Часть 3. Экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера проводится для тонкого стального диска с девятью отверстиями на диаметре, одна из которых находится в центре диска.

Запишем проверяемую теорему:

где ,,,— момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения, момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс, масса тела и расстояние от оси вращения до центра масс соответственно.

Найдем моменты инерции диска при вращении относительно осей вращения, проходящих через разные отверстия в диске, методом крутильных колебаний. По известной формуле , гдеD и Т — модуль кручения пружины и период колебаний диска. D мы нашли в первой части работы. Осталось найти период колебаний.

Для различных положений диска на крутильной установке измерим по шесть раз время пяти колебаний диска. Результаты приведены в таблице 10.

Таблица 10.

Время пяти колебаний диска для различных значений расстояний отоси вращения до центра масс.

d, см	t1, с	t2, с	t3, с	t4, с	t5, с	t6, с	Δtприб., с	Δtотсч., с	Δt, с
0	21,5	21,5	21,5	21,5	21,4	21,6	0,1	0,3	0,3
2	22,1	21,2	22,0	22,1	22,3	22,1
4	22,1	22,0	21,9	21,8	22,0	21,6
6	23,8	23,8	23,7	24,0	24,3	24,1
8	23,5	23,5	23,6	23,4	23,6	23,4
10	25,2	25,5	25,3	25,2	25,4	25,3
12	26,5	26,4	26,1	26,3	26,1	26,2
14	28,1	28,1	27,8	28,2	28,0	28,0
16	37,9	37,6	37,8	37,6	38,2	37,9

По данным таблицы 10 рассчитаем периоды колебаний. Как считать погрешность для среднего периода разбиралось в первой части работы. Результаты в таблице 11.

Таблица 12.

Период колебаний диска для различных значений расстояний от оси вращения до центра масс.

d, см	Т1, с	Т2, с	Т3, с	Т4, с	Т5, с	Т6, с	Тср, с	ΔТразбр., с	ΔТср, с
0	4,30	4,30	4,30	4,30	4,28	4,32	4,30	0,007	0,06
2	4,42	4,24	4,40	4,42	4,46	4,42	4,39	0,051	0,08
4	4,42	4,40	4,38	4,36	4,40	4,32	4,38	0,027	0,07
6	4,70	4,70	4,72	4,68	4,72	4,68	4,70	0,013	0,06
8	4,76	4,76	4,74	4,80	4,86	4,82	4,79	0,037	0,07
10	5,04	5,10	5,06	5,04	5,08	5,06	5,06	0,018	0,07
12	5,30	5,28	5,22	5,26	5,22	5,24	5,25	0,027	0,07
14	5,62	5,62	5,56	5,64	5,60	5,60	5,61	0,020	0,07
16	7,58	7,52	7,56	7,52	7,64	7,58	7,57	0,033	0,07

По данным таблицы 12 рассчитаем квадраты периодов, квадраты расстояний от оси вращения до центра масс и моменты инерции диска. При расстояниях, превосходящих 4 см, диск начинает заметно прогибаться, поэтому расстояние от оси вращения до точек диска не равно расстоянию между центром масс и отверстием, которым диск крепится к крутильной установке. При малых d имеет смысл учитывать погрешность измерения расстояния между центрами отверстий. Она равна 0,2 см, т.к. диаметр отверстия примерно равна 0,4 см и на глаз поделить его на две части можно. При больших d прогибом меньшей из частей диска, на которые он разбивается прямой, проходящей через ось вращения и перпендикулярной диаметру диска, вдоль которого проделаны отверстия, можно пренебречь. Для упрощения вычислений погрешностей будем считать, что большая часть диска не изгибается, а просто наклоняется, оставаясь плоской. При этом нет гарантии, что угол наклона в состоянии покоя и при кручении одинаковый, и что он одинаков в течение всего процесса кручения. Наклон части диска прямо пропорционально зависит от ее массы. Если считать, что диск прямоугольный, то масса растет линейно при увеличении расстояния r от точки крепления диска до центра масс. При расстоянии r = 4 см наклон еще не заметен, при r = 16 см прогиб примерно 3 см. Тогда прогибы при r = 6 см, r = 8 см, r = 10 см, r = 12 см, r = 14 см соответственно равны 1,125 см, 1,5 см, 1,875 см, 2,25 см, 2,625 см. Считая углы наклона малыми, рассчитаем погрешность d, связанную с прогибом диска (Δd = d(1 − cosα)/2). Полная погрешность d находится как корень из суммы квадратов погрешности, связанной с наклоном диска, и погрешности, связанной с неточностью измерения расстояния между центрами дырок.

Погрешность квадрата расстояния равна Δd² = d²∙ (2Δd/d).

Таблица 13.

Квадрат периода колебаний диска и его момент инерции для различных значений расстояния от оси вращения до центра масс.

d, см	Δd, см	d2, см2	Δd2, см2	Т, с	ΔТ, с	Т2, с2	ΔТ2, с2	I, кг∙м2	ΔI, кг∙м2
0	0,2	0	0,0	4,30	0,064	18,5	0,5	0,014	0,0004
2	0,2	4	0,8	4,39	0,081	19,3	0,7	0,014	0,0005
4	0,2	16	1,6	4,38	0,069	19,2	0,6	0,014	0,0005
6	0,21	36	2,5	4,70	0,065	22,1	0,6	0,016	0,0005
8	0,21	64	3,4	4,79	0,073	22,9	0,7	0,017	0,0005
10	0,22	100	4,4	5,06	0,066	25,6	0,7	0,019	0,0005
12	0,23	144	5,4	5,25	0,069	27,6	0,7	0,021	0,0006
14	0,23	196	6,6	5,61	0,066	31,4	0,7	0,023	0,0006
16	0,24	256	7,8	7,57	0,071	57,3	1,1	0,043	0,0009

По данным последней таблицы построим график зависимости момента инерции тела от квадрата расстояния.

Тангенс угла наклона прямой, проведенной через все точки, равен , тангенс угла наклона прямой, проведенный через все точки, кроме последней, равен.

Масса диска равна . Ни у одной прямой наклон в пределах погрешности не равен массе диска, но без учета последней точки остальные лучше ложатся на прямую и наклон этой прямой ближе к массе диска. Поэтому выкинем последнюю точку.

На основании графика, который проходит через все точки, кроме последней, можно сказать, что теорема Гюйгенса-Штейнера верна.

Вывод: В данной работе исследовал крутильные колебания тонкого стержня с грузами. Нашёл модуль кручения .Определил моменты инерции различных тел. Так же, в ходе данной работы, была подтверждена теорема Гюйгенса-Штейнера.

11