Kinetika_yadernykh_prevrascheny
.pdf
|
|
C N20 |
|
|
1 N10 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(65-13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражение (65-13) в (65-12), получим решение дифференциаль- |
|||||||||||||||||||||||||
ного уравнения (65-1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( ) |
1N1,0 |
|
|
1t |
|
|
|
1N1,0 |
2t |
|
1N1,0 |
|
1t |
|
|
2t |
|
|
|
|
2t |
|
|||
N |
2 |
|
|
e |
|
|
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
N |
2,0 |
e |
|
. (65-14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
t |
2 1 |
|
N |
|
|
|
e |
|
|
2 1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Способ 2. Метод вариации произвольной постоянной.
Сначала решим линейное однородное дифференциальное уравнение. Для
этого правую часть уравнения |
dN2 |
(t) |
N2 |
(t) 2 |
N1(t) 1 |
приравняем |
|||||
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dN2 (t) |
N2 |
(t) 2 |
0 . |
|
|
|
|
|
(65-15) |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражение (65-15) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
dN2 (t) N2 (t) 2 . dt
|
|
dN2 (t) |
|
|
2 dt . |
|
|
|
||||
N2 (t) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln N2 (t) 2 t ln C . |
|
|
|
|||||||||
|
N2 (t) C e 2 t . |
|
(65-16) |
|||||||||
Продифференцируем уравнение (65-16) и получим выражение |
dN2 (t) |
: |
||||||||||
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dN2 |
|
dC |
e 2t Ce 2t |
. |
(65-17) |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
dt |
|
dt |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заменим в исходном уравнении N2(t) выражением (65-16), а производную
dN2 (t) выражением (65-17): dt
dC |
e 2t |
|
Ce 2t |
|
C e 2 |
t N |
|
2 |
2 |
||||
dt |
|
|
1 1 . |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
81 |
|
dC |
N e 2t N |
e 1t e 2t N |
e( 2 |
1) t |
. (65-18) |
||
|
|||||||
dt |
1 1 |
1,0 |
1 |
1,0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проинтегрируем уравнение (65-18) и найдем С:
dC N1,0 1 e( 2 1) t dt .
|
N e( 2 1) t |
C' |
|
|
|
C 1,0 1 |
|
. |
(65-19) |
||
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
||
Подставим выражение (65-19) в (65-16) и найдем С’ из начальных условий
(при t = 0 N2(t) = N2,0):
|
|
|
N |
|
e( 2 1) t |
|
|
|
||
N |
|
(t) |
1,0 |
1 |
|
C ' |
e 2 |
t |
||
2 |
|
|
|
2 1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С ' N2,0 |
N1,0 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
. |
|
|
(65-20) |
||||
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Заменив в уравнении (65-19) С’ выражением (65-20), получим после преобразований конечный результат:
N2 (t) 1 N1,0 e 1t e 2t N2,0e 2t .
2 1
82
Приложение 2.
Решение дифференциального уравнения (111)
NX Ф Y * NY * .
Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:
|
|
dNY * |
|
|
dt . |
(111-1) |
NX |
Ф |
* N |
* |
|||
|
|
Y |
Y |
|
|
|
Левая часть уравнения (111-1) представляет собой неопределенный интеграл вида:
|
|
|
dx |
|
|
|
1 ln(ax b) . |
|
|
||
|
(ax b) |
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
Решение уравнения (111-1) имеет вид: |
|
||||||||||
|
1 |
ln N |
|
Ф |
* N |
* t C |
. |
(111-2) |
|||
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
Y |
Y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Постоянную интегрирования С находим из следующих начальных условий:
при t=0 |
NY * |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
ln N X Ф C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(111-3) |
|||||||||||||||
Y * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляем С в уравнение (111-2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
ln N |
|
Ф * |
N |
* t |
1 |
ln N |
|
Ф |
. |
(111-4) |
|||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
X |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Y * |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
Y |
|
Y * |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Выразим искомый параметр NY * : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
ln N |
|
Ф |
1 |
ln N |
|
Ф |
* N |
* t |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
X |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Y * |
