимости финансового инструмента.

Шаг 1: выбрать ставку дисконтирования;

Шаг 2: вычислить текущую стоимость каждого денежного потока, используя ставку дисконтирования, выбранную на первом шаге;

Шаг 3:вычислить общую текущую стоимость всех денежных потоков, основываясь на результатах шага 2;

Шаг 4:сравнить результат 3 шага и стоимость финансового инструмента, далее:

• Если стоимость равна текущей стоимости денежного потока, обеспечиваемого данным инструментом, то доходность равна выбранной процентной ставке;

• Если текущая стоимость денежного потока, обеспечиваемого данным инструментом больше стоимости данного инструмента, то доходность не равна используемой ставке. Возвращаемся к шагу 1 и увеличиваем процентную ставку;

• Если текущая стоимость денежного потока, обеспечиваемого данным инструментом меньше стоимости данного инструмента, то доходность не равна используемой ставке. Возвращаемся к шагу 1 и уменьшаем процентную ставку;

Следующие два примера показывают, как пользоваться данным методом.

Пример 3.1.

Период	Гарантированные ежегодные выплаты, руб.
1	20 000
2	25 000
3	30 000
4	35 000

Предположим, что цена финансового инструмента равна 81 383 руб. Какова внутренняя норма доходности, предлагаемая данным финансовым инструментом?

Для вычисления доходности, мы должны перебирать различные процентные ставки до тех пор, пока не найдем ту, которая обеспечивает текущую стоимость денежного потока 81 383 руб.

Использование в качестве ставки дисконтирования годовой процентной ставки 10% дает следующие результаты:

Период	Ежегодные выплаты, руб.	Текущая стоимость денежного потока при 10%, руб.
1	20 000	18 182
2	25 000	20 661
3	30 000	22 539
4	35 000	23 905
Итого		85 287

Текущая стоимость денежного потока, посчитанная с учетом ставки 10%, превышает его цену 81 383 руб., поэтому должна быть испробована большая ставка. Если использовать ставку 14%, то получим следующие результаты:

Период	Ежегодные выплаты, руб.	Текущая стоимость денежного потока при 14%, руб.
1	20 000	17 544
2	25 000	19 237
3	30 000	20 249
4	35 000	20 723
Итого		77 753

При ставке дисконтирования r= 14% текущая стоимость денежного потока меньше цены финансового инструмента 81 383 руб. Поэтому должна быть использована меньшая процентная ставка. При ставке дисконтирования, равной 12%, имеем:

Период	Ежегодные выплаты, руб.	Текущая стоимость денежного потока при 12%, руб.
1	20 000	17 857
2	25 000	19 930
3	30 000	21 353
4	35 000	22 243
Итого		81 383

Теперь текущая стоимость денежного потока равна стоимости финансового инструмента. Следовательно, внутренняя норма доходности данного инструмента равна 12%.

Несмотря на то, что формула базируется на денежном потоке за год, она может быть обобщена на любое количество периодических выплат в год. Обобщенная формула имеет вид:

, (3.3)

где - денежный поток за период;

- количество периодов.

В математических терминах формула имеет вид:

. (3.4)

Не забывайте, что вычисляемая по данной формуле доходность является доходностью за период. То есть если денежный поток полугодовой, то и доходность тоже будет полугодовой и т.д. Годовая процентная ставка вычисляется умножением доходности за период на подходящий множитель .

Пример 3.2.

В примере 2.11. инвестор думал о покупке финансового инструмента, гарантирующего следующий полугодовой денежный поток: 10 платежей по 500 руб. каждые полгода, 10 000 руб. по окончании пятилетнего периода.

Предположим, что стоимость инструмента равна 12 438 руб. С учетом годовой процентной ставки его текущая стоимость равна 11 474 руб., поэтому данный финансовый инструмент не привлекателен для инвестора. Какую доходность обеспечивает данный инструмент?

Доходность может быть вычислена посредством метода последовательных приближений:

Годовая ставка, %	Полугодовая ставка, %	Текущая стоимость 10 полугодовых выплат по 500 руб., руб.	Текущая стоимость 10000 руб., руб.	Общая текущая стоимость, руб.
6	3	4 265	7 441	11 606
5,5	2,75	4 320	7 624	11 944
5	2,5	4 376	7 812	12 188
4,5	2,25	4 433	8 005	12 438

Итак, полугодовая доходность составляет 2,25%, годовая соответственно 4,5%, что много меньше 6,5%.

Пример 3.3.

Предположим, что анализируемый в предыдущем примере инструмент продается за 9 941 руб. вместо 12 438 руб. Какую тогда доходность обеспечивает данный инструмент?

В таблице ниже показан процесс вычисления доходности:

Годовая процентная ставка, %	Полугодовая ставка, %	Текущая стоимость 10 полугодовых выплат по 500 руб., руб.	Текущая стоимость 100000 руб.	Общая текущая стоимость, руб.
9	4,5	3 956	6 439	10 395
9,5	4,75	3 908	6 287	10 195
10	5	3 861	6 139	10 000
10,5	5,25	3 814	5 995	9 809
11	5,5	3 769	5 854	9 623
11,5	5,75	3 724	5 717	9 441

Таким образом, полугодовая доходность составит 5,75%, а годовая – 11,5%

Пример 3.4.

Заемщик для покупки квартиры берет ипотечный кредит в сумме 7 500 000 руб. сроком на 25 лет. По условиям кредита заемщик должен ежемесячно платить 62 490 руб. в течение 300 месяцев. Менеджер портфеля закладных имеет возможность купить закладную на квартиру сегодня за 5 975 935 руб. Какую доходность инвестированных средств обеспечивают ежемесячные выплаты по данной закладной?

Вычисления, приведенные ниже, показывают, что месячная доходность составит 1%:

Годовая процентная ставка, %	Месячная процентная ставка, %	Текущая стоимость 300 ежемесячных платежей по 62 940 руб., руб.
9	0,75	7 500 000
10	0,8333	6 926 547
11	0,9167	6 426 174
12	1	5 975 935

Так как месячная доходность составляет 1 %, то годовая процентная ставка составит 12%.

Заметьте, что годовая процентная ставка по закладной должна быть 9 %, что обеспечит текущую стоимость выплат 7 500 000 руб.