|
|
|
|
|
Y * |
|
|
|
|
Y |
|
Y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
ln N X Ф ln N X Ф * N * t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Y * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
ln |
|
|
|
|
N X Ф |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
* |
|
|
N X |
Ф |
* |
N |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
83
|
N X Ф |
|
e Y * t |
|
N X |
Ф |
* N |
* |
|
|
Y |
Y |
|
|
|
N X Ф e Y * t N X Ф |
* |
N |
Y |
* e Y * t |
|||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
N X Ф |
e Y * t e Y *t 1 NY * . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Y * |
|
|
|
|
|||
Окончательный результат имеет вид: |
|
|
|
|||||
|
NY * (t) |
N X Ф |
(1 e Y * t ) . |
|
|
|
(111-5) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Y * |
|
|
|
|
|
84
Предметный указатель
Активность 16
-абсолютная 17
-молярная 20
-объемная 20
-относительная 17
-поверхностная 20
-равновесная 50
-удельная 20 Доля ядер
-нераспавшихся 6
-распавшихся 6
Генетически связанные нуклиды 28 Единицы радиоактивности 17 Закон Гейгера-Неттола 32 Закон накопления радионуклида
-дифференциальная форма 38
-интегральная форма 38 Закон радиоактивного распада
-дифференциальная форма 5
-интегральная форма 6 Кривая накопления
-радиоактивного нуклида 40
-стабильного нуклида 35
Максимальная активность дочернего нуклида 41 Максимально возможная активность при облучении 75
Минимальный промежуток времени, требуемый для установления радиоактивного равновесия 51 Определение периодов полураспада
-альфа-излучатели 33
-графические методы 25 - 28
-долгоживущие радионуклиды 22, 23
-калориметрический метод 24
-радиометрический метод 22
85
-смесь двух радионуклидов 28 - 30
-ультракороткоживущие радионуклиды 31 Период полураспада 7 Последовательные радиоактивные превращения
-одностадийные 34
-двухстадийные 37
-трехстадийные 43
-многостадийные 45
Постоянная скорости радиоактивного распада 9 Радиоактивное равновесие 50
-вековое (секулярное) 56
-в радиоактивных семействах 68
-в трехкомпонентных системах 62
-кинетические характеристики 50
-нарушение равновесия 72
-отсутствие равновесия 60
-подвижное (скользящее, динамическое) 52
-условия достижения равновесия 50 Разветвленный распад 14
-каналы распада 14
-квантовый выход 14
-парциальная постоянная скорости радиоактивного распада 15
-парциальный период полураспада 15
Скорость радиоактивного распада 4 Среднее время жизни ядра 11
Степень установления радиоактивного равновесия 50 Точка максимума 40 Уравнение Бейтмена 46
Уравнения накопления нуклидов при последовательных радиоактивных превращениях
- стабильный дочерний нуклид 34 - радиоактивный дочерний нуклид 37 - внучатый нуклид 44
- любой член радиоактивного семейства 45, 46
86
Литература
1.Фридлендер Г., Кеннеди Дж.,Миллер Дж. Ядерная химия и радиохимия.
М: Мир, 1967.
2.T. Ohtsuki et al. Enhanced Electron-Capture Decay Rate of 7Be Encapsulated in C60 Cages. Physical Review Letters, 2004, v. 93, № 11, pp. 112501-1 – 112501- 4.
3.Чертов А. Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы). Справочное пособие. М: Высшая школа, 1990.
4.Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. М: Наука, 1972.
5.Химия – традиционная и парадоксальная. Под ред. Р.В. Богданова. Л:
ЛГУ, 1985.
6.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М: Наука, 1986.
7.Бреслер С. Е. Радиоактивные элементы. М: Государственное техникотеоретическое издательство, 1957.
8.Еремин Е.Н. Основы химической кинетики. М: Высшая школа, 1976.
9.Сборник задач по радиохимии. Под ред. И. А. Коршунова. М: Высшая школа, 1969.
10.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М:
Наука, 1970.
11.Радиоактивные индикаторы в химии. Основы метода. Под ред. В.Б.Лукьянова. М: Высшая школа, 1985.
12. Методическое руководство к курсу «Радиоактивные индикаторы в химии». Выпуск 1. Под ред. В. Б. Лукьянова. М: МГУ, 1980.
13. Handbook of nuclear chemistry. 2005. V.1. A.Vértes, S.Nagy and Z.Klencsár (eds.). Kluwer Academic Publishers.
14. Практическое руководство по радиохимии. Под ред. А.Н. Мурина и В.Д.Нефедова. Л: ЛГУ, 1982.
15. Келлер К. Радиохимия. М: Атомиздат, 1978.
87